TD10 : Logique. Prédicats, rai- sonnements

SRC1
TD10
Logique.
TD10 : Logique. Prédicats, raisonnements mathématiques
Quelques définitions
• On appelle prédicat de référentiel E tout énoncé A(x, y, · · · ) contenant des lettres, appelées variables, tel que,
quand on substitue à chaque lettre un élément de E, on obtient une assertion. (exemple : "x+2=4", de référentiel
R, est un prédicat vrai pour le réel x = 2, faux pour les autres réels).
• Quantificateurs : on associe à A(x), un prédicat, les deux assertions suivantes :
• ”∀x, A(x)” signifie ”pour tout x, A(x) est vrai”.
• ”∃x, A(x)” signifie ”il existe x tel que A(x) est vrai”.
• ”∃!x, A(x)” signifie ”il existe un unique x tel que A(x) est vrai”.
Bien que ces assertions semblent comporter une lettre x, elles n’en dépendent pas ! Le x est absorbé par ∀ ou par
∃. ”∀xA(x)” et ”∃xA(x)” sont donc bien des assertions.
Exercice 1 : les quantificateurs : exemples, négation...
1. Exprimez en langage mathématique les phrases suivantes (utilisation de ∀, ∃, ∧, ∨, ⇒... On abrègera ”tel que”
en ”tq”).
• ”f est paire”.
• ”Pour tout x de son ensemble de définition Df , f (x) est toujours inférieur strictement à -1”
• ”la courbe représentative de f est toujours au-dessus de la droite y = 5”
• ”Résoudre 3x+4=2”.
• ”Montrez que f (x) = 3x + 4”.
• ”Pour tout réel, il existe un autre réel qui est exactement deux fois plus grand”.
• ”Si a, b, c sont trois nombres réels, et que a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c.”
• ”Chaque entier naturel peut s’écrire soit comme le produit d’un entier naturel par deux (s’il est pair), soit
comme un plus le produit d’un entier naturel par deux”.
• ”Tout nombre irrationnel est limite d’une suite de nombres rationnels”. (plus dur)
2. Négation de ∀ : Quel est le contraire de ∀x A(x) ? Quel est donc le contraire de ”pour tout x, f(x) est inférieur
ou égal à 0” ? Quel est le contraire de ”∀x f (−x) = f (x)” ?
3. Négation de ∃ : Quel est le contraire de ∃x A(x) ? Quel est donc le contraire de ”il existe un réel x pour lequel
la fonction f n’est pas définie” ?
4. Négation de ⇒. On rappelle que A ⇒ B signifie ¬A ∨ B. Quelle en est la négation ? Quelle est la négation de
”x2 = 4 ⇒ x = 2” ? Quelle est la négation de ”Socrate est un homme ⇒ Socrate est mortel” ?
5. Réfléchir à ce que signifient les énoncés suivants et écrire leurs négations (f est une fonction définie de R dans
R) :
• ∀x ∈ R, (f (x) ∈ N) ∧ (f(x) pair)
• ∀(a, b) ∈ R2 a ≤ b ⇒ f (a) ≤ f (b)
• ∃y ∈ R tq ∀x ∈ R y ≥ f (x)
• ∀y ∈ R ∃x ∈ R y = f (x)
Exercice 2 : raisonnements mathématiques
1. Quelle est la contraposée de ”si n2 est impair alors n est impair” ? Démontrer alors ce résultat (par contraposée).
2. Soient x, y, a, des réels. Quelle est la contraposée, quelle est la réciproque de l’implication (x < y) ∧ (ax < ay) ⇒
a > 0 ? L’implication, la contraposée, la réciproque de cet énoncé sont-elles vraies ?
3. Montrez par récurrence que ∀n, 7n − 1 est divisible par 6.
4. On suppose que dans une file d’attente à la gare, la première personne est une femme et la dernière est un
homme. Montrez par récurrence sur la longueur de la file que forcément, quelque part dans la queue, on a une
femme juste devant un homme.
Pi=n 2
n(n+1)(2n+1)
5. Montrez par récurrence que
(formule de calcul de la somme des n premiers carrés).
i=1 i =
6
Vérifiez la formule pour n = 4.
6. Calculez n2 − n + 1 pour n = 1, n = 2, · · · n = 10. L’assertion ”∀n n2 − n + 1 est premier” est-elle vraie ?
Démontrez votre réponse.
7. (bien plus dur) Soit une fonction f continue de [0; 1] dans [0; 1]. On suppose f (0 = f (1). Montrez qu’il existe
a ∈ [0; 12 ] tq f (a + 12 ) = f (a) (faites un dessin).