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MPSI-Éléments de cours
Groupe symétrique
24 mars 2017
Groupe symétrique
Rédaction incomplète. Version alpha
Plan
I. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Décompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III. Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
Index
–
–
–
–
–
I.
–
–
–
–
–
cycle, 1
cycle : longeur, 1
cycle : support, 1
cycles disjoints, 1
groupe alterné, 3
groupe symétrique, 1
orbites d’une permutation, 2
permutation, 1
permutation circulaire, 1
transposition, 2
Définitions
Définition. Le groupe des bijections de {1, · · · , n} dans {1, · · · , n} muni de l’opération de composition est appelé
groupe symétrique. Il est noté Sn . Un élément de ce groupe est appelé une permutation.
On appelera aussi permutation toute bijection d’un ensemble fini dans lui même. Si Ω est un ensemble fini de
cardinal n, il existe une bijection N (numérotation) de {1, · · · , n} dans Ω. L’application de (Sn , ◦) dans le groupe
des bijections de Ω muni de ◦ qui à σ ∈ Sn associe N ◦ σ ◦ N −1 est un isomorphisme de groupe.
On considèrera donc toujours des permutations dans des ensembles de nombres entre 1 et n.
Plusieurs notations sont possibles pour les permutations. On peut par exemple utiliser une notation matricielle
à deux lignes. La première ligne contient les entiers de 1 à n et la deuxième contient les images de ces entiers. Par
exemple, avec n = 7,
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
◦
=
3 7 1 2 6 4 5
6 4 1 3 2 7 5
4 2 1 2 7 3 6
Proposition. Le groupe symétrique Sn est de cardinal n!. Pour n ≥ 3, n’est pas commutatif.
Preuve. Le cardinal de l’ensemble des bijections a été calculé dans la section sur les dénombrements. Le groupe
n’est pas commutatif car
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
◦
=
6
=
◦
=
1 3 2
2 1 3
3 1 2
2 1 3
1 3 2
2 3 1
Définition. Soit k entier entre 1 et n et a1 , · · · , ak des entiers deux à deux distincts entre 1 et n. On note
a1 a2 · · · ak
l’application qui à un entier x quelconque entre 1 et n associe


 x si x 6∈ {a1 , · · · , an }
ai+1 si x = ai avec i ∈ {, · · · , k − 1}


a1 si x = ak
Cette application est une permutation appelée cycle (ou permutation circulaire) de longueur k et de support
{a1 , · · · , ak }.
Il est important de remarquer que le même cycle se note de plusieurs manières de cette façon.
1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
Rémy Nicolai C2260
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24 mars 2017
Définition. On dira que deux cycles sont disjoints si et seulement si leurs supports sont disjoints.
Proposition. Deux cycles disjoints commutent. C’est à dire que σ1 ◦ σ2 = σ2 ◦ σ1 lorsque σ1 et σ2 sont des cycles
disjoints.
Preuve. Évident avec la définition.
Définition. Une transposition est un cycle de longueur 2.
Définition (orbites d’une permutation). Soit σ ∈ Sn et a ∈ J1, nK. L’orbite de a pour σ est l’ensemble des σ k (a)
pour k ∈ Z.
Proposition. Les différentes orbites d’une même permutation σ constituent une partition de J1, nK.
II.
Décompositions
Proposition (décomposition en cycles disjoints). Toute permutation est la composition de cycles disjoints qui
commutent.
Proposition (décomposition en transpositions). Toute permutation et la composition d’un certain nombre de
transpositions.
Preuve. Comme toute permutation est une composée de cycles, il suffit de démontrer que tout cycle est la composée
de transpositions. Cela peut se faire de plusieurs manières.
On considère p éléments distincts a1 , · · · , ap de J1, Kn :
a1 a2 · · · ap = (a1 a2 ) ◦ (a2 a3 ) ◦ · · · ◦ (ap−1 ap )
= (a1 ap ) ◦ (a1 ap−1 ) ◦ · · · ◦ (a1 a2 )
Remarques.
– On peut convenir que l’identité est la composée de 0 transposition (ou de deux identiques).
– Toute permutation σ admet plusieurs décomposition en transpositions. Le point important est que les
nombres de transpositions intervenant dans chaque décomposition d’une permutation ont tous la même
parité. C’est l’objet de la section suivante relative à la signature d’une transposition.
– On peut donner une deuxième démonstration par récurrence sur le nombre de points fixes d’une permutation.
III.
Signature
Définition. Soit σ ∈ Sn , la signature de σ (notée ε(σ)) est définie par :
ε(σ) =
Y σ(i) − σ(j)
i−j
i<j
la somme étant étendue à tous les couples (i, j) d’entiers entre 1 et n tels que i < j.
En fait ε est un morphisme dans (Q∗ , .)
Proposition.
∀(σ1 , σ2 ) ∈ S2n : ε(σ1 ◦ σ2 ) = ε(σ1 )ε(σ2 )
Preuve.
ε(σ1 ◦ σ2 ) =
Y σ1 (σ2 (i)) − σ1 (σ2 (j))
i<j
i−j
=
Y σ1 (σ2 (i)) − σ1 (σ2 (j)) Y σ2 (i) − σ2 (j)
i<j
σ2 (i) − σ2 (j)
=
i−j
Y σ1 (i2 ) − σ1 (j2 ) Y σ2 (i) − σ2 (j)
= ε(σ1 )ε(σ2 )
i2 − j2
i−j
i <j
i<j
2
2
i<j
2
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En notant P2 l’ensemble des paires d’éléments de {1, · · · , n}, on a utilisé le fait que l’application
(
P2 → P2
{i, j} → {σ(i), σ(j)}
est une bijection pour toute permutation σ.
Proposition. Pour toute transposition τ = (i0 i1 ), ε(τ ) = −1.
Preuve. On suppose que i0 < j0 . On classe les éléments P2 en trois catégories
type 1 : ceux dont l’intersection avec {i0 , j0 } est vide.
type 2 : eux dont l’intersection avec {i0 , j0 } est de cardinal 1.
type 3 : ceux dont l’intersection avec {i0 , j0 } est de cardinal 2.
et on évalue la contribution de chaque type au produit.
Les paires de type 1 ont évidemment une contribution égale à 1.
Les paires de type 2 (il y en a 2(n − 2)) sont les {k, i0 } et les {k, j0 } avec k 6∈ {i0 , j0 }. Leur contribution est
Y
k6∈{i0 ,j0 }
(τ (k) − τ (i0 ))(τ (k) − τ (j0 )
=
(k − i0 )(k − j0 )
Y
k6∈{i0 ,j0 }
(k − j0 )(k − i0
=1
(k − i0 )(k − j0 )
Il existe une seule paire de type 2. c’est {i0 , j0 } elle même, sa contribution est évidemment égale à −1.
Conclusion ε est un morphisme entre les groupes (Sn , ◦) et ({−1, +1}, .).
Définition. Une permutation est dite paire lorsque sa signature est +1. L’ensemble des permutations paires forme
le groupe alterné (noté An ). C’est un sous-groupe de Sn (le noyau de la signature).
Proposition. La signature d’un cycle de longueur p est (−1)p−1 . En particulier les cycles de longueur 3 sont des
permutations paires.
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