Exercice D9 - XMaths

Exercice D9
1. (a) 1 + √62 = 1 + 2√6 + √62 = 1 + 2√6 + 6, donc 1 + √62 = 7 + 2√6.
1 + √64
=1 + √622 =h7 + 2√6i2 = 49 + 28√6 + 24, donc 1 + √64 = 73 + 28√6.
1 + √66
=1 + √621 + √64 =7 + 2√673 + 28√6= 511 + 196√6 + 146√6 + 336,
donc 1 + √66 = 847 + 342√6.
(b) On peut écrire :
847 = 342 ×2 + 163 ;342 = 163 ×2 + 16 ;163 = 16 ×10 + 3 ;16 = 3 ×5 + 1 ;3 = 1 ×3 + 0
D’après l’algorithme d’Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul des divisions successives.
On a donc : PGCD(847; 342) = 1, c’est-à-dire que : les nombres 847 et 342 sont premiers entre eux .
2. (a) anet bnsont les entiers naturels tels que : 1 + √6n =an+bn√6.
On a 1 + √61 = 1 + 1√6, donc : a1= 1 et b1= 1 .
Les calculs de la question 1.(a), permettent de donner :
a2= 7 et b2= 2 ;a4= 73 et b4= 28 ;a6= 847 et b6= 342 .
(b) On peut écrire : 1 + √6n+1 =1 + √6n1 + √6
donc : an+1 +bn+1√6 = an+bn√61 + √6=an+an√6 + bn√6 + 6bn
c’est-à-dire : an+1 +bn+1√6 = (an+ 6bn) + (an+bn)√6
On en déduit : an+1 =an+ 6bnet bn+1 =an+bn.
Cela suppose, et c’est sous-entendu dans le texte, que les entiers anet bn, tels qu’ils sont définis, sont uniques.
(c) Pour tout entier nnon nul on peut écrire : an+1 +bn+1 =an+ 6bn+an+bn= 2an+ 7bn= 2(an+bn) + 5bn
et par conséquent : an+1 +bn+1 −5bn= 2(an+bn).
Supposons que 5divise an+1 +bn+1 .
Alors comme 5divise 5bn(puisque bnest entier), on en déduit que 5divise 2(an+bn).
Sachant que 5est premier avec 2, le théorème de Gauss permet d’en déduire que 5divise an+bn.
On peut conclure que : si 5ne divise pas an+bnalors 5ne divise pas non plus an+1 +bn+1 .
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel nnon nul, 5ne divise pas an+bn.
On a : a1+b1= 1 + 1 = 2. Donc 5ne divise pas a1+b1.
Supposons que pour un entier naturel nnon nul fixé, 5ne divise pas an+bn.
On a alors justifié précédemment que 5ne divise pas an+1 +bn+1 .
On peut en conclure que : Pour tout entier naturel nnon nul, 5ne divise pas an+bn.
(d) Supposons que anet bnsont premiers entre eux.
Soit dun entier naturel, diviseur commun de an+1 et bn+1. Montrons que dest nécessairement égal à 1.
Comme ddivise an+1 et bn+1, il divise an+1 −bn+1 =an+ 6bn−(an+bn). Donc ddivise 5bn.
dest premier avec 5: en effet si dn’était pas premier avec 5qui est un nombre premier, dserait un multiple
de 5, donc 5serait un diviseur de d, donc 5serait un diviseur de an+1 et bn+1, donc 5serait un diviseur de
an+1 +bn+1, ce qui est en contradiction avec le résultat de la question précédente.
Comme ddivise 5bnet que dest premier avec 5, le théorème de Gauss permet de conclure que ddivise bn.
On sait alors que ddivise bn+1 et bn, donc ddivise bn+1 −bn=an.
On a donc justifié que dest un diviseur commun de anet bn.
Or on a supposé que anet bnsont premiers entre eux, donc d= 1.
Le seul diviseur naturel commun à an+1 et bn+1 est 1, donc an+1 et bn+1 sont premiers entre eux.
On a démontré que : si anet bnsont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux .
On a : a1= 1 et b1= 1, donc a1et b1sont premiers entre eux.
On sait que, pour tout n∈N∗, si anet bnsont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux,
on en déduit par récurrence que : pour tout nentier naturel non nul, anet bnsont premiers entre eux .
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