Suites et limites

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Ch.03 Suites et raisonnement par r´ecurrence
I- Objectifs, capacit´es
C1 : Savoir mener un raisonnement par r´ecurrence
Algo 1 : D´epassement de seuil
Suite major´ee, minor´ee, born´ee
Limite finie ou infinie d’une suite
Limites et comparaison (d´emonstration 1)
Op´erations sur les limites
Cas particulier de la suite (qn) (d´emonstration 2)
II- Pr´e-requis
Notion de suite index´ee sur N
Suites arithm´etiques, g´eom´etriques
Sommes :
•1 + 2 + ···+n
•1 + q+···+qn
•Calculer les termes d’une suite `a la calculatrice
III- Activit´es d’approche
Act 2 p 67 : d´epassement de seuil et algorithme, limite d’une suite, limite d’une suite g´eom´etrique
de raison sup´erieure `a 1
Act 1 p 43 : limite finie d’une suite lorsque ntend vers l’infini
Act 2 p 43 : limite infinie d’une suite lorsque ntend vers l’infini, minoration par une suite tendant
vers l’infini.
IV- TP (th`emes, outils), DM
DM ”Suite et nombres complexes”
V- Cours
1) Raisonnement par r´ecurrence
Pour prouver qu’une proposition Pnest vraie pour tout n`a partir d’un rang n0donn´e.
•Initialisation : On prouve que Pn0est vraie (la proposition est vraie au rang n0)
•H´er´edit´e : On prouve que ≪si Pnest vraie `a un certain rang nquelconque ≫(hypoth`ese
de r´ecurrence HR), alors cela impliquera que Pn+1 sera vraie aussi.
Propri´et´e 1
Exercices 5,6 p 69, 24, 26, 35 p 75 (en particulier savoir d´emontre 1 + 2 + ···+n=n(n+ 1)
2)

Remarques :
•L’initialisation est obligatoire (voir ex 31 p 75)
•Si on initialise `a un certain rang, la propri´et´e devient vraie ` a partir de ce rang
•On doit absolument se servir de l’hypoth`ese de r´ecurrence (HR) dans son raisonnement
2) Limites d’une suite
•En Fran¸cais : Pour n’importe quel nombre positif A(sous-entendu aussi grand que l’on
souhaite), on peut toujours trouver un rang N`a partir duquel tous les termes de la suite
seront sup´erieurs `a A.
•En Math´ematiques :
Pour tout A > 0,il existe Ntel que pour tout n > N, un> A
Propri´et´e 2 ((un) tend vers +∞)
Remarques :
•Dans la pratique, on d´etermine Nen r´esolvant l’in´equation un> A
•On d´emontre souvent que la suite est croissante pour s’assurer que tous les termes apr`es uNseront
sup´erieurs `a A.
•Il est important de savoir ´ecrire la limite −∞
•En Fran¸cais : Pour n’importe quel nombre positif ǫ(sous-entendu aussi petit que l’on
souhaite), on peut toujours trouver un rang N`a partir duquel la distance entre chaque
terme de la suite et lsera inf´erieure `a ǫ.
•En Math´ematiques :
Pour tout ǫ > 0,il existe Ntel que pour tout n > N, |un−l|< ǫ
Propri´et´e 3 ((un) tend vers l)
Remarques :
•On se rappelle que la valeur absolue |b−a|sert `a d´efinir la distance entre deux nombres aet b.
•Dans la pratique, on d´etermine Nen r´esolvant l’in´equation |un−l|< ǫ
•On ´ecrit aussi −ǫ < un−l < ǫ, ou un∈]l−ǫ;l+ǫ[
•Il peut ˆetre utile de savoir ´ecrire cette d´efinition en choisissant une valeur num´erique (en particulier
lorsque l= 0)

3) Suites et comparaisons
Si (un) et (vn) sont deux suites telles que :
-unest inf´erieure `a vn`a partir d’un certain rang
-untend vers +∞lorsque ntend vers +∞
Alors vntend vers +∞lorsque ntend vers +∞
Propri´et´e 4 (Minoration par une limite infinie)
Remarque :
On a une propri´et´e similaire concernant les suites major´ees par une suite tendant vers −∞
Si (un), (vn) et (wn) sont des suites telles que :
-` A partir d’un certain rang, un< vn< wnpour tout n,
-unet wntendent vers une mˆeme limite (finie ou non) l
Alors vntend vers la mˆeme limite l.
Propri´et´e 5 (Th´eor`eme des gendarmes)
4) Crit`eres de convergence
Une suite g´eom´etrique de raison qconverge si et seulement si −1<≤q < 1, et sa limite vaut 0.
Propri´et´e 6 (Suite g´eom´etrique de raison q)
•Toute suite croissante et major´ee converge.
•Toute suite d´ecroissante et minor´ee converge.
Propri´et´e 7 (Suite major´ee, minor´ee)
Remarque :
Mˆeme si on sait que la suite converge, il reste `a d´eterminer sa limite (qui n’est pas forc´ement la
majorant / minorant).
VI- D´emonstrations
Si (un) et (vn) sont deux suites telles que :
-unest inf´erieure `a vn`a partir d’un certain rang
-untend vers +∞lorsque ntend vers +∞
Alors vntend vers +∞lorsque ntend vers +∞
Propri´et´e 8 (Minoration par une limite infinie)

Si q > 1, alors la suite (qn) tend vers +∞lorsque ntend vers +∞.
Propri´et´e 9 (Limite infinie d’une suite g´eom´etrique)
VII- Exercices-types r´edig´es