Topologie algébrique

Topologie algébrique
Pierron Théo
ENS Ker Lann

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Table des matières
1 Groupe de Poincaré 1
1.1 Rappels de topologie ....................... 1
1.2 Homotopie ............................. 2
1.3 Lacets et groupe fondamental .................. 4
1.4 Applications homotopes, espaces homéotopes .......... 6
1.5 Calcul de Π1(S1,1) ........................ 8
1.6 Application de Brouwer ..................... 10
1.6.1 Concept de rétraction ................... 10
2 Le théorème de Van-Kampen 11
2.1 Groupe libre ............................ 11
2.2 Produit libre de groupes ..................... 12
2.3 Produit amalgamé ........................ 13
2.4 Énoncé du théorème ....................... 14
2.5 Tores à plusieurs trous ...................... 16
3 Théorie élémentaire des revêtements 19
3.1 Rappels .............................. 19
3.2 Revêtements ............................ 20
3.3 Principe de monodromie ..................... 20
3.4 Relèvement des homotopies ................... 22
3.4.1 Énoncé ........................... 22
3.4.2 Démonstration du théorème de relèvement ....... 23
3.5 Action du Π1sur la fibre d’un revêtement ........... 24
3.5.1 Stabilisateurs ....................... 26
3.6 Le groupe du revêtement ..................... 26
4 Actions de groupes et revêtements 33
4.1 Théorème de Perron Frobenius .................. 38
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ii TABLE DES MATIÈRES
5 Exercices 41
5.1 Chapitre 1 ............................. 41
5.2 Chapitre 2 ............................. 41
5.3 Chapitre 3 ............................. 43
5.4 Chapitre 4 ............................. 47

Chapitre 1
Groupe de Poincaré
1.1 Rappels de topologie
Définition 1.1 Soit Xun espace topologique. Un chemin dans Xest une
application continue de γ: [a, b]→Xavec usuellement a= 0 et b= 1. On
dit que γ(a) et γ(b) sont les extrémités du chemin : l’origine et l’arrivée.
Définition 1.2 Xest connexe par arcs ssi pour tout (x, y)∈X2, il existe
un chemin de xàydans X.
Définition 1.3 On appelle espace projectif le quotient de Rn+1 \ {0}par
la relation de colinéarité. On le note Pn
R. On peut le munir de la topologie
quotient. C’est aussi le quotient de Snpar la relation x∼yssi x=±y.
Proposition 1.1
•Toute partie convexe est connexe par arcs.
•Les sphères sont connexes par arcs.
•Les espaces projectifs sont connexes par arcs.
•L’adhérence d’un connexe est connexe.
•Si Xest connexe par arcs alors il est connexe.
•Si (Aj)jsont connexes par arcs et s’ils ont un point commun, alors leur
union reste connexe par arcs.
Définition 1.4 La relation x∼yssi il existe un chemin de xàyest une
relation d’équivalence. Les classes d’équivalences sont appelées composantes
connexes.
Proposition 1.2 Si f:X→Yest continue et Xconnexe par arcs, alors
f(X) le reste. En particulier, si fest surjective, Yest connexe par arcs.
Définition 1.5 Une variété topologique de dimension nest un espace to-
pologique Vtel que tout point v∈Vpossède un voisinage homéomorphe à
un ouvert de Rn.
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