feuille 5

2M371 – Alg`ebre lin´eaire 2 Universit´e Pierre et Marie Curie
Math´ematiques Ann´ee 2016/2017
Feuille d’exercices no5 – Espace quotient - produit tensoriel
D´efinition 1. Soit Eun k-espace vectoriel et F⊆Eun sous-espace vectoriel. On d´efinit la relation
∼Fsur E:
x∼Fysi et seulement si x−y∈F.
Les ´el´ements de E/ ∼Fsont les ensembles
v+F={v+f|f∈F}, v ∈E.
On munit E/ ∼Fd’une structure d’un k-espace vectoriel comme suit :
(v1+F)+(v2+F) = v1+v2+F, λ(v+F) = λv +F.
Cet espace vectoriel E/ ∼Fs’appelle le quotient de Epar Fet se note E/F .
1. Soit Eun k-espace vectoriel de dimension finie et F⊆Eun sous-espace vectoriel. Soit f1, . . .,
fkune base de Fet f1, . . ., fk,g1, . . ., gmune base de E.
(a) Montrer que g1+F, . . ., gm+Fest une base de E/F . En d´eduire la formule dim E=
dim F+ dim(E/F ).
(b) Soit A ∈ Endk(E) un endomorphisme qui fixe F(i.e. Af∈Fpour tout f∈F). Alors on
peut d´efinir les op´erateurs A|F∈Endk(F) et A0∈Endk(E/F ) comme suit :
A|Ff=Af, f ∈F,
A0(e+F) = Ae+F, e ∈E.
Montrer que A0est bien d´efini (si e+F=e0+F, alors A0(e+F) = A0(e0+F)) et
A0∈Endk(E/F ).
(c) Montrer que la matrice Ade Adans la base f1, . . ., fk,e1, . . ., emest triangulaire par bloc :
A= ( B C
0E). Trouver la matrice de A|Fdans la base f1, . . ., fket la matrice de A0dans la
base e1+F, . . ., em+F.
(d) Montrer que χA=χA|FχA0. Montrer que µA|Fet µA0divisent µA. Montrer que µAdivise
µA|FµA0.
2. Soit P∈C[x], deg P=d. On d´esigne par hPil’id´eal engendr´e par P:
hPi=QP |Q∈C[x].
(a) Montrer qu’il existe un isomorphisme naturel de C-espaces vectoriels C[x]/hPi → Cd−1[x]
(on dit qu’un morphisme est naturel s’il ne d´epend pas du choix des bases).
(b) On suppose que Pest s´eparable (i.e. n’admet aucune racine multiple). Montrer qu’il existe
un isomorphisme naturel de C-alg`ebres C[x]/hPi → Cd(multiplication dans Cdest d´efinie
´el´ement-par-´el´ement).
D´efinition 2. Soit V,Wdeux k-espaces vectoriels. Le produit tensoriel de V⊗West le quotient de
l’espace vectoriel V∗Wdont la base consiste des paires (v, w), v∈V,w∈W, par le sous-espace F
engendr´e par les ´el´ements
(v1+v2, w)−(v1, w)−(v2, w),
(v, w1+w2)−(v, w1)−(v, w2),
(av, w)−a(v, w),
(v, aw)−a(v, w),
1

o`u v1,v2,v∈V,w1,w2,w2∈Wet a∈k. On d´esigne v⊗w= (v, w) + Fet on appelle les ´el´ements
de cette forme tenseurs purs.
3. (a) Soit U,V,Wtrois k-espaces vectoriels. Construire une bijection naturelle entre les appli-
cations bilin´eaires V×W→Uest les applications lin´eaires V⊗W→U.
(b) Soit {vi}une base de Vet {wj}une base de W. Montrer que {vi⊗wj}est une base de
V⊗W. En d´eduire dim(V⊗W).
(c) Construire un isomorphisme naturel V∗⊗W→Homk(V, W ) dans le cas dim V, dim W < ∞.
4. Soit e1,e2,e3,e4la base canonique de R4. Montrer que e1⊗e2+e3⊗e4n’est par un tenseur
pur dans R4⊗R4.
5. Soit A1:V1→W1,A2:V2→W2deux applications k-lin´eaires des espaces de dimension finie.
On d´efinit leur produit tensoriel A1⊗ A2:V1⊗V2→W1⊗W2sur les tenseurs purs comme suit :
(A1⊗ A2)(v1⊗v2)=(A1v1)⊗(A2v2),
et on ´etend la d´efinition sur V1⊗V2par lin´earit´e. On peut v´erifier que la d´efinition est correcte.
(a) Soient {ei},{fj},{hi},{gj}les bases de V1,W1,V2,W2;A1la matrice de A1dans les
bases {ei},{fj};A2la matrice de A2dans les bases {hi},{gj}. Ecrire la matrice A1⊗A2
de A1⊗ A2dans les bases {ei⊗hi},{fj⊗gj}. On appelle A1⊗A2le produit de Kronecker
des matrices A1et A2.
(b) Soit V1=W1,V2=W2. Soient λ1,v1une valeur propre et un vecteur propre de A1;λ2,v2
une valeur propre et un vecteur propre de A2. Montrer que λ1λ2,v1⊗v2sont une valeur
propre et un vecteur propre de A1⊗ A2.
(c) Soit k=C,V1=W1,V2=W2,χA1(ζ) = Qn1
i=1(λi−ζ), χA2(ζ) = Qn2 j=1(µj−ζ) (on autorise
des racines multiples). Montrer que
χA1⊗A2(ζ) = Y
1≤i≤n1
1≤j≤n2
λiµj−ζ.
En d´eduire les expressions pour tr(A1⊗ A2), det(A1⊗ A2) et rang(A1⊗ A2).
(d) Soit V1=W1,V2=W2. Soient λ1,v1une valeur propre et un vecteur propre de A1;λ2,v2
une valeur propre et un vecteur propre de A2. Montrer que λ1±λ2,v1⊗v2sont une valeur
propre et un vecteur propre de
A1⊗idV2±idV1⊗A2.
Pour k=Cobtenir l’expression pour le polynˆome caract´eristique des op´erateurs A1⊗
idV2±idV1⊗A2.
6. On appelle z∈Cun nombre alg`ebrique (resp. un entier alg`ebrique), si zest une racine d’un
polynˆome monique `a coefficients dans Q(resp. dans Z). L’ensemble de nombres alg`ebriques est
not´e Q, l’ensemble d’entiers alg`ebriques est not´e A.
(a) Montrer que z∈Zest un nombre alg`ebrique (resp. un entier alg`ebrique) si est seulement si
zest une valeur propre d’une matrice avec des ´el´ements dans Q(resp. dans Z). (Indication :
utiliser la matrice compagnon).
(b) Montrer que Qest un corps et Aest un anneau.
2