CH3 Les complexes - La Boite à Cours
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CH3 Terminale S
Les complexes
Rédacteur : Yann BANC
Le mot du prof :
L'ensemble des complexes se note
. Les nombres complexes permettent par exemple, de
donner des solutions à l'équation x²+1=0 . Ceci qui n'était pas possible dans l'ensemble
.
Le fait qu'un nombre au carré puisse être négatif donne une nouvelle dimensions aux
mathématiques.
Ces nombres furent créent par Cardan en 1545. Au cours de l'histoire ces nombres seront soumis
à beaucoup de méfiance. Beaucoup de grand mathématiciens travailleront pour enrichir cette
branche des mathématiques (Rafaele Bombeli, René Descartes et bien d'autres mathématiciens).
Aujourd'hui, les complexes sont utilisés principalement dans les domaines de l'optique et de
l'électricité.
Sommaire
1
Ensemble des complexes................................................................................. 2
2
La forme algébrique ...................................................................................... 3
3
Le plan complexe ......................................................................................... 4
4
Calcul avec les complexes ............................................................................... 5
5
Equation du second degré à coefficient réels ........................................................ 7
6
Forme trigonométrique d'un complexe ................................................................ 8
7
Forme exponentielle d'un complexe .................................................................. 11
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1 Ensemble des complexes
Définition :
L'ensemble des nombres complexes est noté .
Un nombre complexe s'écrit
L'ensemble des nombres complexes englobe l'ensemble des réels. On note .
L'ensemble est muni d'une loi d'addition et d'une loi de multiplication qui prolongent celle de .
Il existe un nombre complexe noté tel que On note un nombre complexe .
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A
B
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CCC
C
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C
D
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D
E
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F
?
F
G
?
F
A
@
F
B
F
H
F
I
D
2 La forme algébrique
Définition :
Un nombre complexe z a une écriture algébrique unique de la forme :
J K
J >K > L
G
Le premier terme J constitue la partie réelle et le second terme Kconstitue la partie imaginaire.
On note: J 9 et K MN.
2.1
Réel pur
Propriété :
Lorsque OPQ R on dit que Q est un réel. Ainsi, Q STS .
2.2
Imaginaire pur
Propriété :
Lorsque UVQ R on dit que
Q
est un imaginaire pur. Ainsi,
Q WX
TY
.
2.3 Egalité de deux nombres complexes
Propriété :
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même la même partie
réelle et la même partie imaginaire.
Z[\ Z
]
[\^
_`Z Z^
\ \^a
2.4 Opposé d'un nombre complexe
Propriété :
Le nombre complexe Q S[Ya pour opposé le complexe Q S[Y
2.5 Inverse d'un nombre complexe
Propriété :
Un nombre complexe Q S[Y admet pour inverse le complexe
b
Q
S
ScY
[
Y
ScY
Exercice :
a. Le plan complexe est rapporté au plan d>ef>gf.
b. Représenter les complexes suivant dans le plan complexe.
c. Parmi les complexes précédents, préciser les réels et les imaginaires purs.
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3 Le plan complexe
Les nombres complexes peuvent être représentés dans le plan, nous dirons que le plan
complexe est rapporté au plan d>ef>gf.
L'axe d>ef est l'axe des parties réelles et l'axe d>gf est l'axe des parties imaginaires.
3.1 Affixe d'un point
A tout point hJ>K on associe le complexe J K. On dit que est l'affixe du point h.
3.2 Affixe d'un vecteur i
j
j
f
A tout vecteur kj
f
J>K on associe le complexe J K.
On dit que est l'affixe du vecteur kj
f
.
3.3 Affixe d'un vecteur lm
j
j
j
j
j
j
f
Soient A et B deux points du plan d'affixes respectives F
n
et F
o
alors le vecteur lm
j
j
j
j
j
j
f
a pour affixe
F
o
F
n
.
3.4 Affixe de la somme de deux vecteurs i
j
j
f
et p
j
j
f
.
Soient deux vecteurs i
j
j
f
et p
j
f
d'affixes respectives F
q
j
j
f
et F
r
j
j
f
alors le vecteur s
j
j
f
i
j
j
f
p
j
j
f
a pour
affixe
F
t
j
j
f
F
q
j
j
f
F
r
j
j
f
3.5 Affixe de ui
j
j
f
Soit un vecteur i
j
j
f
d'affixe F
q
j
j
f
alors le vecteurui
j
j
f
a pour affixe v wF
q
j
j
f
.
3.6 Affixe du milieu d'un segment [AB]
Soient A et B deux points du plan d'affixes respectives F
n
et F
o
alors le point M milieu du
segment [AB] a pour affixe
F
x
y
z
cy
{
G
.
parties réelles
M
(z)
O
e
f
g
f
Im(z)
Re(z)
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Exercice :
Le plan complexe est rapporté au plan d>ef>gf.
Soient les complexes F
? et F
G
@|.
Soient A le point d'affixe F
et B le point d'affixeF
G
.
a. Tracer un repère du plan et placer A et B.
b. Donner l'affixe du vecteur }~
j
j
j
j
j
f
.
c. Donner l'affixe du point M milieu de [AB].
Exercice :
Soit un complexe F
a. Donner la forme algébrique de F
G
qui est l'opposé de F
.
b. Donner la forme algébrique de +
A
qui est l'inverse de +
.
4 Calcul avec les complexes
Dans cette partie
J K
et
]
J
]
K^
4.1 Somme de complexes ]J J]K K]
4.2 Produit de complexes
w]JJ]KK]JK]J]K
4.3 Quotient de complexes
^w
4.4 Equation produit de complexes
w] C • Ck] C
4.5 Conjugué d'un nombre complexe
On appelle conjugué du complexe le complexe
€ J K
4.6 Propriété de conjugaison
•4-%
•4-% •4-%
•4-%
^
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
ƒ ^
ƒ
•4-%
•4-% •4-%
•4-%
w^
‚
‚
‚
‚
‚
‚
‚
ƒ w^
ƒ
•4-%
•4-% •4-%
•4-%
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‚
‚
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