CH3 Les complexes - La Boite à Cours

CH3 Terminale S
Les complexes
Rédacteur : Yann BANC
Le mot du prof :
L'ensemble des complexes se note ℂ . Les nombres complexes permettent par exemple, de
donner des solutions à l'équation x²+1=0 . Ceci qui n'était pas possible dans l'ensemble ℝ.
Le fait qu'un nombre au carré puisse être négatif donne une nouvelle dimensions aux
mathématiques.
Ces nombres furent créent par Cardan en 1545. Au cours de l'histoire ces nombres seront soumis
à beaucoup de méfiance. Beaucoup de grand mathématiciens travailleront pour enrichir cette
branche des mathématiques (Rafaele Bombeli, René Descartes et bien d'autres mathématiciens).
Aujourd'hui, les complexes sont utilisés principalement dans les domaines de l'optique et de
l'électricité.
Sommaire
Ensemble des complexes................................................................................. 2
2
La forme algébrique ...................................................................................... 3
3
Le plan complexe ......................................................................................... 4
4
Calcul avec les complexes ............................................................................... 5
5
Equation du second degré à coefficient réels ........................................................ 7
6
Forme trigonométrique d'un complexe ................................................................ 8
7
Forme exponentielle d'un complexe ..................................................................11
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1
1
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1 Ensemble des complexes
Définition :
L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ.
Un nombre complexe s'écrit
+
ù( , ) ∈ ℝ²
L'ensemble des nombres complexes englobe l'ensemble des réels. On note ℝ ⊂ ℂ.
L'ensemble ℂ est muni d'une loi d'addition et d'une loi de multiplication qui prolongent celle de ℝ.
Il existe un nombre complexe noté tel que ² = −1. On note un nombre complexe .
= 4 + √2
2 + 2 √2
−6,545454
1,33333
A
6
7
−1,212; 3,35; 2,435; B
−1;−3
1; 3; 1000
0; 30
N:Entiersnaturel(nombresentierspositifsounul)
Z:Entiersrelatifs(nombresentierspositifsounulounégatifs)
D:Nombresdécimaux(entiersrelatifs+lesnombresquiontunnombrefinidechiffresaprèsla
virgule)
=:Ensembledescomplexesquiseraprésentédanscechapitre.
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9:Nombreréels(Ajouteaurationnelslesnombresirrationnelstelqueπouencore√2).
2
Q:Nombrerationnels(ajouteauxentiersdécimauxlesnombresquipeuventêtreécritscommele
quotientdedeuxentiersouquionuneséquencedenombrepériodiqueaprèslavirgule).
2 La forme algébrique
Définition :
Un nombre complexe z a une écriture algébrique unique de la forme :
=J+ K
ùJ ∈ℝ; K ∈ℝ; ∈ℂ L
G
= −1
Le premier terme J constitue la partie réelle et le second terme K constitue la partie imaginaire.
On note: J = 9 ( ) et K = MN( ).
2.1
Réel pur
Propriété :
Lorsque OP(Q) = R on dit que Q est un réel. Ainsi, Q = S Tù S ∈ ℝ.
2.2
Imaginaire pur
Propriété :
Lorsque UV(Q) = R on dit que Q est un imaginaire pur. Ainsi, Q = WX Tù Y ∈ ℝ.
2.3
Egalité de deux nombres complexes
Propriété :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même la même partie
réelle et la même partie imaginaire.
Z + [\ = Z] + [\′ ⇔ `Z = Z′a
\ = \′
2.4
Opposé d'un nombre complexe
Propriété :
Le nombre complexe Q = S + [Y a pour opposé le complexe −Q = −S − [Y
2.5
Inverse d'un nombre complexe
Propriété :
Un nombre complexe Q = S + [Y admet pour inverse le complexe
b
Q
=
S
S²cY²
+[
Y
S²cY²
Exercice :
a. Le plan complexe est rapporté au plan (d; ef ; gf ).
b. Représenter les complexes suivant dans le plan complexe.
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3
F = −1 + 5
FB = −1 − 2
FG = 5
FH = −3
FA = 4
FI = −6
c. Parmi les complexes précédents, préciser les réels et les imaginaires purs.
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3 Le plan complexe
Les nombres complexes peuvent être représentés dans le plan, nous dirons que le plan
complexe est rapporté au plan (d; ef;gf).
L'axe (d; ef) est l'axe des parties réelles et l'axe (d; gf) est l'axe des parties imaginaires.
3.1 Affixe d'un point
A tout point h(J; K) on associe le complexe
Im(z)
ef
O
= J + K. On dit que
est l'affixe du point h.
M(z)
gf
Re(z)
parties réelles
jf
3.2 Affixe d'un vecteur i
A tout vecteur k
jf(J; K) on associe le complexe
On dit que
est l'affixe du vecteur k
jf.
= J + K.
3.3 Affixe d'un vecteur jjjjjjf
lm
jjjjjjf a pour affixe
Soient A et B deux points du plan d'affixes respectives Fn et Fo alors le vecteur lm
Fo −Fn .
jf et p
jf.
3.4 Affixe de la somme de deux vecteurs i
jf + p
jf a pour
Soient deux vecteurs i
jf et p
jf d'affixes respectives Fqjf et Frjf alors le vecteur s
jjf = i
affixe Ftjjf = Fqjf + Frjf
jf
3.5 Affixe de ui
jf a pour affixe v × Fqjf .
Soit un vecteur jif d'affixe Fqjf alors le vecteurui
3.6 Affixe du milieu d'un segment [AB]
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4
Soient A et B deux points du plan d'affixes respectives Fn et Fo alors le point M milieu du
yz cy{
segment [AB] a pour affixe Fx =
.
G
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Exercice :
Le plan complexe est rapporté au plan (d; ef;gf).
Soient les complexes F = 3 + 5 et FG = −4 + 9 .
Soient A le point d'affixe F et B le point d'affixeFG .
a. Tracer un repère du plan et placer A et B.
jjjjjf .
b. Donner l'affixe du vecteur }~
c. Donner l'affixe du point M milieu de [AB].
Exercice :
Soit un complexe F = −1 + 2
a. Donner la forme algébrique de FG qui est l'opposé de F .
b. Donner la forme algébrique de ZA qui est l'inverse de Z .
4 Calcul avec les complexes
Dans cette partie
= J + K et
4.1 Somme de complexes
4.2 Produit de complexes
]
= J ] + K′
+
×
]
]
= (J + J ] ) + (K + K ] )
= (JJ ] − KK ] ) + (JK ] + J ] K)
4.3 Quotient de complexes
′
1
= × 4.4 Equation produit de complexes
× ]=0⟺
= 0 k
]
= 0
4.5 Conjugué d'un nombre complexe
On appelle conjugué du complexe
le complexe ̅ = J − K
4.6 Propriété de conjugaison
Règle1:
+ ′ = ƒ + ƒ′
Règle1: ‚‚‚‚‚‚‚‚
Règle
× ′ = ƒ × ƒ′
Règle2: ‚‚‚‚‚‚‚
„ = ̅ „ Règle
Règle3: ‚‚‚‚
‚‚‚‚
Page
5
Règle
Règle4: … ≠ 0 ‡ ˆ… ‰Š‹ = ‰Š̅ ‹
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Exercice :
Soient les complexes F = 2 + 3 et FG = −3 + 2
a. Donner la forme algébrique du complexe F + FG
b. Donner la forme algébrique du complexe Z × ZG
y
c. Donner la forme algébrique du complexe Œ .
y•
Exercice :
Soient les complexes F = −2 + et FG = 5 + 5
a. Donner la forme algébrique du complexe F + FG
b. Donner la forme algébrique du complexe Z × ZG
y
c. Donner la forme algébrique du complexe Œ .
y•
d. Donner la forme algébrique des conjugués de F etFG.
Exercice :
Résoudre dans ℂ l'équation (F + 2 + 3 )(F − 4) = 0
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5 Equation du second degré à coefficient réels
Résoudre dans ℂ l'équation ² + + • = 0 consiste à trouver tous les nombres complexes
qui vérifient cette équation. Nous avions déjà travaillés sur la résolution des équations du
second degré dans l'ensemble ℝ en 1er S.
5.1 Rappel sur le discriminant
On appel ∆ (“ ‡L L) le discriminant de l'équation
²+
+• =0 ” •
≠ 0 et ∆= ² − 4 •.
5.2 Résolution dans l'ensemble des complexes
Soit l'équation az² + bz + c = 0 une équation d'inconnue z où a, b et c sont réels et a ≠ 0 alors avec
∆= b² − 4ac, l'équation admet :
• Si ∆> 0, deux solutions réelles distinctes qui sont
=
—˜—√∆
G™
et
G
=
—˜c√∆
• Si ∆= 0, une solution réelles double qui est
=
G™
−
2
• Si ∆< 0, deux solutions complexes distinctes qui sont
=
Exercice :
—˜—›√—∆
G™
et
G
=
—˜c›√—∆
G™
Résoudre dans ℂ l'équation 2 ² + 4 − 6 = 0
Exercice :
Résoudre dans ℂ l'équation (F + 2 + 3 )(F − 4) = 4
Exercice :
Résoudre dans ℂ le système suivant :
² + 2 − 8 = 0a
9 ( )>5
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œ
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6 Forme trigonométrique d'un complexe
6.1 Module d'un complexe
La notation | |se lie "module de z" et on a | | = ¡9 G ( ) + MN²( )
6.2 Argument d'un complexe
La notation }ˆ ( ) se lie "argument du complexe z".
e ; jjjjjjf
dh £[2 ]
Dans le repère (d; ef ; gf ), soit M le point d'affixe FŸ , on a }ˆ ( ) = ¢ jf
6.3 Forme trigonométrique du complexe
Tout complexe F peut se mettre sous la forme :
= | | × [• …¢ }ˆ ( )£ + × … ¦¢}ˆ ( )£]
Cette forme est appelé forme trigonométrique du complexe
Remarque :
− = | | × [• …( }ˆ ( ) + ) + × … ¦(}ˆ ( ) + )]
M(z)
|FŸ |
}ˆ (FŸ )
gf
d
ef
M(-z)
Remarque : Un module correspond à une longueur et un argument correspond à un
angle
o F = 1 + √3
o FG = 3 + 3i
o Fdroits
+ 2√3
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A = −2réservés
Page
Ecrire sous la forme trigonométrique les complexes suivants
8
Exercice :
6.4 Propriétés du module
• |z × z′| = |z| × |z′|
¨
• si z ] ≠ 0 alors § § =
¨]
|¨|
|¨]|
• |z| = 0 ⇔ z = 0
• −|z| = |z|
• |z‚| = |z|
• |z + z′| ≤ |z| + |z′|
• z × z‚ = |z|G
6.5 Propriétés de l'argument
Soient Q et Q′deux complexes d'arguments respectifs ª et ª′ avec ª et ª′ tous deux non nuls.
• Arg(z × z ] ) = Arg(z) + Arg(z ] )
• Arg ‰ ‹ = −Arg(z)
¨
¨
• Arg ‰ ‹ = Arg(z) − Arg(z ] )
¨]
• Arg(z « ) = n × Arg(z)
• Arg(z‚) = −Arg(z)
Page
9
• Arg(−z) = Arg(z) + π
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6.6 Lien avec les angles de vecteurs
jjjjf d'affixes respectives Q et Q′ .
Soient deux vecteurs s
jjf et s′
Les complexes Q et Q′ ont respectivement pour formes trigonométrique
Q = ¬(-T®(ª) + [ × ®[¯(ª)) et Q′ = ¬′(-T®(ª′) + [ × ®[¯(ª′))
Propriété :
jjjf
(° ; js
jjf) = l¬±(Q) = ª
jjjjf) = l¬±(Q] ) − l¬±(Q) = ª′ − ª
jjjjjf ; s′
(s
Schéma :
jjjjf
s′
ª] − ª
jjjf
s
ª′
ª
gf
d
ef
jjjjjjjf
jjjjjjjf − ²¶·(²³)
jjjjjjjjf = ²¶·(´µ)
jjjjjf; jjjjjf
Propriété : ¢²³
´µ£ = ²¶·(´µ)
jjjjjjjjf
²¶·(²³)
¹ − ¹´
jjjjjf£ = ²¶· ¸ µ
jjjjjf; ´µ
¢²³
º [»¼]
¹³ − ¹²
6.7 Colinéarité de vecteurs
jjjjjjf et jjjjjjjf
lm
½¾ sont colinéaires ⇔
jjjjjjf = b
jjjjjjf. ½¾
lm
¹µ − ¹´
jjjjjf; jjjjjf
⇔ ¢²³
´µ£ = R[¼] ⇔ ²¶· ¸
º = R[¼]
¹³ − ¹²
¹µ − ¹´
⇔¸
º ¿ÀÁ Âà ¶é¿Ä
¹³ − ¹²
6.8 Orthogonalité de vecteurs
jjjjjjf. jjjjjjf
lm
½¾ = R
jjjjjf; jjjjjf
⇔ ¢²³
´µ£ =
¼
¹µ − ¹´
¼
[¼] ⇔ ²¶· ¸
º = [¼]
»
¹³ − ¹²
»
Page
¹µ − ¹´
⇔¸
º ¿ÀÁ Âà WÅÆ·WÃÆW¶¿ Ƕ
¹³ − ¹²
10
jjjjjjf et jjjjjjjf
lm
½¾ sont orthogonaux ⇔
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7 Forme exponentielle d'un complexe
7.1 Forme exponentielle
Propriété : Tout complexe Q = ¬(-T®(ª) + [ × ®[¯(ª)) peut se mette sous la forme
Q = ¬ × V[ª , cette notation est appelée notation exponentielle du complexe Q.
7.2 Règle de calculs
›È
•
•
•
•
Ê ËÌ
×
=
›ÈÉ
—›È
Ê ËÌ
=
(
) =
É
Ê ËÌ
›È
•
›È
=
=−
×
›„È
›ÈcGÍ
Remarque:
›È
›(È—ÈÉ )
›È „
•
›(ÈcÈÉ )
=
›ÈcÍ
›ÈÉ
=
›¢ÈcÈÉ £
×
›ÈÉ
=
›¢ÈcÈÉ £
⇔œ
cos(θ + θ′) = cos(θ) cos(θ′) − sin(θ)sin(θ] )a
sin(θ + θ′) = sin(θ)cos(θ] ) + cos(θ)sin(θ] )
Page
11
›È
⇔ ¢cos(θ) + isin(θ)£¢cos(θ] ) + isin(θ] )£ = ¢cos(θ + θ′) + isin(θ + θ′)£
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