Exercice D9 - XMaths

Exercice D9
1. (a)
√ 2
√ 2
√ 2
√
√
√
1+ 6 =7+2 6 .
1+ 6 =1+2 6+
6 = 1 + 2 6 + 6, donc
√ 4
√ 2 2 h
√ i2
√
√ 4
√
1+ 6 = 1+ 6
= 7 + 2 6 = 49 + 28 6 + 24, donc
1 + 6 = 73 + 28 6 .
√ 6 √ 2 √ 4 √ √ √
√
1+ 6 = 1+ 6
1 + 6 = 7 + 2 6 73 + 28 6 = 511 + 196 6 + 146 6 + 336,
√ 6
√
1 + 6 = 847 + 342 6 .
donc
(b) On peut écrire :
847 = 342 × 2 + 163 ; 342 = 163 × 2 + 16 ; 163 = 16 × 10 + 3 ; 16 = 3 × 5 + 1 ; 3 = 1 × 3 + 0
D’après l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul des divisions successives.
On a donc : PGCD(847; 342) = 1, c’est-à-dire que : les nombres 847 et 342 sont premiers entre eux .
√ n
√
2. (a) an et bn sont les entiers naturels tels que : 1 + 6 = an + bn 6.
√ 1
√
On a 1 + 6 = 1 + 1 6, donc : a1 = 1 et b1 = 1 .
Les calculs de la question 1.(a), permettent de donner :
a2 = 7 et b2 = 2 ; a4 = 73 et b4 = 28 ; a6 = 847 et b6 = 342 .
√ n+1 √ n √ (b) On peut écrire : 1 + 6
= 1+ 6
1+ 6
√
√ √ √
√
donc : an+1 + bn+1 6 = an + bn 6 1 + 6 = an + an 6 + bn 6 + 6bn
√
√
c’est-à-dire : an+1 + bn+1 6 = (an + 6bn ) + (an + bn ) 6
On en déduit :
an+1 = an + 6bn et bn+1 = an + bn .
Cela suppose, et c’est sous-entendu dans le texte, que les entiers a n et bn , tels qu’ils sont définis, sont uniques.
(c) Pour tout entier n non nul on peut écrire : an+1 + bn+1 = an + 6bn + an + bn = 2an + 7bn = 2(an + bn ) + 5bn
et par conséquent : an+1 + bn+1 − 5bn = 2(an + bn ) .
Supposons que 5 divise an+1 + bn+1 .
Alors comme 5 divise 5bn (puisque bn est entier), on en déduit que 5 divise 2(an + bn ).
Sachant que 5 est premier avec 2, le théorème de Gauss permet d’en déduire que 5 divise a n + bn .
On peut conclure que : si 5 ne divise pas an + bn alors 5 ne divise pas non plus an+1 + bn+1 .
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, 5 ne divise pas an + bn .
On a : a1 + b1 = 1 + 1 = 2. Donc 5 ne divise pas a1 + b1 .
Supposons que pour un entier naturel n non nul fixé, 5 ne divise pas an + bn .
On a alors justifié précédemment que 5 ne divise pas an+1 + bn+1 .
On peut en conclure que : Pour tout entier naturel n non nul, 5 ne divise pas an + bn .
(d) Supposons que an et bn sont premiers entre eux.
Soit d un entier naturel, diviseur commun de an+1 et bn+1 . Montrons que d est nécessairement égal à 1.
Comme d divise an+1 et bn+1 , il divise an+1 − bn+1 = an + 6bn − (an + bn ). Donc d divise 5bn .
d est premier avec 5 : en effet si d n’était pas premier avec 5 qui est un nombre premier, d serait un multiple
de 5, donc 5 serait un diviseur de d, donc 5 serait un diviseur de an+1 et bn+1 , donc 5 serait un diviseur de
an+1 + bn+1 , ce qui est en contradiction avec le résultat de la question précédente.
Comme d divise 5bn et que d est premier avec 5, le théorème de Gauss permet de conclure que d divise b n .
On sait alors que d divise bn+1 et bn , donc d divise bn+1 − bn = an .
On a donc justifié que d est un diviseur commun de an et bn .
Or on a supposé que an et bn sont premiers entre eux, donc d = 1.
Le seul diviseur naturel commun à an+1 et bn+1 est 1, donc an+1 et bn+1 sont premiers entre eux.
On a démontré que : si an et bn sont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux .
On a : a1 = 1 et b1 = 1, donc a1 et b1 sont premiers entre eux.
On sait que, pour tout n ∈ N∗ , si an et bn sont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux,
on en déduit par récurrence que : pour tout n entier naturel non nul, an et bn sont premiers entre eux .
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Terminale S : Arithmétique - Exercices
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