ESPACES VECTORIELS 1 Espace vectoriel, alg`ebre

Chapitre 8
ESPACES VECTORIELS
Kest un corps commutatif, Eest un espace vectoriel sur K
1 Espace vectoriel, alg`ebre
D´efinition 1 Soit 
Eun ensemble non vide
+ une loi interne sur Ec’est `a dire une application de E×Edans E
.une loi externe sur Ec’est `a dire une application de K×Edans E
on dit que le triplet (E, +, .)est un Kespace vectoriel si
1. (E, +) est un groupe commutatif
2. ∀(u, v)∈E2∀α∈K α.(u+v) = α.u +α.v
3. ∀u∈E∀(α, β)∈K2(α+β).u =α.u +β.u
4. ∀u∈E∀(α, β)∈K2(αβ).u =α.(β.u)
5. ∀u∈E1.u =u
Les ´el´ements de Esont appel´es des vecteurs et ceux de Kdes scalaires.
D´efinition 2 On dit que Aest un sous-espace vectoriel de E(sev) si
1. A6=∅
2. ∀(u, v)∈A2u+v∈A
3. ∀u∈A∀λ∈K λ.u ∈A
Remarque 3 Aest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si
1. 0E∈A
2. ∀(u, v)∈A2∀(α, β)∈K2α.u +β.v ∈A
D´efinition 4 Soit Aun point d’un espace vectoriel et Fun sev de E. On appelle sous-espace
affine (sea) passant par Ade direction Fl’ensemble:
{A+u:u∈F}
D´efinition 5 Soit fune application de Edans Fon dit que fest lin´eaire si
1. ∀(x, y)∈E2f(x+y) = f(x) + f(y)
2. ∀x∈E∀α∈K f(αx) = αf (x)
l’ensemble des applications lin´eaires de Edans Fest not´e L(E, F ) .
L’ensemble des applications lin´eaires de Edans E, encore appel´ees endomorphismes est not´e
L(E)
L’ensemble des endomorphismes bijectifs de Eencore appel´es automorphismes est not´e GL(E)
.
Remarque 6 fest une application lin´eaire si et seulement si:
∀(x, y)∈A2∀(α, β)∈K2f(αx +βy) = αf(x) + βf(y)
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Proposition 7 1. L’image par une application lin´eaire d’un sev est un sev.
2. L’image r´eciproque par une application lin´eaire d’un sev est un sev.
3. Une application lin´eaire est injective si et seulement si son noyau est {0}
4. GL(E) est un groupe.
D´efinition 8 On appelle application affine de Edans Fune application telle qu’il existe un
vecteur bde Fet une application l∈ L(E, F ) tels que
∀x∈E, f(x) = b+l(x)
Proposition 9 1. L’image par une application affine d’un sea est un sea.
2. L’image r´eciproque par une application affine d’un sea est vide ou un sea.
3. La compos´ee de deux applications affines est affine, d’application lin´eaire associ´ee la
compos´ee des applications lin´eaires associ´ees.
4. Une application affine est bijective si et seulement si application lin´eaire associ´ee ll’est
et dans ce cas f−1a pour application lin´eaire associ´ee l−1
D´efinition 10 Soit Kun corps et Aun ensemble non vide muni de deux lois de composition
interne (not´ees + et ×) et d’une loi externe ( not´ee .). On dit que (A, +,×, .) est une K
alg`ebre si :
1. (A, +, .) est un Kespace vectoriel,
2. (A, +,×) est un anneau,
3. ∀(a, b)∈A2,∀λ∈K,(λ.a)×b=a×(λ.b) = λ.(a×b).
Exemple 11 1.K[X] est une K-alg`ebre,
2. si Eest un Kespace vectoriel alors (L(E),+, o, .) est une Kalg`ebre,
3.F(X, K) ensemble des fonctions d’un ensemble Xdans Kest une Kalg`ebre, en particulier
l’ensemble des suites r´eelles.
D´efinition 12 Soit (A, +,×, .) une Kalg`ebre et Bune partie de A, on dit que Best une
sous-alg`ebre de Asi :
1. 1A∈B
2. ∀(x, y)∈B2∀(α, β)∈K2αx +βy ∈B
3. ∀(x, y)∈B2x×y∈B
D´efinition 13 Soit Aet Bdeux Kalg`ebre, on appelle morphisme d’alg`ebres de Adans B
toute application lin´eaire qui est un morphisme d’anneaux c’est `a dire :
1. ∀(x, y)∈A2∀(α, β)∈K2f(αx +βy) = αf(x) + βf(y)
2. f(1A) = 1B
3. ∀(x, y)∈A2f(x×y) = f(x)×f(y)
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2 Familles generatrices, libres, bases
D´efinition 14 Soit Aune partie de E. On appelle combinaison lin´eaire des ´el´ements de A
tout ´el´ement de Ede la forme
p
X
k=1
λkuk;avec p∈N∗;λk∈K;uk∈A
Attention: Apeut ˆetre infinie mais le nombre d’´el´ements dans la somme est fini
Proposition 15 Soit Aune partie non vide de E, l’ensemble des combinaisons lin´eaires des
´el´ements de Aest un sous espace vectoriel de E, on l’appelle espace vectoriel engendr´e par
Aet on le note V ect(A).
V ect(A) est le plus petit sous espace vectoriel de Econtenant A.
On d´efinit de mˆeme le sous espace vectoriel engendr´e par une famille de vecteurs de E.
D´efinition 16 La famille (ui)i∈Iest une famille g´en´eratrice de Esi E=V ect(ui)i∈I
D´efinition 17 •On dit que la famille (u1, ..., up) de vecteurs de Eest li´ee ou lin´eairement
d´ependante si :
∃(λ1, ...., λn)∈Kp; (λ1, ...., λp)6= (0, .., 0) :
p
X
k=1
λkuk= 0
Si la famille (u1, u2) est li´ee on dit que les vecteurs u1, u2sont colin´eaires.
•On dit que la famille (u1, ..., up) de vecteurs de Eest libre ou lin´eairement ind´ependante
si elle n’est pas li´ee.
On dit que la famille (xi)i∈I∈EIest libre si toute sous-famille finie est libre.
Proposition 18 La famille (u1, ..., up) de vecteurs de Eest libre si et seulement si
p
X
k=1
λkuk= 0!⇒(λ1=... =λp= 0)
D´efinition 19 On dit que la famille (xi)i∈I∈EIest une base si elle est libre et g´en´eratrice.
Exemple 20 1. La famille (Xn)n∈Nest une base de K[X],appel´ee base canonique.
2. Toute famille (Pn)n∈N∈K[X]Ntelle que deg Pn=nest une base de K[X].
3. La famille (fa)a∈R∈ C(R,R) , d´efinie par fa(x) = eax est une famille libre de C(R,R).
4. Soit [a, b] un segment de Rtel que a < b,
la famille (fx)x∈[a,b]∈ C([a, b],R) , d´efinie par fx(t) = |x−t|est une famille libre de
C([a, b],R).
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels.
Proposition 21 Soit u∈ L(E, F ), soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E, on a :
u(V ect(xi)i∈I) = V ect(u(xi))i∈I
(uinjective et (xi)i∈Ilibre) ⇒(u(xi))i∈Ilibre
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Th´eor`eme 22 Soient (ei)i∈Iune base de Eet (fi)i∈Iune famille de vecteurs de F.
Il existe une unique application lin´eaire u∈ L(E, F ) telle que ∀i∈I, u(ei) = fi, de plus :
u bijective ⇔(fi)i∈Iest une base
Remarque 23 Si Eet Fsont de dimension finie et si dim E= dim Falors :
u surjective ⇔u injective
D´efinition 24 Soit u∈ L(E, F ) , on dit que uest de rang fini si Imu est de dimension finie,
on appelle alors rang de ula dimension de Imu.
3 Produit d’une famille finie d’espaces vectoriels
Th´eor`eme-d´efinition 25 Soient E1,..., Ennespaces vectoriels sur K.
L’ensemble produit Qn
i=1 Eimuni des lois produits d´efinies par :
(x1, ..., xn)+(y1, ..., yn) = (x1+y1, ..., xn+yn)et α(x1, ..., xn) = (αx1, ..., αxn)
est un espace vectoriel appel´e espace vectoriel produit..
Les projections canoniques πi: (x1, ..., xn)7→ xide Qj∈IEjdans Eisont lin´eaires.
Remarque 26 Lorsque ∀i∈ {1, ..., n},Fi=E, on note le produit En. Il s’identifie naturelle-
ment `a A({1, ..., n}, E).
Proposition 27 Si les espaces vectoriels Eisont de dimension finie pour tout ialors Qn
i=1 Fi
est de dimension finie et
dim
n
Y
i=1
Fi=
n
X
i=1
dim Fi
4 Somme et somme directe d’une famille finie d’espaces
vectoriels
4.1 D´efinitions
D´efinition 28 Soient E1,..., Errsous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E.
On appelle somme des sous-espaces vectoriels (Ei)i∈{1,...,r}le sous-espace vectoriel :
r
X
i=1
Ei=(r
X
i=1
xi:∀i∈ {1, ..., r}, xi∈Ei)
Proposition 29 Lorsque Eest de dimension finie,
dim
r
X
i=1
Ei≤
r
X
i=1
dim Ei
D´efinition 30 On dit que Eest somme directe des espaces vectoriels Ei, i ∈ {1, ..r}on note
E=
r
M
i=1
Ei
si l’une des propri´et´es ´equivalentes suivantes est v´erifi´ee.
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1. Tout vecteur de Ese d´ecompose de mani`ere unique comme somme de vecteurs des Ei
2. L’application suivante est un isomorphisme :
Qr
i=1 Ei→E
(x1, ..., xr)7→ Pr
i=1 xi
3. 
=Pr
i=1 Ei
∀(x1, ..., xr)∈Qr
i=1 Ei,(Pr i=1 xi= 0) ⇒(∀i∈ {1, ..., r}, xi= 0 
l
4. 
E=Pr
i=1 Ei
∀j∈ {1, ..., r}, Ej∩P1≤i≤r,i6=jEi={0}
Proposition 31 Lorsque Eest de dimension finie, on a les ´equivalence :
E=
r
M
i=1
Ei⇔E=Pr
i=1 Ei
dim E=Pr
i=1 dim Ei
E=
r
M
i=1
Ei⇔(∀j∈ {1, ..., r}, Ej∩P1≤i≤r,i6=jEi={0}
dim E=Pr
i=1 dim Ei
E=
r
M
i=1
Ei⇔la concat´enation des bases Bides Eiest une base Bde E
Dans ce cas on dit que Best une base adapt´ee `a Lr
i=1 Ei.
Proposition 32 Si Eest de dimension finie alors
dim(F+G) = dim F+ dim G−dim F∩G
4.2 Sous espaces suppl´ementaires
D´efinition 33 Si Eest somme directe des sous espaces Fet Gon dit que Fet Gsont
suppl´ementaires.
Th´eor`eme 34 du rang Soient u∈ L(E, F ),
L’image de uest isomorphe `a tout suppl´ementaire du noyau de u
Si Eest de dimension finie alors le rang de uest fini, le noyau de uest de codimension finie et :
dim E= ker u+rang u
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