ESPACES VECTORIELS 1 Espace vectoriel, alg`ebre

Chapitre 8
ESPACES VECTORIELS
K est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur K
1
Espace vectoriel, algèbre

 E un ensemble non vide
+ une loi interne sur E c’est à dire une application de E × E dans E
Définition 1 Soit

. une loi externe sur E c’est à dire une application de K × E dans E
on dit que le triplet (E, +, .) est un K espace vectoriel si
1.
2.
3.
4.
5.
(E, +) est un groupe commutatif
∀(u, v) ∈ E 2 ∀α ∈ K α.(u + v) = α.u + α.v
∀u ∈ E ∀(α, β) ∈ K2 (α + β).u = α.u + β.u
∀u ∈ E ∀(α, β) ∈ K2 (αβ).u = α.(β.u)
∀u ∈ E 1.u = u
Les éléments de E sont appelés des vecteurs et ceux de K des scalaires.
Définition 2 On dit que A est un sous-espace vectoriel de E (sev) si
1. A 6= ∅
2. ∀(u, v) ∈ A2
u+v ∈A
3. ∀u ∈ A ∀λ ∈ K λ.u ∈ A
Remarque 3 A est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si
1. 0E ∈ A
2. ∀(u, v) ∈ A2 ∀(α, β) ∈ K 2
α.u + β.v ∈ A
Définition 4 Soit A un point d’un espace vectoriel et F un sev de E. On appelle sous-espace
affine (sea) passant par A de direction F l’ensemble:
{A + u : u ∈ F }
Définition 5 Soit f une application de E dans F on dit que f est linéaire si
1. ∀(x, y) ∈ E 2 f (x + y) = f (x) + f (y)
2. ∀x ∈ E ∀α ∈ K f (αx) = αf (x)
l’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E, F ) .
L’ensemble des applications linéaires de E dans E, encore appelées endomorphismes est noté
L(E)
L’ensemble des endomorphismes bijectifs de E encore appelés automorphismes est noté GL(E)
.
Remarque 6 f est une application linéaire si et seulement si:
∀(x, y) ∈ A2 ∀(α, β) ∈ K 2
f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)
34
Proposition 7
1. L’image par une application linéaire d’un sev est un sev.
2. L’image réciproque par une application linéaire d’un sev est un sev.
3. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est {0}
4. GL(E) est un groupe.
Définition 8 On appelle application affine de E dans F une application telle qu’il existe un
vecteur b de F et une application l ∈ L(E, F ) tels que
∀x ∈ E, f (x) = b + l(x)
Proposition 9
1. L’image par une application affine d’un sea est un sea.
2. L’image réciproque par une application affine d’un sea est vide ou un sea.
3. La composée de deux applications affines est affine, d’application linéaire associée la
composée des applications linéaires associées.
4. Une application affine est bijective si et seulement si application linéaire associée l l’est
et dans ce cas f −1 a pour application linéaire associée l−1
Définition 10 Soit K un corps et A un ensemble non vide muni de deux lois de composition
interne (notées + et × ) et d’une loi externe ( notée . ). On dit que (A, +, ×, .) est une K
algèbre si :
1. (A, +, .) est un K espace vectoriel,
2. (A, +, ×) est un anneau,
3. ∀(a, b) ∈ A2 , ∀λ ∈ K, (λ.a) × b = a × (λ.b) = λ.(a × b).
Exemple 11 1.K[X] est une K-algèbre,
2. si E est un K espace vectoriel alors (L(E), +, o, .) est une K algèbre,
3.F(X, K) ensemble des fonctions d’un ensemble X dans K est une K algèbre, en particulier
l’ensemble des suites réelles.
Définition 12 Soit (A, +, ×, .) une K algèbre et B une partie de A, on dit que B est une
sous-algèbre de A si :
1. 1A ∈ B
2. ∀(x, y) ∈ B 2 ∀(α, β) ∈ K2
3. ∀(x, y) ∈ B 2 x × y ∈ B
αx + βy ∈ B
Définition 13 Soit A et B deux K algèbre, on appelle morphisme d’algèbres de A dans B
toute application linéaire qui est un morphisme d’anneaux c’est à dire :
1. ∀(x, y) ∈ A2 ∀(α, β) ∈ K 2 f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)
2. f (1A ) = 1B
3. ∀(x, y) ∈ A2 f (x × y) = f (x) × f (y)
35
2
Familles generatrices, libres, bases
Définition 14 Soit A une partie de E. On appelle combinaison linéaire des éléments de A
tout élément de E de la forme
p
X
λk uk ; avec p ∈ N∗ ; λk ∈ K; uk ∈ A
k=1
Attention: A peut être infinie mais le nombre d’éléments dans la somme est fini
Proposition 15 Soit A une partie non vide de E , l’ensemble des combinaisons linéaires des
éléments de A est un sous espace vectoriel de E, on l’appelle espace vectoriel engendré par
A et on le note V ect(A).
V ect(A) est le plus petit sous espace vectoriel de E contenant A.
On définit de même le sous espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs de E.
Définition 16 La famille (ui )i∈I est une famille génératrice de E si E = V ect(ui )i∈I
Définition 17
• On dit que la famille (u1 , ..., up ) de vecteurs de E est liée ou linéairement
dépendante si :
p
∃ (λ1 , ...., λn ) ∈ K ; (λ1 , ...., λp ) 6= (0, .., 0) :
p
X
λk uk = 0
k=1
Si la famille (u1 , u2 ) est liée on dit que les vecteurs u1 , u2 sont colinéaires.
• On dit que la famille (u1 , ..., up ) de vecteurs de E est libre ou linéairement indépendante
si elle n’est pas liée.
On dit que la famille (xi )i∈I ∈ E I est libre si toute sous-famille finie est libre.
Proposition 18 La famille (u1 , ..., up ) de vecteurs de E est libre si et seulement si
!
p
X
λk uk = 0 ⇒ (λ1 = ... = λp = 0)
k=1
Définition 19 On dit que la famille (xi )i∈I ∈ E I est une base si elle est libre et génératrice.
Exemple 20
1. La famille (X n )n∈N est une base de K[X], appelée base canonique.
2. Toute famille (Pn )n∈N ∈ K[X]N telle que deg Pn = n est une base de K[X].
3. La famille (fa )a∈R ∈ C(R, R) , définie par fa (x) = eax est une famille libre de C(R, R).
4. Soit [a, b] un segment de R tel que a < b,
la famille (fx )x∈[a,b] ∈ C([a, b], R) , définie par fx (t) = |x − t| est une famille libre de
C([a, b], R).
Soient E et F deux espaces vectoriels.
Proposition 21 Soit u ∈ L(E, F ), soit (xi )i∈I une famille de vecteurs de E , on a :
u(V ect(xi )i∈I ) = V ect(u(xi ))i∈I
(u injective et (xi )i∈I libre) ⇒ (u(xi ))i∈I libre
36
Théorème 22 Soient (ei )i∈I une base de E et (fi )i∈I une famille de vecteurs de F .
Il existe une unique application linéaire u ∈ L(E, F ) telle que ∀i ∈ I, u(ei ) = fi , de plus :
u bijective ⇔ (fi )i∈I est une base
Remarque 23 Si E et F sont de dimension finie et si dim E = dim F alors :
u surjective ⇔ u injective
Définition 24 Soit u ∈ L(E, F ) , on dit que u est de rang fini si Imu est de dimension finie,
on appelle alors rang de u la dimension de Imu.
3
Produit d’une famille finie d’espaces vectoriels
Théorème-définition
Q 25 Soient E1, ..., En n espaces vectoriels sur K.
L’ensemble produit ni=1 Ei muni des lois produits définies par :
(x1 , ..., xn ) + (y1 , ..., yn ) = (x1 + y1 , ..., xn + yn )
et
α(x1 , ..., xn ) = (αx1 , ..., αxn )
est un espace vectoriel appelé espace vectoriel produit..
Q
Les projections canoniques πi : (x1 , ..., xn ) 7→ xi de j∈I Ej dans Ei sont linéaires.
Remarque 26 Lorsque ∀i ∈ {1, ..., n}, Fi = E , on note le produit E n . Il s’identifie naturellement à A({1, ..., n}, E).
Q
Proposition 27 Si les espaces vectoriels Ei sont de dimension finie pour tout i alors ni=1 Fi
est de dimension finie et
n
n
Y
X
dim
Fi =
dim Fi
i=1
4
4.1
i=1
Somme et somme directe d’une famille finie d’espaces
vectoriels
Définitions
Définition 28 Soient E1, ..., Er r sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E.
On appelle somme des sous-espaces vectoriels (Ei )i∈{1,...,r} le sous-espace vectoriel :
( r
)
r
X
X
Ei =
xi : ∀i ∈ {1, ..., r}, xi ∈ Ei
i=1
i=1
Proposition 29 Lorsque E est de dimension finie,
dim
r
X
Ei ≤
i=1
r
X
dim Ei
i=1
Définition 30 On dit que E est somme directe des espaces vectoriels Ei , i ∈ {1, ..r} on note
E=
r
M
Ei
i=1
si l’une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée.
37
1. Tout vecteur de E se décompose de manière unique comme somme de vecteurs des Ei
2. L’application suivante est un isomorphisme :
Qr
→
i=1 Ei
(x1 , ..., xr ) 7→
3.
i=1
xi
P
= ri=1 Ei



E
Pr
∀(x1 , ..., xr ) ∈

Qr
P
( ri=1 xi = 0) ⇒ (∀i ∈ {1, ..., r}, xi = 0
i=1 Ei ,

l
4.
P
E= ri=1 Ei





∀j ∈ {1, ..., r}, Ej ∩




P
E
= {0}
i
1≤i≤r,i6=j
Proposition 31 Lorsque E est de dimension finie, on a les équivalence :
r
M
P
E = ri=1PEi
E=
Ei ⇔
dim E = ri=1 dim Ei
i=1
P
(
r
M
E
∀j ∈ {1, ..., r}, Ej ∩
1≤i≤r,i6=j i = {0}
E=
Ei ⇔
Pr
dim E = i=1 dim Ei
i=1
E=
r
M
Ei ⇔ la concaténation des bases Bi des Ei est une base B de E
i=1
Dans ce cas on dit que B est une base adaptée à
Lr
i=1
Ei .
Proposition 32 Si E est de dimension finie alors
dim(F + G) = dim F + dim G − dim F ∩ G
4.2
Sous espaces supplémentaires
Définition 33 Si E est somme directe des sous espaces F et G on dit que F et G sont
supplémentaires.
Théorème 34 du rang Soient u ∈ L(E, F ),
L’image de u est isomorphe à tout supplémentaire du noyau de u
Si E est de dimension finie alors le rang de u est fini, le noyau de u est de codimension finie et :
dim E = ker u + rang u
38
4.3
Projections
Proposition 35 Supposons E =
Lr
Ei , alors pour tout i ∈ I on a
!
M
E = Ei ⊕
Ej
i=1
1≤j≤r,i6=j
L
on peut définir pi la projection sur Ei parallèlement à 1≤j≤r,i6=j Ei ,
on dit que (pi )i∈{1,...,r} est une famille de projection associées à la décomposition (Ei )i∈{1,..,r} et
on a : :
P
1. ri=1 pi = id,
2. p2i = pi pour tout i,
3. pi opj = 0 pour tout (i, j) tel que i 6= j.
Définition 36 Soit p ∈ L(E) on dit que p est un projecteur si p2 = p
Proposition 37 p est un projecteur si et seulement si il existe deux sous espaces vectoriels E1
et E2 supplémentaires tels que p soit la projection sur E1 parallèlement à E2 .
Proposition 38 Soient E = F ⊕ G = F ⊕ H
La projection sur H parallèlement à F induit un isomorphisme de G sur H.
Définition 39 On dit que le sous-espace vectoriel E 0 de E est de codimension fine, s’il
possède un supplémentaire de dimension finie, on note co dim E 0 la dimension commune de ses
supplémentaires.
5
Dualité
5.1
Définitions
Définition 40 On appelle forme linéaire sur un K espace vectoriel E toute application linéaire
de E dans K.
On appelle dual de E l’ensemble des formes linéaires sur E et on le note E ∗ .
Exemple 41
1. forme coordonnée sur une base,
2. l’évaluation en un point,
3. Soient a et b deux réels tels que a ≤ b et E ={applications continues par morceaux de
[a, b] dans C }.
E → C
Rb
L’application
est une forme linéaire sur E
f 7→ a f
Proposition 42 E ∗ est un K espace vectoriel.
Définition 43 On appelle hyperplan de E tout sev de codimension 1
Théorème 44 Soit H un sev de E,
H est un hyperplan si et seulement si il est le noyau d’une forme linéaire ϕ sur E non nulle.
On dit alors que la relation ϕ(x) = 0 est une équation de H .
Proposition 45 Soient ϕ et ψ deux formes linéaires non nulles sur E; On a
ker ϕ = ker ψ ⇔ ∃α ∈ K ∗ , ϕ = αψ
39
5.2
Bases duales
Soit E u K espace vectoriel de dimension finie n
Théorème-définition 46 Soit B = (e1 , ....., en ) une base de E. On considère pour chaque i la
forme linéaire coordonnée e∗i sur E définie par
∀j ∈ {1, ....., n}, e∗i (ej ) = δi,j
La famille (e∗1 , ....., e∗n ) forme une base de E ∗ appelée base duale de B et est notée B ∗
Corollaire 47 E ∗ est un espace vectoriel de dimension n
Proposition 48 Soit B = (e1 , ....., en ) une base de E et B ∗ = (e∗1 , ....., e∗n ) sa base duale. On a
1.
n
X
∀x ∈ E, x =
e∗i (x)ei
i=1
n
X
∀ϕ ∈ E ∗ , ϕ =
ϕ(ei )e∗i
i=1
∗
2. ∀x ∈ E, ∀ϕ ∈ E si X = M atB (x) et U = M atB∗ (ϕ) alors ϕ(x) =t U X
0
0
Proposition 49 Soient B et B deux bases de E et P la matrice de passage de B à B .
0
La matrice de passage de B ∗ à B ∗ est t P −1
Théorème-définition 50 Pour toute base F de E ∗ , il existe une unique base B de E telle
que F = B ∗ , B est appellée la base préduale (ou duale) de F, on dit que B et F sont des bases
duales l’une de l’autre.
Exemple 51 Soit E = Cn [X].
1. Soit ϕk la forme linéaire définie par ϕk : P 7→ k!1 P (k) (0)
(ϕ0 , .., ϕn ) est la base duale de (X 0 , X, , X n )
2. Soit a0 , ....., an , n + 1 points distincts de C. Soit ϕk la forme linéaire définie par ϕk : P 7→
P (ak )
(ϕ0 , .., ϕn ) est la base duale de la famille des polynômes de Lagrange associée à a0 , ....., an
5.3
Formes linéaires et sous-espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Proposition 52 L’ensemble des formes linéaires s’annulant sur un sous-espace F de E de
dimension p est un sous-espace vectoriel de E ∗ de dimension n − p.
Proposition 53 Si (ϕ1 , ..., ϕq ) est une famille libre de formes linéaires, alors
F =
q
\
Kerϕi
i=1
est un sous-espace de E de dimension n − q.
De plus toute forme linéaire ϕ s’annulant sur F est combinaison linéaire de ϕ1 , ..., ϕq , les
coefficients de la combinaison linéaire s’appelle les multiplicateurs de Lagrange de ϕ.
q
\
Kerϕi ⊂ ker ϕ ⇔ ϕ ∈ V ect(ϕ1 , ..., ϕq )
i=1
40
5.4
Equations d’un s.e.v., d’un s.e.a.
Soit E un Ke.v. de dimension n, soit F un sev de E et soit A un sous espace affine
Théorème 54 Si dim F = p alors F est l’intersection de n − p hyperplans indépendants, c’est
à dire il existe n − p formes linéaires ϕi indépendantes telles que :
x ∈ F ⇔ ∀i ∈ {1, ..., n − p},
ϕi (x) = 0
On dit que le système
∀i ∈ {1, ..., n − p},
ϕi (x) = 0
est un système d’équations définissant F .
Remarque 55 Avec les notations précédentes, un hyperplan H contient F ssi il existe (α1 , ..., αn−p ) ∈
Kn−p tels que H a pour éqution :
n−p
X
αi ϕi (x) = 0
i=1
Théorème 56 Si dim A = p alors A est l’intersection de n−p hyperplans affines indépendants,
c’est à dire il existe n − p formes linéaires ϕi indépendantes et n − p scalaires bi tels que :
x ∈ A ⇔ ∀i ∈ {1, ..., n − p},
ϕi (x) = bi
On dit que le système
∀i ∈ {1, ..., n − p},
ϕi (x) = bi
est un système d’équations définissant A.
La direction de A est alors le sev défini par le système d’équations :
∀i ∈ {1, ..., n − p},
ϕi (x) = 0
Corollaire 57 Faisceaux de plans en dimension 3 :
Soit D une droite d’équation
a1 x + b 1 y + c 1 z = d 1
a2 x + b 2 y + c 2 z = d 2
Un plan P contient la droite D ssi il existe (α1 , α2 ) ∈ K2 tel que P a pour équation :
α1 (a1 x + b1 y + c1 z − d1 ) + α2 (a2 x + b2 y + c2 z − d2 ) = 0
6
Applications polynomiales sur Kn
K est un corps infini et n ∈ N∗
Définition 58 On appelle application mônome sur Kn , ou mônome sur Kn , toute application f(k1 ,...kn ) de Kn dans K définie par (x1 , ..., xn ) 7→ xk11 ...xknn avec (k1 , ...kn ) ∈ Nn . On notera
f(k1 ,...kn ) par abus xk11 ...xknn .
On appelle application polynomiale sur Kn ou polynôme sur Kn , toute combinaison linéaire
d’applications monômes.
On dit que P est une application polynomiale, si il existe un entier naturel n tel que p soit
une application polynomiale sur Kn .
41
Théorème 59 L’ensemble des applications polynomiales sur Kn est une algèbre de F(Kn , K)
noté K[x1 , ..., xn ].
Théorème 60 La famille (xk11 ...xknn )(k1 ,...kn )∈Nn est une base de K[x1 , ..., xn ].
Définition 61 On appelle degré d’une application polynômiale P , et l’on note deg P , le plus
grand entier k1 +...+kn tel que xk11 ...xknn apparaisse dans P . On pose par définition deg 0 = −∞.
Proposition 62 Soient P et Q deux applications polynomiales,
1. deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q)
2. deg(P Q) = deg P + deg Q
Définition 63 On appelle application polynomiale homogène toute application ne contenant
que des applications monômes de même degré.
Proposition
P 64 Toute application polynomiale P peut s’écrire de manière unique sous la
forme P = i∈I Pi avec I partie finie de N, Pi application polynomiale homogène de degré i.
7
Hors programme : Sous-algèbre monogène d’une K−algèbre
E désigne une K−algèbre non nécessairement commutative et a un élément de E.
7.1
Morphisme d’évaluation
P
P
Théorème 65 Si P = ni=1 αi X i ∈ K[X] , on appelle valeur de P en a, l’élément ni=1 αi ai
noté P (a).
f : K[X] → E
L’application a
est un morphisme d’algèbre.
P
7→ P (a)
Théorème-définition 66 L’image de fa est une sous-algèbre de E noté K[a].
C’est la plus petite sous-algèbre de E contenant a, on l’appelle la sous-algèbre de E engendrée par a.
Remarque 67 1. Le sous-espace vectoriel K[a] est engendré par {ak , ..k ∈ N}
2. K[a] est une algèbre commutative.
Définition 68 On appelle sous-algèbre monogène de E toute sous-algèbre de E de la forme
K[a].
Théorème-définition 69 Le noyau de fa est un idéal de K[X]. On l’appelle l’idéal annulateur de a.
On appelle polynôme annulateur de a tout élément de l’idéal annulateur de a.
Définition 70 On dit que a est :
• algébriquement libre si son idéal annulateur est réduit à {0},
• algébriquement lié si son idéal annulateur n’est pas réduit à {0}, on appelle alors
polynôme minimal de a, et on le note Ma , l’unique polynôme unitaire qui engendre cet
idéal.
42
Exemple 71
• la fonction sin est algébriquement libre dans C(R)
√
• 2 est algébriquement lié sur Q de polynôme minimal (X 2 − 2)
Pn 1 est algébriquement libre sur Q , on dit que c’est un
• La limite de la suite
k=1 kk!
nombre transcendant sur Q .
7.2
Structure d’une sous-algèbre monogène
Théorème 72
1. Si a est algèbriquement libre alors,
K[a] est de dimension infinie et fa est un isomorphisme d’algèbre.
2. Si a est algèbriquement liée alors,
K[a] est de dimension finie égale à n = deg Ma et la famille (1, a, ..., an−1 ) est une base de
K[a].
Supposons a algébriquement lié
Théorème 73 On a équivalence entre les propositions suivantes :
1. P est premier avec Ma ,
2. P (a) est inversible dans E,
dans ces conditions, l’inverse de P (a) est U (a) avec U P + V Ma = 1.
Théorème 74 On a équivalence entre les propositions suivantes :
1. le polynôme Ma est irréductible sur K[X],
2. l’algèbre K[a] est un corps,
3. l’algèbre K[a] est intègre.
Corollaire 75 Si E est intègre alors K[a] est un corps.
43