Suites et limites

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I-
Ch.03 Suites et raisonnement par récurrence
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Objectifs, capacités
C1 : Savoir mener un raisonnement par récurrence
Algo 1 : Dépassement de seuil
Suite majorée, minorée, bornée
Limite finie ou infinie d’une suite
Limites et comparaison (démonstration 1)
Opérations sur les limites
Cas particulier de la suite (q n ) (démonstration 2)
II-
Pré-requis
Notion de suite indexée sur N
Suites arithmétiques, géométriques
Sommes :
• 1+2+···+n
• 1 + q + · · · + qn
• Calculer les termes d’une suite à la calculatrice
III-
Activités d’approche
Act 2 p 67 : dépassement de seuil et algorithme, limite d’une suite, limite d’une suite géométrique
de raison supérieure à 1
Act 1 p 43 : limite finie d’une suite lorsque n tend vers l’infini
Act 2 p 43 : limite infinie d’une suite lorsque n tend vers l’infini, minoration par une suite tendant
vers l’infini.
IV-
TP (thèmes, outils), DM
DM ”Suite et nombres complexes”
V1)
Cours
Raisonnement par récurrence
Propriété 1
Pour prouver qu’une proposition Pn est vraie pour tout n à partir d’un rang n0 donné.
• Initialisation : On prouve que Pn0 est vraie (la proposition est vraie au rang n0 )
• Hérédité : On prouve que ≪ si Pn est vraie à un certain rang n quelconque ≫ (hypothèse
de récurrence HR), alors cela impliquera que Pn+1 sera vraie aussi.
Exercices 5,6 p 69, 24, 26, 35 p 75 (en particulier savoir démontre 1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
)
2
Remarques :
• L’initialisation est obligatoire (voir ex 31 p 75)
• Si on initialise à un certain rang, la propriété devient vraie à partir de ce rang
• On doit absolument se servir de l’hypothèse de récurrence (HR) dans son raisonnement
2)
Limites d’une suite
Propriété 2 ((un ) tend vers +∞)
• En Français : Pour n’importe quel nombre positif A (sous-entendu aussi grand que l’on
souhaite), on peut toujours trouver un rang N à partir duquel tous les termes de la suite
seront supérieurs à A.
• En Mathématiques :
Pour tout A > 0, il existe N tel que pour tout n > N, un > A
Remarques :
• Dans la pratique, on détermine N en résolvant l’inéquation un > A
• On démontre souvent que la suite est croissante pour s’assurer que tous les termes après uN seront
supérieurs à A.
• Il est important de savoir écrire la limite −∞
Propriété 3 ((un ) tend vers l)
• En Français : Pour n’importe quel nombre positif ǫ (sous-entendu aussi petit que l’on
souhaite), on peut toujours trouver un rang N à partir duquel la distance entre chaque
terme de la suite et l sera inférieure à ǫ.
• En Mathématiques :
Pour tout ǫ > 0, il existe N tel que pour tout n > N, |un − l| < ǫ
Remarques :
• On se rappelle que la valeur absolue |b − a| sert à définir la distance entre deux nombres a et b.
• Dans la pratique, on détermine N en résolvant l’inéquation |un − l| < ǫ
• On écrit aussi −ǫ < un − l < ǫ, ou un ∈]l − ǫ; l + ǫ[
• Il peut être utile de savoir écrire cette définition en choisissant une valeur numérique (en particulier
lorsque l = 0)
3)
Suites et comparaisons
Propriété 4 (Minoration par une limite infinie)
Si (un ) et (vn ) sont deux suites telles que :
- un est inférieure à vn à partir d’un certain rang
- un tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞
Alors vn tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞
Remarque :
On a une propriété similaire concernant les suites majorées par une suite tendant vers −∞
Propriété 5 (Théorème des gendarmes)
Si (un ), (vn ) et (wn ) sont des suites telles que :
- À partir d’un certain rang, un < vn < wn pour tout n,
- un et wn tendent vers une même limite (finie ou non) l
Alors vn tend vers la même limite l.
4)
Critères de convergence
Propriété 6 (Suite géométrique de raison q)
Une suite géométrique de raison q converge si et seulement si −1 <≤ q < 1, et sa limite vaut 0.
Propriété 7 (Suite majorée, minorée)
• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.
Remarque :
Même si on sait que la suite converge, il reste à déterminer sa limite (qui n’est pas forcément la
majorant / minorant).
VI-
Démonstrations
Propriété 8 (Minoration par une limite infinie)
Si (un ) et (vn ) sont deux suites telles que :
- un est inférieure à vn à partir d’un certain rang
- un tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞
Alors vn tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞
Propriété 9 (Limite infinie d’une suite géométrique)
Si q > 1, alors la suite (q n ) tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.
VII-
Exercices-types rédigés