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MPSI-´ El´ements de cours Groupe sym´etrique 24 mars 2017
Groupe sym´etrique
R´edaction incompl`ete. Version alpha
Plan
I. D´efinitions ................................. 1
II. D´ecompositions ............................... 2
III. Signature .................................. 2
Index
– cycle, 1
– cycle : longeur, 1
– cycle : support, 1
– cycles disjoints, 1
– groupe altern´e, 3
– groupe sym´etrique, 1
– orbites d’une permutation, 2
– permutation, 1
– permutation circulaire, 1
– transposition, 2
I. D´efinitions
D´efinition. Le groupe des bijections de {1,· · · , n}dans {1,· · · , n}muni de l’op´eration de composition est appel´e
groupe sym´etrique. Il est not´e Sn. Un ´el´ement de ce groupe est appel´e une permutation.
On appelera aussi permutation toute bijection d’un ensemble fini dans lui mˆeme. Si Ω est un ensemble fini de
cardinal n, il existe une bijection N(num´erotation) de {1,· · · , n}dans Ω. L’application de (Sn,◦) dans le groupe
des bijections de Ω muni de ◦qui `a σ∈Snassocie N◦σ◦N−1est un isomorphisme de groupe.
On consid`erera donc toujours des permutations dans des ensembles de nombres entre 1 et n.
Plusieurs notations sont possibles pour les permutations. On peut par exemple utiliser une notation matricielle
`a deux lignes. La premi`ere ligne contient les entiers de 1 `a net la deuxi`eme contient les images de ces entiers. Par
exemple, avec n= 7,
1234567
3712645◦1234567 6413275=1234567 4212736
Proposition. Le groupe sym´etrique Snest de cardinal n!. Pour n≥3, n’est pas commutatif.
Preuve. Le cardinal de l’ensemble des bijections a ´et´e calcul´e dans la section sur les d´enombrements. Le groupe
n’est pas commutatif car
123
132◦123 213=123 3126=123 213◦123 132=123 231
D´efinition. Soit kentier entre 1 et net a1,· · · , akdes entiers deux `a deux distincts entre 1 et n. On note
a1a2· · · ak
l’application qui `a un entier xquelconque entre 1 et nassocie
xsi x6∈ {a1,· · · , an}
ai+1 si x=aiavec i∈ {,· · · , k −1}
a1si x=ak
Cette application est une permutation appel´ee cycle (ou permutation circulaire) de longueur ket de support
{a1,· · · , ak}.
Il est important de remarquer que le mˆeme cycle se note de plusieurs mani`eres de cette fa¸con.
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
1R´emy Nicolai C2260

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D´efinition. On dira que deux cycles sont disjoints si et seulement si leurs supports sont disjoints.
Proposition. Deux cycles disjoints commutent. C’est `a dire que σ1◦σ2=σ2◦σ1lorsque σ1et σ2sont des cycles
disjoints.
Preuve. ´ Evident avec la d´efinition.
D´efinition. Une transposition est un cycle de longueur 2.
D´efinition (orbites d’une permutation).Soit σ∈Snet a∈J1, nK. L’orbite de apour σest l’ensemble des σk(a)
pour k∈Z.
Proposition. Les diff´erentes orbites d’une mˆeme permutation σconstituent une partition de J1, nK.
II. D´ecompositions
Proposition (d´ecomposition en cycles disjoints).Toute permutation est la composition de cycles disjoints qui
commutent.
Proposition (d´ecomposition en transpositions).Toute permutation et la composition d’un certain nombre de
transpositions.
Preuve. Comme toute permutation est une compos´ee de cycles, il suffit de d´emontrer que tout cycle est la compos´ee
de transpositions. Cela peut se faire de plusieurs mani`eres.
On consid`ere p´el´ements distincts a1,· · · , apde J1,Kn:
a1a2· · · ap= (a1a2)◦(a2a3)◦ · · · ◦ (ap−1ap)
= (a1ap)◦(a1ap−1)◦ · · · ◦ (a1a2)
Remarques. – On peut convenir que l’identit´e est la compos´ee de 0 transposition (ou de deux identiques).
– Toute permutation σadmet plusieurs d´ecomposition en transpositions. Le point important est que les
nombres de transpositions intervenant dans chaque d´ecomposition d’une permutation ont tous la mˆeme
parit´e. C’est l’objet de la section suivante relative `a la signature d’une transposition.
– On peut donner une deuxi`eme d´emonstration par r´ecurrence sur le nombre de points fixes d’une permutation.
III. Signature
D´efinition. Soit σ∈Sn, la signature de σ(not´ee ε(σ)) est d´efinie par :
ε(σ) = Y
i<j
σ(i)−σ(j)
i−j
la somme ´etant ´etendue `a tous les couples (i, j) d’entiers entre 1 et ntels que i<j.
En fait εest un morphisme dans (Q∗, .)
Proposition.
∀(σ1, σ2)∈S2
n:ε(σ1◦σ2) = ε(σ1)ε(σ2)
Preuve.
ε(σ1◦σ2) = Y
i<j
σ1(σ2(i)) −σ1(σ2(j))
i−j=Y
i<j
σ1(σ2(i)) −σ1(σ2(j))
σ2(i)−σ2(j)Y
i<j
σ2(i)−σ2(j)
i−j
=Y
i2<j2
σ1(i2)−σ1(j2)
i2−j2Y
i<j
σ2(i)−σ2(j)
i−j=ε(σ1)ε(σ2)
Cette cr´eation est mise `a disposition selon le Contrat
Paternit´e-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales `a l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
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En notant P2l’ensemble des paires d’´el´ements de {1,· · · , n}, on a utilis´e le fait que l’application
(P2→ P2
{i, j}→{σ(i), σ(j)}
est une bijection pour toute permutation σ.
Proposition. Pour toute transposition τ= (i0i1),ε(τ) = −1.
Preuve. On suppose que i0< j0. On classe les ´el´ements P2en trois cat´egories
type 1 : ceux dont l’intersection avec {i0, j0}est vide.
type 2 : eux dont l’intersection avec {i0, j0}est de cardinal 1.
type 3 : ceux dont l’intersection avec {i0, j0}est de cardinal 2.
et on ´evalue la contribution de chaque type au produit.
Les paires de type 1 ont ´evidemment une contribution ´egale `a 1.
Les paires de type 2 (il y en a 2(n−2)) sont les {k, i0}et les {k, j0}avec k6∈ {i0, j0}. Leur contribution est
Y
k6∈{i0,j0}
(τ(k)−τ(i0))(τ(k)−τ(j0)
(k−i0)(k−j0)=Y
k6∈{i0,j0}
(k−j0)(k−i0
(k−i0)(k−j0)= 1
Il existe une seule paire de type 2. c’est {i0, j0}elle mˆeme, sa contribution est ´evidemment ´egale `a −1.
Conclusion εest un morphisme entre les groupes (Sn,◦) et ({−1,+1}, .).
D´efinition. Une permutation est dite paire lorsque sa signature est +1. L’ensemble des permutations paires forme
le groupe altern´e (not´e An). C’est un sous-groupe de Sn(le noyau de la signature).
Proposition. La signature d’un cycle de longueur pest (−1)p−1. En particulier les cycles de longueur 3sont des
permutations paires.
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