Correction - My MATHS SPACE
Correction du travail maison 4 TS spé
Bac S juin 2004
k
∈ ℕ.
x
est un entier naturel.
x – 11xx2 xk – 1= xx2x3 xk – 1xk–1– x – x2–– xk – 1=xk–1
a
est un entier supérieur ou égal à 2.
n
est un entier naturel et
d
un diviseur positif de
n
. Il existe donc
k
un entier tel que
n=dk
On applique la formule précédente à
x=ad
, cela donne :
ad–11ada2d adk – 1=adk–1=adk –1=an–1
, comme chaque facteur de l'égalité
précédente est un entier, on a :
ad–1×K=an–1
donc
ad–1
est un diviseur de
an–1
.
7=23–1
;
63=26–1
et 2004 est à la fois un multiple de 3 et de 6. on peut donc appliquer le
résultat du
2. a
:
23–1
et
26–1
sont des diviseurs de
22004 –1
. Puisque
63
est un diviseur de
22004 –1
, 9 qui divise 63 est également un diviseur de
22004 –1
.
3.
m
et
n
sont des entiers naturels non nuls et
d=PGCDm;n
.
m '
et
n '
sont définis par
m=dm'
et
n=dn '
. D'après l'indication, on en déduit que
m '
et
n '
sont des nombres premiers entre eux. Ainsi, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers
relatifs
u '
et
v '
tels que
m ' u 'n' v '=1
. On multiplie l'égalité obtenue par
d
et on obtient :
m ' du 'n ' dv '=d
puis
mu – nv=d
en posant
u=u '
et
v=– v '
.
On suppose que
u
et
v
sont strictement positifs.
amu –1–anv –1ad=amu –1– anv adad=amu –1– anvdad=amu –1– amu ad=ad–1
en effet, d'après la question précédente,
mu – nv=d
donc
mu=nv d
d
divise
m
donc
d
divise
mu
, d'après la question
2. a
:
ad–1
divise
amu –1
.
d
divise
n
donc
d
divise
nv
, d'après la question
2. a
:
ad–1
divise
anv –1
.
De ce qui précède, on déduit que
ad–1
est un diviseur commun de
amu –1
et
anv –1
. Pour être le
PGCD, il doit être le plus grand.
Appelons
D
le PGCD de
amu –1
et de
anv –1
, montrons que
D
divise
ad–1
.
D
divise
amu –1
et
anv –1
donc
D
divise
amu –1–anv –1ad
(combinaison linéaire des
nombres
amu –1
et
anv –1
) et
D
divise
ad–1
en vertu de l'égalité obtenue au
3. b
.
Ainsi
D=ad–1
.
mu – nv=63 –60=3=d
donc
PGCD263 –1; 260 –1=23–1=7
.
2009@My Maths Space.
1.
2.a.
2.b.
3.a.
3.b.
3.c.
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1
100%
