TD10 : Logique. Prédicats, rai- sonnements

SRC1TD10 Logique.
TD10 : Logique. Prédicats, rai-
sonnements mathématiques
Quelques définitions
•On appelle prédicat de référentiel E tout énoncé A(x, y, · · · )contenant des lettres, appelées variables, tel que,
quand on substitue à chaque lettre un élément de E, on obtient une assertion. (exemple : "x+2=4", de référentiel
R, est un prédicat vrai pour le réel x= 2, faux pour les autres réels).
•Quantificateurs : on associe à A(x), un prédicat, les deux assertions suivantes :
•”∀x, A(x)” signifie ”pour tout x, A(x) est vrai”.
•”∃x, A(x)” signifie ”il existe xtel que A(x) est vrai”.
•”∃!x, A(x)” signifie ”il existe un unique xtel que A(x) est vrai”.
Bien que ces assertions semblent comporter une lettre x, elles n’en dépendent pas ! Le xest absorbé par ∀ou par
∃. ”∀xA(x)” et ”∃xA(x)” sont donc bien des assertions.
Exercice 1 : les quantificateurs : exemples, négation...
1. Exprimez en langage mathématique les phrases suivantes (utilisation de ∀,∃,∧,∨,⇒... On abrègera ”tel que”
en ”tq”).
•”fest paire”.
•”Pour tout xde son ensemble de définition Df,f(x)est toujours inférieur strictement à -1”
•”la courbe représentative de fest toujours au-dessus de la droite y= 5”
•”Résoudre 3x+4=2”.
•”Montrez que f(x) = 3x+ 4”.
•”Pour tout réel, il existe un autre réel qui est exactement deux fois plus grand”.
•”Si a, b, c sont trois nombres réels, et que a≤bet b≤c, alors a≤c.”
•”Chaque entier naturel peut s’écrire soit comme le produit d’un entier naturel par deux (s’il est pair), soit
comme un plus le produit d’un entier naturel par deux”.
•”Tout nombre irrationnel est limite d’une suite de nombres rationnels”. (plus dur)
2. Négation de ∀: Quel est le contraire de ∀x A(x)? Quel est donc le contraire de ”pour tout x, f(x) est inférieur
ou égal à 0” ? Quel est le contraire de ”∀x f(−x) = f(x)” ?
3. Négation de ∃: Quel est le contraire de ∃x A(x)? Quel est donc le contraire de ”il existe un réel xpour lequel
la fonction fn’est pas définie” ?
4. Négation de ⇒. On rappelle que A⇒Bsignifie ¬A∨B. Quelle en est la négation ? Quelle est la négation de
”x2= 4 ⇒x= 2” ? Quelle est la négation de ”Socrate est un homme ⇒Socrate est mortel” ?
5. Réfléchir à ce que signifient les énoncés suivants et écrire leurs négations (fest une fonction définie de Rdans
R) :
• ∀x∈R,(f(x)∈N)∧(f(x) pair)
• ∀(a, b)∈R2a≤b⇒f(a)≤f(b)
• ∃y∈Rtq ∀x∈Ry≥f(x)
• ∀y∈R∃x∈Ry=f(x)
Exercice 2 : raisonnements mathématiques
1. Quelle est la contraposée de ”si n2est impair alors nest impair” ? Démontrer alors ce résultat (par contraposée).
2. Soient x,y,a, des réels. Quelle est la contraposée, quelle est la réciproque de l’implication (x < y)∧(ax < ay)⇒
a > 0? L’implication, la contraposée, la réciproque de cet énoncé sont-elles vraies ?
3. Montrez par récurrence que ∀n, 7n−1est divisible par 6.
4. On suppose que dans une file d’attente à la gare, la première personne est une femme et la dernière est un
homme. Montrez par récurrence sur la longueur de la file que forcément, quelque part dans la queue, on a une
femme juste devant un homme.
5. Montrez par récurrence que Pi=n
i=1 i2=n(n+1)(2n+1)
6(formule de calcul de la somme des npremiers carrés).
Vérifiez la formule pour n= 4.
6. Calculez n2−n+ 1 pour n= 1,n= 2,· · · n= 10. L’assertion ”∀n n2−n+ 1 est premier” est-elle vraie ?
Démontrez votre réponse.
7. (bien plus dur) Soit une fonction fcontinue de [0; 1] dans [0; 1]. On suppose f(0 = f(1). Montrez qu’il existe
a∈[0; 1
2]tq f(a+1 2) = f(a)(faites un dessin).