1/ Angle solide défini par un cône de résolution de

Électrostatique du vide : Gauss
Flux du champ électrostatique _ théorème de Gauss
1- Angle solide
¬ Angle plan
Soient deux demi-droites Ox et Oy d’intersection O (Cf.figure.1). La longer L de l’arc du cercle
intercepté par les demi-droites est définie par :
L
R
α
=
. de même : '
'
L
R
α =.
La mesure de l’angle plan
α
est, donc, indépendant du cercle utilisé par le calcul.
¬ Angle solide
Soit un cône de sommet O ; S et S’ les surfaces interceptées, respectivement, par les sphères
11 2 2
(, ) (, )OR et ORΣΣsur le même cône (Cf.figure.2). L’angle solide est défini par :
12
22
12
SS
ou
R
R
Ω= Ω= ; c’est l’angle sous lequel on voit S1 et S2, à partir du point O.
La mesure de l’angle solide Ω est, donc, indépendant de la sphère considérée.
Remarque
o La notion d’angle plan caractérise une portion du plan ; Unité : ( rad _ radian).
o La notion d’angle solide caractérise une portion de l’espace; Unité :(Sr_ Stéradian).
Application
1/ Angle solide défini par un cône de résolution de demi- angle au sommet
θ
.
2/ Angle solide sous lequel on voit toute une sphère, de son centre (tout l’espace).
2 (1 cos )
cone
π
θ
Ω
=−
4
sphère espace
π
Ω
=Ω =
¬ Angle solide élémentaire algébrique
Soit une surface élémentaire dS définie autour d’un point M, orientée par sa normale
()n dS dSn= .
Question : Sous quel angle solide d
Ω
, l’élément dS est vu du point O ?
On pose : ;OM
OM r u r ==
. L’angle solide « élémentaire » est défini par :
2
'dS
dr Ω= avec 'cosdS dS dS u n u dS
θ ===
ii
(Cf.figure ci - dessous)
x
O
L’
L
α
y
R’
R
O
R2
Ω
R1
S1 S2
figur
e
.
1
figur
e
.
2
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Électrostatique du vide : Gauss
soit : 2
udS
dr
Ω=
i
Application
En utilisant la notion d’angle solide calculer le champ électrostatique crée par un disque (O,R),
chargé uniformément ()
σ
, en un point M de son axe.
2-Expression du flux élémentaire
Soient q une charge ponctuelle fixe, placée en un point O, et dS : élément de surface, orienté
dS dSn
=
 .
Le champ électrique crée en M par q > 0 : 2
()4o
q
EM u
r
πε
= .
On définit le flux élémentaire du champ électrique ()EM
à travers dS par :
2
() 44
oo
qq
dEMdS udS d
r
φπε πε == =Ω ii
3-Flux sortant d’une surface fermée
On considère une surface fermée S et q une charge ponctuelle fixe ( q > 0 ).
1er cas : q à l’intérieur de S . Cf.figure.a
Le flux sortant de S : () ()
44
SS
oo
qq
dd
φφ
πε πε
=
=Ω=Ω
∫∫ ∫∫ .
Ω : angle solide sous lequel on voit toute la surface S ; 4()Sr
π
Ω
=.
Soit :
o
q
φ
ε
=
2ème cas : q à l’extérieur de S . Cf.figure.b
Le flux total sortant est : 12
()
Soo
qq
d
φφφφ
ε
ε
==+=−+
∫∫.Il en résulte que : 0
φ
=
''
dS dSn
dS dS u
=
=
O
q > 0
()EM
dS
M
dΩ
O
q > 0
'( )EM
'dS
M
d
Ω
dS
(S) (S)
Figur
e
.
a
Figur
e
.
b
O
d
Ω
dS dS’
u
n
θ
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Électrostatique du vide : Gauss
Conclusion
Le flux du champ électrostatique, crée par une charge (q) ponctuelle, à travers une surface fermée (S) vaut :
0
o
qq intérieur à (S)
q extérieur à (S)
ε
Soit une surface fermée (S) ; on considère un ensemble D de charges ponctuelles fixes { qi } et { qj }
( i
≠ j ).
i
j
q charges intérieurs à (S)
q charges extérieurs à (S)
# Le champ crée par la distribution D, est exprimé par :
ij
iji
EEE
≠
=+
∑∑
( principe de superposition )
# Le flux du champ E
à travers (S) :
int ( )
() 0érieur à S
i
ij
Siji i
oo
q
q
EdS
φφφ
εε
≠
==+=+=
∑∑ ∑
∫∫   
i
Enoncé du théorème de Gauss
Etant donnée une distribution quelconque de charges et une surface fermée (S), le flux du champ
électrostatique à travers cette surface fermée (S) est égale à la somme de toutes les charges
intérieures à (S), divisée par o
ε
.
()
()
So
q intérieures à S
EdS
φε ==
∑
∫∫
i
Remarque
E
: Champ crée par toute la distribution D .
()q intérieures à S
∑ : Uniquement les charges à l’intérieur de (S) .
Résumé
Pour appliquer le théorème de Gauss au calcul d’un champ électrostatique, en un point M de
l’espace, choisir une surface fermée (S) :
y Passant par le point M.
y Telle que la norme () ()EM EM=
, soit identique en tout point de (S).
y Telle que ()EM
soit normal à (S) en tout points de cette surface, donc colinéaire à la
normale extérieur e
dS : (S) est, donc, une équipotentielle.
()
() ()
() () () rieures à S
ee
SS
q
EM dS EMdS EM S
φε ⇒= = = =
∫∫ ∫∫
i
 inté
o
soit : ()
() rieures à S
q
EM S
ε
=inté
o
.
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Électrostatique du vide : Gauss
Application.1 _ Distribution à symétrie plane
On considère une distribution de charge (Σ) répartie avec une charge volumique
uniforme ρ dans une feuille plane infini d’épaisseur a. on néglige les effets de « bord ».
# Calculer le champ et le potentiel électrostatique au voisinage de cette distribution.
Application.2 _ Distribution à symétrie cylindrique
On considère une distribution de charge (Σ) répartie avec une charge volumique uniforme ρ dans un fil
cylindrique de rayon a.
# Calculer le champ et le potentiel électrostatique en un point M situé à une distance r
de l’axe de ce fil, faible devant sa longueur ( longueur infinie).
# Faire de même dans le cas d’une distribution surfacique uniforme.
Application.3 _ Distribution à symétrie sphérique
On considère une distribution de charge ( Σ ) isotrope autour d’un point O pris comme
origine
1- Montrer que le champ et le potentiel électrostatique en un point M de l’espace
prennent les formes suivantes :
r
E(M) = E(r) e et V(M) = V(r)
2- Calculer E(r) et V(r) en tout point de l’espace.
3- Donner l’allure des courbes E(r) et V(r).
# Refaire la même étude, en considérant le cas d’une distribution surfacique , de densité
uniforme σ .
Analogie Newton _ Coulomb
Cette analogie se traduit par la correspondance « électromécanique » ci-dessous:
⇔
Charge : q Masse : m
⇔
o
1-G
4πε
A savoir que la charge q peut être positive ou négative, alors qu’il n’existe pas de masse
négative.
Application
1-Par analogie avec la force de Coulomb, donner l’expression de la force gravitationnelle
g
f
à laquelle est soumise une particule de masse m, située en B, de la part d’une masse
ponctuelle M, située en A.
2-Définir le champ gravitationnel en B, ainsi le potentielle gravitationnelle en ce point.
3-Exercice
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Électrostatique du vide : Gauss
On considère une sphère de masse volumique o
ρ
constant, de centre O et de rayon a.
Calculer le champ de gravitation ()
g
H
ainsi que le potentielle gravitationnelle V(H),
crées par la sphère en tout point H de l’espace. On pose : r = OH.
1-La force gravitationnelle exercée par M sur m s’écrit : 3
mM
f
GAB
AB
=−
2-Le champ de gravitation : 3
fGM
g
AB
mAB
==−
 ; le potentiel gravitationnelle : GM
Vcte
A
B
=− + .
Champ & potentiel
3
3
4:
3
:() 4:
3
o
o
G r pour r a
gr a
G r pour r a
r
πρ
πρ
−<
=
−
>
Le champ de gravitation
22
3
2(3) :
3
:() 4:
3
o
o
G r a pour r a
Vr a
G pour r a
r
πρ
πρ
−
<
=
−>
Le potentiel gravitationnelle
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