Proposition conditionnelle directe, réciproque, contraposée, négation

2014-2015 Logique
Proposition conditionnelle directe, réciproque, contraposée, négation
Soit P et Q deux proposition.
La proposition « si P alors Q » est une propsition conditionnelle.
Elle peut s’écrire « P ⇒Q ».
P est l’hypothèse, Q le conclusion ; si P est vraie, on peut en déduire que Q
est vraie.
Exemple : Le théorème de Thalès
Un énoncé du théorème de Thalès :
Soit un triangle ABC,Mun point du côté [AB] et Nun point du côté [AC] distincts du point
A.
A
BC
M N
Si les droites (M N ) et (BC) sont parallèles, alors AM
AB =AN AC .
Application
On donne AB = 12 cm, AN = 4cm, AC = 6 cm.
Les droites (M N ) et (BC) sont parallèles. Calculer AM .
L’hypothèse est : « les droites (M N ) et (BC) sont parallèles ».
On applique le théorème de Thalès : AM
AB =AN AC .
En utilisant les données : AM
12 =4 6d’où AM =4 6×12 = 8 cm.
Réciproque
La réciproque de la proposition « P⇒Q» est « Q⇒P».
Exemple : Réciproque du théorème de Thalès
Soit un triangle ABC,Mun point du côté [AB] et Nun point du côté [AC] distincts du point
A.
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A
BC
M N
Si AM
AB =AN AC ,alors les droites (M N ) et (BC) sont parallèles.
Application
On donne AB = 9, AC = 17,5, AM = 5,4, AN = 10,5.
Montrer que les droites (M N ) et (BC) sont parallèles.
On peut calculer les rapports :
AM
AB =5,4 9= 0,6 et AN AC =10,5 17,5= 0,6.
On a donc AM
AB =AN AC , on peut en déduire que les droites (M N ) et (BC) sont parallèles.
Propositions équivalentes
La proposition « P ⇒Qet Q⇒P» s’écrit « P ⇐⇒ Q ».
P est vraie si et seulement si Q est vraie. On dit que P et Q sont équivalentes.
Elles sont vraies ou fausses simultanément.
Exemple
Soit xun nombre réel.
La proposition « (x−1)(x+ 2) = 0 ⇐⇒ (x= 1 ou x=−2) » est vraie.
On dit aussi :
« (x−1)(x+ 2) = 0 si et seulement si x= 1 ou x=−2.
Cela signigie que les deux propositions :
« si (x−1)(x+ 2) = 0 est vraie, alors x= 1 ou x=−2 » et
« si x= 1 ou x=−2, alors (x−1)(x+ 2) = 0 »
sont vraies.
Contraposée
La contraposée de la proposition « P ⇒Q » est la proposition
« non Q ⇒non P ».
Voir la fiche « Raisonnement par contraposée ».
Négation
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La négation de la proposition « P ⇒Q » est la proposition « P et non Q ».
Exemple
La proposition : « Pour tout entier naturel n,si nest un multiple de 4 et de 6,alors nest un
multiple de 24 » est fausse.
Pour montrer que cette proposition est fausse, on montre que sa négation est vraie.
Cette négation est : « Il existe un entier naturel n,nest un multiple de 4 et de 6,et nn’est pas
un multiple de 24 ».
Pour montrer que cette négation est vraie, on donne un contre-exemple : si n= 12, nest un
multiple de 4 et de 6 (12 = 4 ×3 = 6 ×2) et nn’est pas un multiple de 24.
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