PCSI
2
Ensembles-Dénombrement Fiche 14
Ensembles
Exercice 1 Soit Eun ensemble, et A, B deux parties de E, on désire montrer que si A∩B=A∪Balors A=B.
1. Le prouver avec les fonctions indicatrices.
2. Le prouver par un raisonnement ensembliste.
Exercice 2 Soit Eun ensemble, et A, B, C trois sous-ensembles de E
1. Montrer que A⊂B⇐⇒ l1
A
≤l1
B
2. On pose X=A∪(B∩C)et Y= (A∪B)∩C, montrer que l’un des deux contient l’autre.
3. On suppose que A∩C⊂B∩Cet que A∪C⊂B∪C, montrer que A⊂B.
4. Reprendre les questions 2et 3par un raisonnement direct sur les ensembles.
Exercice 3 Soit Eun ensemble, pour (A, B)∈ P (E)
2
,on définit la différence symétrique A∆B= (A∪B)\(A∩B).
1. Calculer A∆A,A∆Eet A∆∅.
2. Exprimer l1
A∆B
à l’aide de l1
A
et de l1
B
.
3. Montrer que si (A, B, C)∈ P (E)
3
,on a (A∆B) ∆C=A∆ (B∆C)
4. Soit Φ : P(E)−→ P (E)
X−→ X∆A,calculer Φ◦Φ (X),puis résoudre l’équation X∆A=B.
Exercice 4 Soit Eun ensemble, et A, B deux parties de E, résoudre les équations d’inconnue X∈ P (E)
1
X∪A=B.
2
X∩A=B.
Exercice 5 Soit (n, p)∈N
2
avec p≥1, on note A
p
={k∈N,k≤net pdivise k}l’ensemble des entiers inférieurs à net
divisible par p. Montrer que #A
p
=n
p. Combien a-t-il d’entiers inférieurs à net divisible par 3et 5?
Récurrence
Exercice 6 Montrer que pour tout entier nl’entier naturel nn
2
+ 5est divisible par 6.
Exercice 7 Soit (s
n
)
n≥1
la suite définie par s
n
=
n
k=1
1
√k. Montrer que s
n
>2√n+ 1 −2. En déduire la limite de s
n
quand
ntend vers +∞.
Exercice 8 Montrer que pour tout n∈N
∗
, on a
n
k=1
(2k)! ≥((n+ 1)!)
n
Exercice 9 Déterminer le terme général de la suite (u
n
)
n∈N
définie par u
0
= 0,u
1
= 1,u
2
= 4 et ∀n∈N,u
n+3
=
3u
n+2
−3u
n+1
+u
n
.
Exercice 10 Soit (u
n
)
n∈N
la suite définie par
u
0
= 1, u
1
= 10 et ∀n≥0,u
n+2
= 5u
n+1
−4u
n
+ 3n+ 8
Montrer que ∀n∈N,u
n
= 4
n+1
−(n+ 3) (n+ 2)
2
Exercice 11 On définit la suite (u
n
)
n∈N
par
u
0
= 1 et u
n+1
=
n
k=0
u
k
Montrer par récurrence forte que pour tout n≥1,u
n
= 2
n−1
.
—1/4—
L F, L