Correction - My MATHS SPACE

Correction du travail maison 4
TS spé
Bac S juin 2004
1. k ∈ ℕ. x est un entier naturel.
2
k –1
2
3
k –1
k
2
k –1
k
 x – 11x x  x = xx x  x x – 1 – x – x –  – x = x – 1
a est un entier supérieur ou égal à 2.
2.a. n est un entier naturel et d un diviseur positif de n . Il existe donc k un entier tel que n=dk
On applique la formule précédente à x=a d , cela donne :
d
d
2d
d  k – 1
d k
dk
n
a – 11a a a
=a  – 1=a – 1=a – 1 , comme chaque facteur de l'égalité
précédente est un entier, on a : a d – 1×K =a n – 1 donc a d – 1 est un diviseur de a n – 1 .
2.b. 7=23 – 1 ; 63=26 – 1 et 2004 est à la fois un multiple de 3 et de 6. on peut donc appliquer le
résultat du 2. a : 2 3 – 1 et 2 6 – 1 sont des diviseurs de 2 2004 – 1 . Puisque 63 est un diviseur de
2004
2004
2 – 1 , 9 qui divise 63 est également un diviseur de 2 – 1 .
3. m et n sont des entiers naturels non nuls et d =PGCD m;n .
3.a. m ' et n ' sont définis par m=dm' et n=dn ' . D'après l'indication, on en déduit que m ' et
n ' sont des nombres premiers entre eux. Ainsi, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers
relatifs u ' et v ' tels que m ' u 'n' v ' =1 . On multiplie l'égalité obtenue par d et on obtient :
m ' du 'n ' dv '=d puis mu – nv=d en posant u=u ' et v =– v ' .
3.b. On suppose que u et v sont strictement positifs.
mu
nv
d
mu
nv
d
d
mu
nvd
d
mu
mu
d
d
a – 1 –  a – 1 a =a – 1 – a a a =a – 1 – a
a =a – 1 – a a =a – 1
en effet, d'après la question précédente, mu – nv=d donc mu=nv d
d divise m donc d divise mu , d'après la question 2. a : a d – 1 divise a mu – 1 .
d divise n donc d divise nv , d'après la question 2. a : a d – 1 divise a nv – 1 .
De ce qui précède, on déduit que a d – 1 est un diviseur commun de a mu – 1 et a nv – 1 . Pour être le
PGCD, il doit être le plus grand.
Appelons D le PGCD de a mu – 1 et de a nv – 1 , montrons que D divise a d – 1 .
D divise a mu – 1 et a nv – 1 donc D divise a mu – 1 –  a nv – 1 a d (combinaison linéaire des
nombres a mu – 1 et a nv – 1 ) et D divise a d – 1 en vertu de l'égalité obtenue au 3. b .
Ainsi D=a d – 1 .
3.c. mu – nv=63 – 60=3=d donc PGCD 263 – 1; 260 – 1=23 – 1=7 .
2009@My Maths Space.