Proposition conditionnelle directe, réciproque, contraposée, négation

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2014-2015
Logique
Proposition conditionnelle directe, réciproque, contraposée, négation
Soit P et Q deux proposition.
La proposition « si P alors Q » est une propsition conditionnelle.
Elle peut s’écrire « P ⇒ Q ».
P est l’hypothèse, Q le conclusion ; si P est vraie, on peut en déduire que Q
est vraie.
Exemple : Le théorème de Thalès
Un énoncé du théorème de Thalès :
Soit un triangle ABC, M un point du côté [AB] et N un point du côté [AC] distincts du point
A.
A
b
M
b
N
b
b
B
b
C
Si les droites (M N ) et (BC) sont parallèles, alors
AN
AM
=
.
AB
AC
Application
On donne AB = 12 cm, AN = 4cm, AC = 6 cm.
Les droites (M N ) et (BC) sont parallèles. Calculer AM .
L’hypothèse est : « les droites (M N ) et (BC) sont parallèles ».
AM
AN
On applique le théorème de Thalès :
=
.
AB
AC
4
4
AM
= d’où AM = × 12 = 8 cm.
En utilisant les données :
12
6
6
Réciproque
La réciproque de la proposition « P ⇒ Q » est « Q ⇒ P ».
Exemple : Réciproque du théorème de Thalès
Soit un triangle ABC, M un point du côté [AB] et N un point du côté [AC] distincts du point
A.
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Logique
A
b
M
N
b
b
b
B
b
C
AM
AN
=
, alors les droites (M N ) et (BC) sont parallèles.
AB
AC
Application
On donne AB = 9, AC = 17, 5, AM = 5, 4, AN = 10, 5.
Montrer que les droites (M N ) et (BC) sont parallèles.
Si
On peut calculer les rapports :
5, 4
AN
10, 5
AM
=
= 0, 6 et
=
= 0, 6.
AB
9
AC
17, 5
AM
AN
On a donc
=
, on peut en déduire que les droites (M N ) et (BC) sont parallèles.
AB
AC
Propositions équivalentes
La proposition « P ⇒ Q et Q ⇒ P » s’écrit « P ⇐⇒ Q ».
P est vraie si et seulement si Q est vraie. On dit que P et Q sont équivalentes.
Elles sont vraies ou fausses simultanément.
Exemple
Soit x un nombre réel.
La proposition « (x − 1)(x + 2) = 0 ⇐⇒ (x = 1 ou x = −2) » est vraie.
On dit aussi :
« (x − 1)(x + 2) = 0 si et seulement si x = 1 ou x = −2.
Cela signigie que les deux propositions :
« si (x − 1)(x + 2) = 0 est vraie, alors x = 1 ou x = −2 » et
« si x = 1 ou x = −2, alors (x − 1)(x + 2) = 0 »
sont vraies.
Contraposée
La contraposée de la proposition « P ⇒ Q »
« non Q ⇒ non P ».
Voir la fiche « Raisonnement par contraposée ».
Négation
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est la proposition
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Logique
La négation de la proposition « P ⇒ Q » est la proposition « P et non Q ».
Exemple
La proposition : « Pour tout entier naturel n, si n est un multiple de 4 et de 6, alors n est un
multiple de 24 » est fausse.
Pour montrer que cette proposition est fausse, on montre que sa négation est vraie.
Cette négation est : « Il existe un entier naturel n, n est un multiple de 4 et de 6, et n n’est pas
un multiple de 24 ».
Pour montrer que cette négation est vraie, on donne un contre-exemple : si n = 12, n est un
multiple de 4 et de 6 (12 = 4 × 3 = 6 × 2) et n n’est pas un multiple de 24.
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