Feuille d`exercices n o 2 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Institut Galil´ee Licence de Math´ematiques
Universit´e Paris 13 semestre 5
Structures alg´ebriques
Feuille d’exercices n◦2
Exercice 1. Soient Gun groupe d’´el´ement neutre e,Het Kdeux sous-groupes de G
d’ordres finis respectifs met ntels que pgcd(m, n) = 1. Montrer que H∩K={e}.
Exercice 2. Soient (G, +) un groupe ab´elien, A,Bet Cdes sous-groupes de G. Montrer
que
A⊂C⇒A+ (B∩C) = (A+B)∩C
Exercice 3. Soient Gun groupe et C⊂Gtel que C6=∅.
(1) Montrer que Cest une classe `a gauche (resp. `a droite) si et seulement si (∀x, y, z ∈
C)xy−1z∈C.
(2) En d´eduire que si Cest une classe `a gauche pour un sous-groupe Hde G, c’est
aussi une classe `a droite pour un certain sous-groupe H′.
Exercice 4. Soient Gun groupe, Het Kdeux sous-groupes finis de G. Montrer que le
cardinal du sous-groupe de Gengendr´e par Het Kest sup´erieur ou ´egal `a #H#K
#(H∩K).
Exercice 5. Soient Gun groupe et H,Kdeux sous-groupes d’indices finis tels que les
entiers [G:H] et [G:K] sont premiers entre eux. Montrer que G=HK.
Exercice 6. (1) Soit f:G→G′un morphisme de groupes. Montrer que si x∈Gest
d’ordre fini n, alors f(x) est d’ordre fini divisant n.
(2) D´eterminer les morphismes de groupes Z/7Z→Z/13 Zet Z/3Z→Z/12 Z.
Exercice 7. Montrer que dans un groupe fini d’ordre pair, le nombre d’´el´ements d’ordre 2
est impair.
Exercice 8. Soient Gun groupe fini d’ordre net k∈N>0premier `a n. Montrer que
l’application g7→ gkest une bijection de Gdans lui-mˆeme.
Exercice 9. Si n∈N>1, on note Dnle groupe des isom´etries du plan affine euclidien qui
conservent l’ensemble des sommets d’un polygone r´egulier `a ncˆot´es.
(1) D´ecrire les ´el´ements de Dn, en d´eduire que #Dn= 2n. Montrer que Dnn’est pas
ab´elien si n≥3.
(2) Soit pun nombre premier. Montrer qu’un groupe d’ordre 2pest isomorphe `a Z/2pZ
ou `a Dp.
Exercice 10. Soient (G, +) un groupe ab´elien fini et n= #G. Supposons n > 1.
1

2
(1) Pour g∈G\ {0}, notons ng∈N>1l’ordre de g. Montrer que l’application
ϕ:Y
g∈G\{0}
Z/ngZ→G
(ag)g∈G\{0}7→ X
g∈G\{0}
agg
est un morphisme surjectif de groupes.
(2) Montrer que si pest un nombre premier divisant n, il existe g∈G\ {0}tel que
p|ng.
(3) En d´eduire que Gcontient un ´el´ement d’ordre p.
Remarque : le r´esultat qui pr´ec`ede est encore valide si on ne suppose pas Gab´elien.
(4) Montrer qu’en g´en´eral, si mdivise nmais n’est pas premier, il n’existe pas forc´ement
d’´el´ement d’ordre mdans G(mˆeme si Gest ab´elien).
Exercice 11. Soient pun nombre premier et Gun p-groupe (i.e. un groupe de cardinal
une puissance de p) non trivial. Montrer que Gcontient un ´el´ement d’ordre p.
Exercice 12. Montrer que si n∈N>1et d|n, le groupe Z/n Zcontient exactement un
sous-groupe d’ordre d(en particulier, la r´eciproque du th´eor`eme de Lagrange est valide
pour les groupes cycliques).
Exercice 13. (Lemme chinois). Soient m, n ∈N>1tels que pgcd(m, n) = 1. Montrer que
l’application naturelle
Z/mn Z→(Z/m Z)×(Z/n Z)
x7→ xmod mZ, x mod nZ
est un isomorphisme de groupes. Montrer que c’est faux lorsque pgcd(m, n)6= 1.
Exercice 14. Soit n∈N≥2. Si x∈Z, on note xson image dans Z/n Z.
(1) Montrer que xengendre Z/n Zsi et seulement si pgcd(x, n) = 1.
On note ϕ(n) le nombre de g´en´erateurs de Z/n Z(la fonction ϕs’appelle l’indicatrice
d’Euler ).
(2) Soit pun nombre premier. Calculer ϕ(p), puis ϕ(pa) pour a∈N>0.
(3) Montrer que si m, n ∈N>1sont tels que pgcd(m, n) = 1, on a ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
(4) En d´eduire que si n=
r
Q
i=1
pai
iest la d´ecomposition en facteurs premiers de n, on a
ϕ(n) =
r
Y
i=1
pai−1
i(pi−1) = n
r
Y
i=1
1−1
pi
Exercice 15. Soit n∈N≥2.
(1) Montrer que Snest engendr´e par (1,2) et (1,...,n). Montrer qu’il est engendr´e
par (1, k)}1<k≤n.

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(2) Montrer que Anest engendr´e par les 3-cycles. Montrer qu’il est engendr´e par
(1,2, k)}2<k≤n.
Exercice 16. Soient Gun groupe et Hun sous-groupe de Gd’indice 2.
(1) Montrer que les classes `a gauche et les classes `a droite modulo Hsont les mˆemes.
(2) En d´eduire que pour tout g∈G, on a g2∈H.
Supposons que G=A4.
(3) Montrer que Hcontient tous les 3-cycles.
(2) En d´eduire une contradiction, et donc que la r´eciproque au th´eor`eme de Lagrange
est fausse pour A4.