CH3 Terminale S Les complexes Rédacteur : Yann BANC Le mot du prof : L'ensemble des complexes se note ℂ . Les nombres complexes permettent par exemple, de donner des solutions à l'équation x²+1=0 . Ceci qui n'était pas possible dans l'ensemble ℝ. Le fait qu'un nombre au carré puisse être négatif donne une nouvelle dimensions aux mathématiques. Ces nombres furent créent par Cardan en 1545. Au cours de l'histoire ces nombres seront soumis à beaucoup de méfiance. Beaucoup de grand mathématiciens travailleront pour enrichir cette branche des mathématiques (Rafaele Bombeli, René Descartes et bien d'autres mathématiciens). Aujourd'hui, les complexes sont utilisés principalement dans les domaines de l'optique et de l'électricité. Sommaire Ensemble des complexes................................................................................. 2 2 La forme algébrique ...................................................................................... 3 3 Le plan complexe ......................................................................................... 4 4 Calcul avec les complexes ............................................................................... 5 5 Equation du second degré à coefficient réels ........................................................ 7 6 Forme trigonométrique d'un complexe ................................................................ 8 7 Forme exponentielle d'un complexe ..................................................................11 Page 1 1 ©La boite à cours - tous droits réservés 1 Ensemble des complexes Définition : L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ. Un nombre complexe s'écrit + ù( , ) ∈ ℝ² L'ensemble des nombres complexes englobe l'ensemble des réels. On note ℝ ⊂ ℂ. L'ensemble ℂ est muni d'une loi d'addition et d'une loi de multiplication qui prolongent celle de ℝ. Il existe un nombre complexe noté tel que ² = −1. On note un nombre complexe . = 4 + √2 2 + 2 √2 −6,545454 1,33333 A 6 7 −1,212; 3,35; 2,435; B −1;−3 1; 3; 1000 0; 30 N:Entiersnaturel(nombresentierspositifsounul) Z:Entiersrelatifs(nombresentierspositifsounulounégatifs) D:Nombresdécimaux(entiersrelatifs+lesnombresquiontunnombrefinidechiffresaprèsla virgule) =:Ensembledescomplexesquiseraprésentédanscechapitre. ©La boite à cours - tous droits réservés Page 9:Nombreréels(Ajouteaurationnelslesnombresirrationnelstelqueπouencore√2). 2 Q:Nombrerationnels(ajouteauxentiersdécimauxlesnombresquipeuventêtreécritscommele quotientdedeuxentiersouquionuneséquencedenombrepériodiqueaprèslavirgule). 2 La forme algébrique Définition : Un nombre complexe z a une écriture algébrique unique de la forme : =J+ K ùJ ∈ℝ; K ∈ℝ; ∈ℂ L G = −1 Le premier terme J constitue la partie réelle et le second terme K constitue la partie imaginaire. On note: J = 9 ( ) et K = MN( ). 2.1 Réel pur Propriété : Lorsque OP(Q) = R on dit que Q est un réel. Ainsi, Q = S Tù S ∈ ℝ. 2.2 Imaginaire pur Propriété : Lorsque UV(Q) = R on dit que Q est un imaginaire pur. Ainsi, Q = WX Tù Y ∈ ℝ. 2.3 Egalité de deux nombres complexes Propriété : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même la même partie réelle et la même partie imaginaire. Z + [\ = Z] + [\′ ⇔ `Z = Z′a \ = \′ 2.4 Opposé d'un nombre complexe Propriété : Le nombre complexe Q = S + [Y a pour opposé le complexe −Q = −S − [Y 2.5 Inverse d'un nombre complexe Propriété : Un nombre complexe Q = S + [Y admet pour inverse le complexe b Q = S S²cY² +[ Y S²cY² Exercice : a. Le plan complexe est rapporté au plan (d; ef ; gf ). b. Représenter les complexes suivant dans le plan complexe. Page 3 F = −1 + 5 FB = −1 − 2 FG = 5 FH = −3 FA = 4 FI = −6 c. Parmi les complexes précédents, préciser les réels et les imaginaires purs. ©La boite à cours - tous droits réservés 3 Le plan complexe Les nombres complexes peuvent être représentés dans le plan, nous dirons que le plan complexe est rapporté au plan (d; ef;gf). L'axe (d; ef) est l'axe des parties réelles et l'axe (d; gf) est l'axe des parties imaginaires. 3.1 Affixe d'un point A tout point h(J; K) on associe le complexe Im(z) ef O = J + K. On dit que est l'affixe du point h. M(z) gf Re(z) parties réelles jf 3.2 Affixe d'un vecteur i A tout vecteur k jf(J; K) on associe le complexe On dit que est l'affixe du vecteur k jf. = J + K. 3.3 Affixe d'un vecteur jjjjjjf lm jjjjjjf a pour affixe Soient A et B deux points du plan d'affixes respectives Fn et Fo alors le vecteur lm Fo −Fn . jf et p jf. 3.4 Affixe de la somme de deux vecteurs i jf + p jf a pour Soient deux vecteurs i jf et p jf d'affixes respectives Fqjf et Frjf alors le vecteur s jjf = i affixe Ftjjf = Fqjf + Frjf jf 3.5 Affixe de ui jf a pour affixe v × Fqjf . Soit un vecteur jif d'affixe Fqjf alors le vecteurui 3.6 Affixe du milieu d'un segment [AB] Page 4 Soient A et B deux points du plan d'affixes respectives Fn et Fo alors le point M milieu du yz cy{ segment [AB] a pour affixe Fx = . G ©La boite à cours - tous droits réservés Exercice : Le plan complexe est rapporté au plan (d; ef;gf). Soient les complexes F = 3 + 5 et FG = −4 + 9 . Soient A le point d'affixe F et B le point d'affixeFG . a. Tracer un repère du plan et placer A et B. jjjjjf . b. Donner l'affixe du vecteur }~ c. Donner l'affixe du point M milieu de [AB]. Exercice : Soit un complexe F = −1 + 2 a. Donner la forme algébrique de FG qui est l'opposé de F . b. Donner la forme algébrique de ZA qui est l'inverse de Z . 4 Calcul avec les complexes Dans cette partie = J + K et 4.1 Somme de complexes 4.2 Produit de complexes ] = J ] + K′ + × ] ] = (J + J ] ) + (K + K ] ) = (JJ ] − KK ] ) + (JK ] + J ] K) 4.3 Quotient de complexes ′ 1 = × 4.4 Equation produit de complexes × ]=0⟺ = 0 k ] = 0 4.5 Conjugué d'un nombre complexe On appelle conjugué du complexe le complexe ̅ = J − K 4.6 Propriété de conjugaison Règle1: + ′ = ƒ + ƒ′ Règle1: ‚‚‚‚‚‚‚‚ Règle × ′ = ƒ × ƒ′ Règle2: ‚‚‚‚‚‚‚ „ = ̅ „ Règle Règle3: ‚‚‚‚ ‚‚‚‚ Page 5 Règle Règle4: … ≠ 0 ‡ ˆ… ‰Š‹ = ‰Š̅ ‹ ©La boite à cours - tous droits réservés Exercice : Soient les complexes F = 2 + 3 et FG = −3 + 2 a. Donner la forme algébrique du complexe F + FG b. Donner la forme algébrique du complexe Z × ZG y c. Donner la forme algébrique du complexe Œ . y• Exercice : Soient les complexes F = −2 + et FG = 5 + 5 a. Donner la forme algébrique du complexe F + FG b. Donner la forme algébrique du complexe Z × ZG y c. Donner la forme algébrique du complexe Œ . y• d. Donner la forme algébrique des conjugués de F etFG. Exercice : Résoudre dans ℂ l'équation (F + 2 + 3 )(F − 4) = 0 ©La boite à cours - tous droits réservés Page 6 5 Equation du second degré à coefficient réels Résoudre dans ℂ l'équation ² + + • = 0 consiste à trouver tous les nombres complexes qui vérifient cette équation. Nous avions déjà travaillés sur la résolution des équations du second degré dans l'ensemble ℝ en 1er S. 5.1 Rappel sur le discriminant On appel ∆ (“ ‡L L) le discriminant de l'équation ²+ +• =0 ” • ≠ 0 et ∆= ² − 4 •. 5.2 Résolution dans l'ensemble des complexes Soit l'équation az² + bz + c = 0 une équation d'inconnue z où a, b et c sont réels et a ≠ 0 alors avec ∆= b² − 4ac, l'équation admet : • Si ∆> 0, deux solutions réelles distinctes qui sont = —˜—√∆ G™ et G = —˜c√∆ • Si ∆= 0, une solution réelles double qui est = G™ − 2 • Si ∆< 0, deux solutions complexes distinctes qui sont = Exercice : —˜—›√—∆ G™ et G = —˜c›√—∆ G™ Résoudre dans ℂ l'équation 2 ² + 4 − 6 = 0 Exercice : Résoudre dans ℂ l'équation (F + 2 + 3 )(F − 4) = 4 Exercice : Résoudre dans ℂ le système suivant : ² + 2 − 8 = 0a 9 ( )>5 Page 7 œ ©La boite à cours - tous droits réservés 6 Forme trigonométrique d'un complexe 6.1 Module d'un complexe La notation | |se lie "module de z" et on a | | = ¡9 G ( ) + MN²( ) 6.2 Argument d'un complexe La notation }ˆ ( ) se lie "argument du complexe z". e ; jjjjjjf dh £[2 ] Dans le repère (d; ef ; gf ), soit M le point d'affixe FŸ , on a }ˆ ( ) = ¢ jf 6.3 Forme trigonométrique du complexe Tout complexe F peut se mettre sous la forme : = | | × [• …¢ }ˆ ( )£ + × … ¦¢}ˆ ( )£] Cette forme est appelé forme trigonométrique du complexe Remarque : − = | | × [• …( }ˆ ( ) + ) + × … ¦(}ˆ ( ) + )] M(z) |FŸ | }ˆ (FŸ ) gf d ef M(-z) Remarque : Un module correspond à une longueur et un argument correspond à un angle o F = 1 + √3 o FG = 3 + 3i o Fdroits + 2√3 ©La boite à cours - tous A = −2réservés Page Ecrire sous la forme trigonométrique les complexes suivants 8 Exercice : 6.4 Propriétés du module • |z × z′| = |z| × |z′| ¨ • si z ] ≠ 0 alors § § = ¨] |¨| |¨]| • |z| = 0 ⇔ z = 0 • −|z| = |z| • |z‚| = |z| • |z + z′| ≤ |z| + |z′| • z × z‚ = |z|G 6.5 Propriétés de l'argument Soient Q et Q′deux complexes d'arguments respectifs ª et ª′ avec ª et ª′ tous deux non nuls. • Arg(z × z ] ) = Arg(z) + Arg(z ] ) • Arg ‰ ‹ = −Arg(z) ¨ ¨ • Arg ‰ ‹ = Arg(z) − Arg(z ] ) ¨] • Arg(z « ) = n × Arg(z) • Arg(z‚) = −Arg(z) Page 9 • Arg(−z) = Arg(z) + π ©La boite à cours - tous droits réservés 6.6 Lien avec les angles de vecteurs jjjjf d'affixes respectives Q et Q′ . Soient deux vecteurs s jjf et s′ Les complexes Q et Q′ ont respectivement pour formes trigonométrique Q = ¬(-T®(ª) + [ × ®[¯(ª)) et Q′ = ¬′(-T®(ª′) + [ × ®[¯(ª′)) Propriété : jjjf (° ; js jjf) = l¬±(Q) = ª jjjjf) = l¬±(Q] ) − l¬±(Q) = ª′ − ª jjjjjf ; s′ (s Schéma : jjjjf s′ ª] − ª jjjf s ª′ ª gf d ef jjjjjjjf jjjjjjjf − ²¶·(²³) jjjjjjjjf = ²¶·(´µ) jjjjjf; jjjjjf Propriété : ¢²³ ´µ£ = ²¶·(´µ) jjjjjjjjf ²¶·(²³) ¹ − ¹´ jjjjjf£ = ²¶· ¸ µ jjjjjf; ´µ ¢²³ º [»¼] ¹³ − ¹² 6.7 Colinéarité de vecteurs jjjjjjf et jjjjjjjf lm ½¾ sont colinéaires ⇔ jjjjjjf = b jjjjjjf. ½¾ lm ¹µ − ¹´ jjjjjf; jjjjjf ⇔ ¢²³ ´µ£ = R[¼] ⇔ ²¶· ¸ º = R[¼] ¹³ − ¹² ¹µ − ¹´ ⇔¸ º ¿ÀÁ Âà ¶é¿Ä ¹³ − ¹² 6.8 Orthogonalité de vecteurs jjjjjjf. jjjjjjf lm ½¾ = R jjjjjf; jjjjjf ⇔ ¢²³ ´µ£ = ¼ ¹µ − ¹´ ¼ [¼] ⇔ ²¶· ¸ º = [¼] » ¹³ − ¹² » Page ¹µ − ¹´ ⇔¸ º ¿ÀÁ Âà WÅÆ·WÃÆW¶¿ Ƕ ¹³ − ¹² 10 jjjjjjf et jjjjjjjf lm ½¾ sont orthogonaux ⇔ ©La boite à cours - tous droits réservés 7 Forme exponentielle d'un complexe 7.1 Forme exponentielle Propriété : Tout complexe Q = ¬(-T®(ª) + [ × ®[¯(ª)) peut se mette sous la forme Q = ¬ × V[ª , cette notation est appelée notation exponentielle du complexe Q. 7.2 Règle de calculs ›È • • • • Ê ËÌ × = ›ÈÉ —›È Ê ËÌ = ( ) = É Ê ËÌ ›È • ›È = =− × ›„È ›ÈcGÍ Remarque: ›È ›(È—ÈÉ ) ›È „ • ›(ÈcÈÉ ) = ›ÈcÍ ›ÈÉ = ›¢ÈcÈÉ £ × ›ÈÉ = ›¢ÈcÈÉ £ ⇔œ cos(θ + θ′) = cos(θ) cos(θ′) − sin(θ)sin(θ] )a sin(θ + θ′) = sin(θ)cos(θ] ) + cos(θ)sin(θ] ) Page 11 ›È ⇔ ¢cos(θ) + isin(θ)£¢cos(θ] ) + isin(θ] )£ = ¢cos(θ + θ′) + isin(θ + θ′)£ ©La boite à cours - tous droits réservés