Exercices corrigés de SQ20

1
Exercices corrigés de SQ20
Corrigés TD 1 à 4
Printemps 
responsable de l'UV : André Turbergue
SQ20
TD1 : espaces probabilisés
TD1 : espaces probabilisés
1
Énoncés
Exercice 1.
Calculer si possible une constante réelle α telle qu'il existe une probabilité P sur N vériant
α
P ({n}) = n pour tout n ∈ N.
2
Exercice 2.
Partie A
On considère une suite (un )n∈N vériant pour tout entier n supérieur à 1,
un =
1
1
un+1 + un−1
2
2
Démontrer que (un )n∈N est une suite arithmétique.
Partie B
Soit p un entier naturel xé supérieur à 2 et n un entier tel que 0 6 n 6 p.
Une particule est placée sur un axe gradué, initialement au point I d'abscisse n.
On lance autant de fois que nécessaire une pièce de monnaie équilibrée.
À chaque obtention de Face, la particule avance d'une unité vers la droite.
À chaque obtention de Pile, la particule recule d'une unité vers la gauche.
Le jeu s'arrête dès que la particule atteint le point A d'abscisse zéro ou le point B d'abscisse p. On
note un la probabilité pour que le jeu s'arrête en A.
1. Que valent u0 et up ?
2. On note F l'événement : obtenir Face au premier lancer de la pièce
et An l'événement : le jeu s'arrête en A.
Démontrer que pour tout entier n tel que 1 6 n 6 p − 1, on a
1
1
un = un+1 + un−1
2
2
3. En déduire un en fonction de n et p.
4. Quelle est la probabilité pour que le jeu ne s'arrête jamais ?
Partie C
Un joueur joue au casino une succession de parties indépendantes. À chaque partie, la
probabilité qu'il a de gagner un euro est égale à 1/2 et celle de perdre un euro est aussi égale à 1/2.
Au départ le joueur a une cagnotte de n euros.
Le jeu s'arrête dès que le joueur est ruiné ou dès qu'il a en sa possession la somme de p euros (où
p est un entier strictement supérieur à n).
Quelle la probabilité que le joueur nisse ruiné ?
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Corrigés
1
1−
1
2
=2
Partie A
+∞ n
+∞
X
X
1
1
α
=
α
= 2α = 1, ce qui donne α = .
n
2
2
2
n=0
n=0
2
=
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: selon le principe de récurrence, pour tout entier naturel n,
un+1 − un = r. Autrement dit : ∀ n ∈ N, un+1 = un + r
Conclusion
? up = 0 : si au départ la particule est en B (point d'arrêt), elle ne pourra
pas atteindre le point A.
1. ? u0 = 1 : la particule se trouve initialement au point A et elle s'arrête en
A avant même de commencer sa marche.
Partie B
Ainsi (un )n∈N est une suite arithmétique.
•
• Soit k ∈ N. Supposons que uk+1 − uk = r. Démontrons alors, sous cette
hypothèse, que l'égalité est vraie au rang k + 1.
1
1
Par hypothèse, uk+1 = uk+2 + uk . D'où uk+2 + uk = 2 uk+1
2
2
D'où uk+2 − uk+1 = uk+1 − uk
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, uk+1 − uk = r
On en déduit que uk+2 − uk+1 = r
• L'égalité est vériée au rang initial n = 0 par dénition de r.
Posons r = u1 − u0 . Démontrons par récurrence sur n ∈ N que un+1 − un = r
Exercice 2.
On cherche α tel que P (N) =
n=0
+∞ n
X
1
X 1 n
On sait que la série géométrique
est convergente et admet pour somme :
2
Exercice 1.
2
1
2
1
1
un+1 + un−1
2
2
1
1
p
p
n
p
4. Notons Bn l'événement : le jeu s'arrête en B et posons vn = P (Bn ). On
choisit pour nouveau repère le repère d'origine B dans lequel le point A a
pour abscisse p. Dans ce repère, le point I a pour nouvelle abscisse m = p−n.
m
En procédant comme précédemment, on obtient vn = 1 −
Par conséquent pour tout entier n tel que 0 6 n 6 p, un = 1 −
On en déduit que 1 + p r = 0 puis que r = −
Pour tout entier n tel que 0 6 n 6 p, un = u0 + n × r
avec u0 = 1 et up = u0 + p r = 0
A
. L'égalité un = un+1 + un−1 est vraie pour tout entier naturel n
2
2
compris entre 1 et p − 1. Les termes u0 , u1 , u2 , . . . , up sont ceux d'une
suite arithmétique dont nous noterons r la raison.
1
3. On a aaire à une suite (nie) vériant la relation de récurrence de la partie
c.à.d. un =
P (An ) = P (F ) × PF (An ) + P (F ) × PF (An )
Les événements F et F forment une partition de l'univers Ω.
La formule des probabilités totales permet d'écrire :
PF (An ) = un−1
- Si on obtient Pile au premier lancer de la pièce, tout se passe alors
comme si la particule commençait sa marche au point d'abscisse n − 1. Donc
PF (An ) = un+1
où F désigne l'événement : obtenir Pile au premier lancer de la pièce.
Comme 1 6 n 6 p − 1, la particule eectue au moins un déplacement, et
on établit une relation de récurrence, en conditionnant par le résultat du
premier lancer de la pièce.
- Si on obtient Face au premier lancer de la pièce, tout se passe alors
comme si la particule commençait sa marche au point d'abscisse n + 1. Donc
2. La pièce de monnaie étant équilibrée, P (F ) = P (F ) =
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TD1 : espaces probabilisés
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n
(p − n)
=
p
p
= 1 − un − vn = 1 − 1 −
n
p
n
.
p
Partie C
−
Ainsi P (Cn ) = 0
Notons Cn l'événement : le jeu ne s'arrête jamais.
Les événements An , Bn et Cn sont deux à deux incompatibles et leur réunion
est égale à l'univers Ω.
Alors P (An ) + P (Bn )+ P (Cn ) = 1. D'où P (Cn ) = 1 − P (An ) − P (Bn )
Donc vn = 1 −
un = 1 −
p
n
La probabilité que le joueur nisse ruiné est la probabilité pour que la particule
arrête sa marche au point A (le point de cagnotte nulle). Cette probabilité est
L'expérience aléatoire de cette partie est diérente de celle de la partie B. On
garde cependant le même modèle : le jeu peut en eet être représenté par le mouvement d'une particule sur l'axe gradué précédent, obéissant aux mêmes règles de
déplacement. La cagnotte du joueur à chaque instant correspond à l'abscisse de la
particule sur l'axe.
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TD1 : espaces probabilisés
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SQ20
TD2 : variables aléatoires discrètes
TD2 : variables aléatoires discrètes
1
Énoncés
Exercice 1.
Un restaurant propose 3 menus diérents X , Y , Z et on suppose que chaque client choisit au
hasard l'un quelconque des trois menus, les choix des diérents clients étant indépendants les uns
des autres. Chaque client ne choisit qu'un seul menu.
Soit n est un entier tel que n > 3. Un jour donné, n clients se présentent au restaurant et on note
Xn (respectivement Yn , Zn ) le nombre aléatoire de clients choisissant le menu X (respectivement
Y, Z).
1. Quelle est la loi de Xn ( respectivement de Yn , Zn ) ? Donner son espérance et sa variance.
2. Déterminer la loi de la variable aléatoire n − Xn .
Exprimer l'espérance (resp. la variance) de n − Xn en fonction de n.
3. Que vaut Xn + Yn + Zn ? En déduire la loi de Yn + Zn .
4. Quelle est la probabilité que tous les clients choisissent le même menu ?
5. Calculer la probabilité P ([Xn = 0] ∪ [Yn = 0] ∪ [Zn = 0]).
En déduire la probabilité que le restaurateur soit obligé de préparer au moins une fois chacun
des trois menus.
6. On suppose dans cette question que n est un multiple de 3.
Déterminer la probabilité pour que les trois menus soient choisis par le même nombre de
clients.
Exercice 2.
On dispose d'une urne U contentant initialement quatre boules indiscernables au toucher : 2 boules
noires et 2 boules blanches. On considère l'expérience aléatoire suivante :
On tire au hasard et simultanément deux boules dans l'urne U . Si les deux boules sont de même
couleur, on enlève ces deux boules de l'urne U . Si elles ont des couleurs diérentes, on repose les
deux boules dans l'urne U puis on recommence l'expérience jusqu'à ce que l'urne U soit vide.
On note X le nombre de tirages nécessaires pour que l'urne U soit vide. On désigne par A1 l'évènement : au premier tirage dans l'urne U , les deux boules sont de même couleur et on note a
sa probabilité, c'est-à-dire a = P (A1 ).
1. Déterminer a.
2. Calculer P (X = 1), P (X = 2) et P (X = 3).
3. Montrer que, pour tout entier n > 2,
P (X = n) = a(1 − a)n−2 .
4. Établir que la variable aléatoire Z = X − 1 suit une loi géométrique dont on précisera le
paramètre.
5. Donner l'espérance et la variance de Z puis l'espérance et la variance de X .
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Exercice 3.
TD2 : variables aléatoires discrètes
Médian 2014.
Une machine fabrique en série des balles de ping-pong. Certaines balles fabriquées présentent un
défaut. C'est le cas pour 12% des balles. On suppose que le nombre de balles produites en 5 minutes
par la machine est une variable aléatoire Y qui suit une loi de Poisson de paramètre λ = 20.
On désigne par T la variable aléatoire qui compte le nombre de balles défectueuses produites par
la machine en 5 minutes.
1. Quel est le nombre moyen de balles fabriquées par la machine A en une heure ?
2. Soit k et n deux entiers naturels. En distinguant les cas k 6 n et k > n, déterminer la
probabilité conditionnelle P[Y =n] ([T = k]).
3. En utilisant le système complet d'événements {[Y = n] | n ∈ N } , reconnaître la loi de
probabilité de T .
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Corrigés
2n
n
et V (Xn ) =
3
9
n
k
k n−k
2
1
3
3
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3.
n
n−k
2n
3
et
2n
9
k k
2
2
1
n
=
k
3
3
3n−k
V (n − Xn ) = V (Xn ) =
3n−k
1
P ([Xn = n] ∩ [Yn = n]) = 0
Cependant P (Xn = n) × P (Yn = n) 6= 0.
En conséquence les v.a. Xn et Yn ne sont pas indépendantes
(b) Les évènements [Xn = n] et [Yn = n] sont incompatibles, donc
(a) Chaque client choisit un et un seul menu donc Xn + Yn + Zn = n
Donc Yn + Zn = n − Xn suit la loi binomiale B(n, 2/3).
E(n − Xn ) = n − E(Xn ) =
Donc n − Xn suit la loi binomiale B(n, 2/3)
P (n−Xn = k) = P (Xn = n−k) =
2. Les valeurs possibles pour n − Xn sont tous les nombres entiers entre n − 0
et n − n donc (n − Zn )(Ω) = {0, .., n}
Soit k ∈ {0, .., n}.
E(Xn ) =
Xn (Ω) = {0, .., n} et P (Xn = k) =
1. Les trois variables suivent la même loi car tous les menus ont la même probabilité d'être choisis et si l'on échange deux menus quelconques, la situation
est en tout point similaire.
Nous explicitons donc la loi de Xn . On répète n fois, dans des conditions identiques et indépendantes, la même épreuve de Bernoulli qui consiste, pour un
client donné, à choisir l'un des 3 menus. Les issues contraires de cette épreuve
sont : le client choisit le menu X (de probabilité p = 1/3) et le client choisit le menu Y ou le menu Z (de probabilité q = 1 − p = 2/3).
La variable aléatoire Xn compte le nombre de menus X choisis au cours de
ces n épreuves. On sait alors que Xn suit la loi binomiale B(n, 1/3)
Exercice 1.
2
= P (Xn = n) + P (Yn = n) + P (Zn = n)
n
1
1
=3
= n−1
3
3
(2n − 1)
3n−1
2ème étape
3m
m
•
3ème étape
2m
m
possibilités.
: on positionne
les mlettres Y dans les n − m = 2m empla-
possibilités.
: on remplit les emplacements restants par m lettres Z .
cements vides du mot. Il y a
•
Il y a
6. Puique n est un multiple de 3, il existe m ∈ N∗ tel que n = 3m.
Modélisons l'expérience aléatoire en lui associant un univers Ω et en choisissant une probabilité P sur Ω. Un évènement élémentaire peut être codé par
un mot (ordonné) de 3m lettres, formé uniquement des lettres X, Y et Z .
Au vu des hypothèses de l'énoncé, on choisit la probabilité uniforme sur Ω.
Card(Ω) = 3 × 3 × · · · × 3 = 3n = 33m
Notons E l'évènement : les trois menus sont choisis par le même nombre
de clients. Pour dénombrer les cas favorables à E , on procède en 3 étapes.
• 1èreétape: on positionne les m lettres X dans le mot de n lettres.
est choisi au moins une fois. La probabilité recherchée est 1 −
un menu ne soit pas choisi. Donc l'évènement contraire est que chaque menu
• L'évènement [Xn = 0] ∪ [Yn = 0] ∪ [Zn = 0] correspond à ce qu'au moins
P ([Xn = 0] ∪ [Yn = 0] ∪ [Zn = 0]
= P (Xn = 0)+P (Yn = 0)−P (Zn =n)+P
= 0)−P
n (Zn n ([Yn = n]∪[Xn = n])
2
1
= 3 P (Xn = 0) − 3 P (Xn = n) = 3
−3
3
3
Par conséquent
B = [Yn = 0] et C = [Zn = 0]
, on obtient :
A ∩ B = [Zn = n] , A ∩ C = [Yn = n] et aussi B ∩ C = [Xn = n]
En posant A = [Xn = 0] ,
P (A ∪ B ∪ C) = P ([A ∪ B] ∪ C)
= P (A ∪ B) + P (C) − P ([A ∪ B] ∩ C)
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B) + P (C) − P ([A ∩ C] ∪ [B ∩ C])
5. • Pour tous évènements A, B et C ,
P [(Xn = n) ∪ (Yn = n) ∪ (Zn = n)]
4. Il s'agit de l'évènement [(Xn = n) ∪ (Yn = n) ∪ (Zn = n)]. Puisque les évènements [Xn = n] , [Yn = n] et [Zn = n] sont deux à deux incompatibles, on a :
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TD2 : variables aléatoires discrètes
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Card(E)
Card(Ω)
P (E) =
(3m)!
(m!)3
3m
m
(3m)!
× (m!)3
33m
2m
×
×1
m
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card(A1 ) 2
=
card(Ω1 ) 6
d'où a =
1
3
de couleurs diérentes au premier tirage et deux boules de même couleur au deuxième tirage (au troisième tirage les deux boules restantes
étant nécessairement de couleur identique : A2 ⊂ A3 ).
• L'évènement [X = 2] se réalise si, et seulement si, on a pioché 2 boules
de même couleur au premier tirage (l'urne U est vidée forcément à l'issue du second tirage : A1 ⊂ A2 ). Donc [X = 2] = A1 ∩ A2 = A1 puis
1
P (X = 2) = a = .
3
• L'évènement [X = 3] se réalise si, et seulement si, on a pioché 2 boules
• Puisque l'urne U contient 4 boules, l'évènement [X = 1] est impossible :
[X = 1] = ∅ et P (X = 1) = 0.
2. On notera pour tout entier k > 1, Ak l'évènement : au k−ième tirage, les 2
boules sont de même couleur.
a = P (A1 ) =
4
4×3
Les
=
= 6 issues possibles étant équiprobables,
2
2!
1. Pour cette première question, l'univers associé Ω1 est l'ensemble des combinaisons de 2 boules prises dans l'ensemble des 4 boules {B1, B2, N 1, N 2}.
Exercice 2.
m) = . . .
Variante : On peut remarquer que E = [Xn = m] ∩ [Yn = m] et d'après la
formule des probabilités composées, P (E) = P (Xn = m) × P[Xn =m] (Yn =
Finalement P (E) =
cas favorables à E . Ainsi Card(E) =
Au total, selon le principe multiplicatif, on dénombre
Il y a 1 seule possibilité.
puis
2
9
P (X = n) = a(1 − a)n−2
Z ,→ G (a).
Finalement
5. On sait que E(Z) =
E(X) = 4
et
V (X) = 6
1
1−a
et V (Z) = 2 . On en déduit que
a
a
1
2/3
E(X) = E(Z + 1) = E(Z) + 1 = + 1 et V (X) = V (Z + 1) = V (Z) =
a
1/9
On reconnaît la loi géométrique de paramètre a :
P (Z = k) = P (X − 1 = k) = P (X = k + 1) = a(1 − a)k−1
4. D'après les questions précédentes, X(Ω) = N \ {0 , 1} donc Z(Ω) = N∗
et pour tout entier k > 1,
Ainsi ∀ n > 2,
(n−2) facteurs
P (X = n) = P A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−2 ∩ An−1
= P (A1 ) PA1 (A2 ) PA1 ∩A2 (A3 ) · · · PA1 ∩A2 ∩...∩An−3 (An−2 ) PA1 ∩A2 ∩...∩An−2 (An−1 )
= (1 − a)(1 − a)(1 − a) . . . (1 − a) ×a = (1 − a)n−2 × a
{z
}
|
puis en appliquant la formule des probabilités composées :
Donc [X = n] = A1 ∩A2 ∩. . .∩An−2 ∩An−1 ∩An = A1 ∩A2 ∩. . .∩An−2 ∩An−1
L'évènement [X = n] se réalise si, et seulement si, les deux boules de même
couleur sont piochées au (n − 1)-ième tirage et pas lors des tirages précédents
(sinon l'urne serait vidée avant le n-ième tirage).
3. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On a encore An−1 ⊂ An .
P (X = 3) = P (A1 ) × PA1 (A2 ) = (1 − a) × a =
Donc [X = 3] = A1 ∩ A2 ∩ A3 = A1 ∩ A2
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TD2 : variables aléatoires discrètes
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avec a = 12% = 0, 12
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P [T = k]
n=k
+∞
X
n=0
+∞
X
−λ
P ([Y = n]) × P[Y =n] ([T = k])
P ([Y = n] ∩ [T = k])
page 9
=
=
e
k
a
k!
−λ
e−λ ak
n=k
n=k
+∞
X
n=k
+∞
X
λn
× (1 − a)n−k
(n − k)!
n!
λn
×
(1 − a)n−k
n!
k! (n − k)!
λn
n k
=
e
×
a (1 − a)n−k
n!
k
n=k
+∞ n
X
λ
n
−λ k
= e a
×
(1 − a)n−k
n!
k
=
=
+∞
X
3. T (Ω) = N. Soit k un entier naturel quelconque xé.
{[Y = n] / n ∈ N } est un système complet d'événements tel que
∀ n ∈ N, P ([Y = n]) 6= 0. Alors, d'après la formule des probabilités totales,
Il est alors impossible d'obtenir k balles défectueuses parmi n balles.
D'où : P[Y =n] ([T = k]) = 0.
• Second cas : supposons k > n.
n k
a (1 − a)n−k
P[Y =n] ([T = k]) =
k
indépendantes.
• Premier cas : supposons k 6 n.
La probabilité conditionnelle P[Y =n] ([T = k]) est la probabilité d'obtenir k balles défectueuses parmi n balles produites par la machine. On
est en présence d'un schéma de Bernoulli à n épreuves identiques et
1. Le nombre moyen de balles fabriquées par la machine en 5 minutes est l'espérance E(Y ) du nombre Y de balles produites en 5 minutes, c'est-à-dire
20 balles. Or 60 minutes = 12 × 5 minutes. Donc la machine fabrique en
moyenne 240 balles par heure.
2. La variable aléatoire T représente le nombre de balles défectueuses produites
par la machine en 5 minutes. Soit (k, n) ∈ N2 .
Exercice 3.
+∞
e−λ ak k X [λ(1 − a)]i
λ
k!
i!
i=0
=
=
=
=
=
e−λ (λ a)k
exp(λ(1 − a))
k!
e−λ+λ(1−a) (λ a)k
k!
(λ a)k
e−λ a
k!
γ = λ a = 20 × 0, 12 = 2, 4.
On peut conclure que T suit une loi de Poisson de paramètre
P [T = k]
+∞ n
X
x
= exp(x). Donc
n!
n=0
+∞
e−λ (λ a)k X [λ(1 − a)]n
k!
n!
n=0
+∞
e−λ ak X λi λk
× (1 − a)i
k!
i!
i=0
=
=
+∞
e−λ ak X λi+k
× (1 − a)i
k!
i!
i=0
Or on rappelle que pour tout réel x,
P [T = k]
On procède maintenant
à un changement d'indice dans le symbole de somX
, en posant i = n − k. On en déduit que n = i + k et
mation discrète
que
SQ20
TD2 : variables aléatoires discrètes
SQ20
TD3 : variables aléatoires à densité
TD3 : variables aléatoires à densité
1
Énoncés
Exercice 1.
Médian 2014.
Soit Z une variable aléatoire réelle continue dont une densité est la fonction f dénie sur R par :
 2

 3
t
f (t) =


0
si
t>1
si
t<1
Déterminer la fonction de répartition F de Z .
En déduire la médiane de Z , c'est-à-dire le nombre réel m tel que P (Z 6 m) = P (Z > m).
Exercice 2.
Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une
variable aléatoire T dont une densité de probabilité est donnée par la fonction f dénie par :
(
t e−t
f (t) =
0
si t > 0
si t < 0
1. Rappeler la dénition d'une densité de probabilité d'une variable aléatoire X suivant une loi
exponentielle de paramètre λ = 1. Donner la valeur de l'espérance et de la variance de X .
2. Utiliser la question précédente pour vérier que f est bien une densité de probabilité, puis
montrer que T admet une espérance que l'on déterminera.
Quel est le temps moyen de passage en caisse ?
3. (a) Démontrer que la fonction de répartition de T , notée FT est dénie par :
(
0
FT (x) =
1 − (x + 1)e−x
si x < 0
si x > 0
(b) Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux unités(de temps) sachant qu'il est supérieur à une unité est égale à
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2e − 3
.
2e
page 10
SQ20
TD3 : variables aléatoires à densité
Exercice 3.
(médian 2013)
On désigne par λ un nombre réel strictement positif et on considère la fonction f dénie sur R par
∀ t ∈ R,
f (t) = λ |t| e−λt
2
1. (a) Vérier que f est une fonction paire.
(b) Établir que l'intégrale généralisée
Z
+∞
f (t) dt converge et donner sa valeur.
0
(c) Montrer que la fonction f peut être considérée comme densité d'une variable aléatoire
X que l'on suppose, dans la suite, dénie sur un certain espace probabilisé (Ω , A , P ).
2. (a) Déterminer la fonction de répartition F de la variable aléatoire X .
(b) En déduire P (X > 1).
3. On admet la convergence de l'intégrale généralisée
Z
+∞
t f (t) dt .
0
Prouver que la variable aléatoire X admet une espérance, notée E(X) , et donner sa valeur.
4. On pose Y = X 2 et on admet que Y est une variable aléatoire à densité, elle aussi dénie sur
l'espace probabilisé (Ω , A , P ).
(a) Donner l'expression de la fonction de répartition G de la variable aléatoire Y à l'aide de
la fonction de répartition F de la variable aléatoire X .
(b) Déterminer une densité g de Y , puis vérier que Y suit une loi exponentielle dont on
précisera le paramètre.
(c) En déduire sans calcul la valeur de la variance de X notée V (X) .
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page 11
Corrigés
UTBM printemps 2015

1

 1− 2
x
Donc F (x) =


0
Z
x
x>1
x<1
si
si
f (t) dt = 0.
Z −∞
Z x
Z x
x
2
Soit x un réel supérieur à 1. Alors F (x) =
dt =
f (t) dt =
2 t−3 dt
3
1
1
1 t
−3+1 t=x
t=x
t
= 2
= −t−2 t=1 = −x−2 + 1
−3 + 1 t=1
Pour tout réel x < 1, F (x) = P ([Z 6 x]) =
L'énoncé ne demande pas de vérier que f est une densité de probabilité.
Exercice 1.
2
0
e−t
si t < 0
si t > 0
0
−∞
−∞
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
Z
+∞
=
f (t) dt
tf (t) dt
−∞
Z
t2 g(t) dt. Comme on sait que X admet une variance, on peut donc
Sous réserve d'existence de E(T ), on a E(T ) =
est convergente et vaut E(X) = 1.
Donc f est bien une densité de probabilité.
sait que X admet un espérance on peut armer que l'intégrale
−∞
Il
reste à étudier la convergenceZ et la valeur Zde l'intégrale généralisée
Z +∞
+∞
+∞
f (t) dt. Or on remarque que
f (t) dt =
t g(t) dt et comme on
Ainsi f est une fonction continue et positive sur R.
0
2. La fonction f est nulle sur ] − ∞ , 0[ donc sur cet intervalle f est une fonction
continue et positive.
Sur ]0 , +∞[ f est le produit de deux fonctions continues et positives sur ce
même intervalle donc f est continue et positive sur ]0 , +∞[.
De plus lim
f = lim
f = 0 = f (0) donc f est continue en 0.
+
−
De plus on a E(X) = 1 et V (X) = 1.
g(t) =
(
1. Une densité d'une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre 1 est la fonction g dénie sur R par :
Exercice 2.
P (Z 6 m) = P (Z > m) ⇐⇒ F (m) = 1 − F (m) ⇐⇒ F (m) = 1/2
√
1
1
⇐⇒ 1 − 2 =
⇐⇒ m2 = 2 ⇐⇒ m = 2
m
2
Pour que P (Z 6 m) = P (Z > m), il faut déjà que m > 1.
SQ20
TD3 : variables aléatoires à densité
page 12
UTBM printemps 2015
1.
x
−∞
−∞
Z x
Z
f (t) dt =
0 dt = 0
0
−∞
Z
0
x
x
0
Z
x
t e−t dt.
f (t) dt.
si x < 0
si x > 0
e−t dt = −xe−x − e−x + 1
0
1 − (x + 1)e−x
0
Z
0 dt +
x
−∞
Z
en multipliant en haut et en bas par e2 .
P[T >1] (T 6 2) =
P ([T > 1] ∩ [T 6 2])
P (T > 1)
P (1 6 T 6 2)
FT (2) − FT (1)
=
=
1 − P (T 6 1)
1 − FT (1)
−2
−1
−3e + 2e
2e − 3
=
=
2e−1
2e
FT (x) =
(
te−t dt = [−te−t ]x0 +
(b) On veut calculer
On a donc bien
FT (x) =
Z
Donc par une intégration par parties, il vient
• Si x > 0, alors FT (x) =
• Si x < 0, alors FT (x) =
(a) Par dénition de la fonction de répartition FT (x) =
Ainsi le temps moyen de passage en caisse est de deux unités de temps.
(a) La fonction f est dénie sur R, intervalle qui est centré en zéro.
2
2
De plus, pour tout t ∈ R, f (−t) = λ |−t| e−λ(−t) = λ |t| e−λ t = f (t)
La fonction f est paire.
Exercice 3.
3.
2
E(T ) = E(X ) = V (X) + E(X) = 2
2
dire que X admet un moment d'ordre 2 et donc T admet une espérance.
D'après la formule de K÷nig,
2.
x
λ |t| e
−λt2
dt =
Z
x
2
0
Z
+∞
f (t) dt =
1
2
0
+∞
−∞
Z
f (t) dt = 2
0
Z
+∞
0
F (x) =
2
0
2
2
1
1
1
1
+ − e−λx +
= 1 − e−λx
2
2
2
2
D'après 1.(b), pour tout réel positif x,
−∞
+∞
f (t) dt perf (t) dt est convergente
0
Z
(a) OnZ rappelle que par
dénition, Zpour tout réel x, ZF (x) = P (X 6 x)
Z 0
x
x
x
1
=
f (t) dt =
f (t) dt +
f (t) dt = +
f (t) dt.
−∞
+∞
−∞
f (t) dt = 1
f est une densité de probabilité.
et on a
mettent de dire que l'intégrale généralisée
Z
De plus la parité de f et la convergence de l'intégrale
(c) La fonction f est positive sur R car λ > 0, ∀ t ∈ R, |t| > 0 et
2
e−λt > 0.
La fonction f est continue sur R en tant que produit de fonctions
continues sur R.
et que
λ t e−λt dt
0
0
x
−1 −λt2
=
e
2
0
1 −λx2 1
=− e
+
2
2
Z x
2
2
1
Comme λ > 0, on a e−λx −→ 0 et
lim
λ |t| e−λt dt =
x−→+∞ 0
2
(x→+∞)
Z +∞
Ceci prouve à la fois que l'intégrale généralisée
f (t) dt converge
Z
(b) Pour tout réel positif x,
SQ20
TD3 : variables aléatoires à densité
page 13
0
−x
0
Z
−x
1
F (−x) −
=
2
f (−u) (−du) par le
1
f (u) du =
−
2
1
+
2
+∞
t f (t) dt est convergente et que
−∞
Ainsi X admet une espérance mathématique et E (X) = 0
t f (t) dt = 0.
+∞
−∞
Z
UTBM printemps 2015
donc G (x) =
−∗
si x < 0
si x > 0
[Y 6 x] = X 2 6 x
√
√ = − x6X6 x
√ 0
√ F
x −F − x
Pour tout x ∈ R+ ,
+
(a) Y (Ω) = R ce qui montre que ∀ x ∈ R , G(x) = 0.
2
4. On pose Y = X et on admet que Y est à densité.
−∞
Z
La relation de Chasles prouve que
également.
0
Ainsi pour tout x ∈ R−∗ , F (x) =
1 −λ x2
e
2
(b) P (X > 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X 6 1) = 1 − F (1) = F (−1) =
1 −λ
e
2
3. Comme
la fonction t 7−→ t f (t) est impaire et comme
l'intégrale généraliZ +∞
Z 0
sée
t f (t) dt est convergente, alors l'intégrale
t f (t) dt converge
1
Donc ∀ x < 0, F (x) = −
2
1 − F (−x)
Z
changement de variable u = −t.
Et enn, pour tout réel x < 0, F (x) =
1
λ
d'où V (X) = E X 2 − E(X)2 =
0
si t < 0
λ exp (−λt) si t > 0
V (X) =
1
λ
Or d'après la question 3. E (X) = 0 et nalement
(c) E X 2 = E (Y ) =
On conclut que Y ,→ E (λ).
g (t) =
En posant g(0) = λ par exemple, on obtient :
g (t) = F 0
√ (−1)
√ 1
√
t √ − F0 − t
2 t
2 t
√ 1 √ t +f − t
= √ f
2 t
2 √ = √ f
t
car f est paire
2 t
√ 2
1 √ = √ λ t e−λ( t)
t
= λ exp (−λt)
∀ t ∈ R∗ , g (t) = G0 (t)
et pour t > 0 :
1
− E(X)2
λ
(b) La fonction F est de classe C 1 sur R a fortiori sur ]0 , +∞[. La fonction
racine carrée étant de classe C 1 sur ]0 , +∞[, on obtient par composition
et diérence que la fonction G est de classe C 1 sur ]0 , +∞[.
Comme G est nulle sur ]−∞ , 0[, elle est aussi de classe C 1 sur ]−∞ , 0[.
On en déduit que G est de classe C 1 sur R∗ .
On obtient alors une densité g de Y en dérivant G, sauf en 0, puis en
donnant une valeur arbitraire positive à g en 0.
SQ20
TD3 : variables aléatoires à densité
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SQ20
TD4 : couples de variables aléatoires
TD4 : couples de variables aléatoires
1
Énoncé
Exercice 1.
Un atome radioactif émet des particules α en nombre aléatoire : soit X ce nombre pendant un
intervalle de temps donné. Un observateur ne peut voir toutes les particules émises, mais détecte
une particule émise avec la probabilité p (0 < p < 1). Soit Y le nombre de particules observées
pendant l'intervalle de temps considéré. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre λ.
1. Quelle est la loi conditionnelle de Y sachant [X = n] ?
2. En déduire la loi du couple (X, Y ).
3. Montrer que Y suit une loi de Poisson de paramètre λ p.
4. Soit Z = X − Y . Que représente Z ? Quelle est la loi de Z ?
5. Les variables Y et Z sont-elles indépendantes ? Et en ce qui concerne X et Y ?
Exercice 2.
Final 2014.
Le fonctionnement d'une machine est perturbé par des pannes.
On considère les variables aléatoires X et Y dénies comme suit :
• X est le temps, exprimé en années, écoulé entre la mise en route initiale de la machine et la
première panne,
• Y est le temps, en années, écoulé entre la remise en route de la machine après la première
panne et la panne suivante.
Après la deuxième panne, l'utilisation de la machine est suspendue.
On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes et suivent la même loi
exponentielle de paramètre λ > 0.
1. (a) Donner une densité f de X ainsi que sa fonction de répartition F .
(b) Quelle est la durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives ?
2. Exprimer, en fonction de λ, la probabilité pour que chacune des 2 périodes de fonctionnement
de la machine dure plus de 3 années.
3. Soit S la variable aléatoire égale à la durée totale de fonctionnement de la machine, exprimée
en années. On a donc S = X + Y .
(a) Que valent E(S) et V (S) ?
(b) On note h la fonction densité de probabilité de la variable aléatoire S . Démontrer que
h(t) =
λ2 t e−λ t si t > 0
0
si t < 0
(c) En déduire, en fonction de λ et de x, l'expression de P (S > x) pour tout réel positif x.
4.
Application numérique : la durée moyenne de fonctionnement de la machine (entre la
première mise en route et la deuxième panne) est de 4 ans. Calculer la probabilité pour que
cette machine soit en service plus de 6 ans.
UTBM printemps 2015
page 15
Corrigé
Y |[X = n] ,→ B(n, p).
UTBM printemps 2015
On en déduit, d'après la formule des probabilités totales, que pour k ∈ N,
3. La suite d'événements ([X = n])n∈N constitue un système complet d'événements tel que ∀ n ∈ N, P (X = n) 6= 0.
Si k > n, alors P ([X = n] ∩ [Y = k]) = 0 car le nombre de particules
détectées ne peut pas dépasser le nombre de particules émises.
P ([X
(Y = k) × P (X = n)
= n] ∩ [Y = k]) = P[X=n]
n
n k
λ
=
p (1 − p)n−k × e−λ
k
n!
2. D'après la formule des probabilités composées, pour tous entiers n et k tels
que 0 6 k 6 n,
1.
Exercice 1.
2
pk λk −λ λ(1−p)
e e
k!
(λp)k −λp
e
k!
=
=
Y ,→ P(λp).
+∞
pk λk −λ X [λ(1 − p)]i
e ×
k!
i!
i=0
n>k
par changement d'indice
5. Y et Z ne sont pas indépendantes et X, Y non plus.
4. La variable aléatoire Z = X − Y compte le nombre de particules non détectées.
Z suit la loi de Poisson de paramètre λ(1 − p).
Ainsi
n!
λn
pk (1 − p)n−k × e−λ
k!(n − k)!
n!
P ([X = n] ∩ [Y = k])
P ([X = n] ∩ [Y = k])
pk λk −λ X [λ(1 − p)]n−k
e ×
k!
(n − k)!
n=k
+∞
X
n=k
+∞
X
n=0
+∞
X
=
=
=
=
P (Y = k) =
SQ20
TD4 : couples de variables aléatoires
page 16
λ e−λ t
0
si t > 0
si t < 0
0
x
x
λ e−λ t dt = −e−λ t 0 = 1 − e−λ x pour x > 0
E(X) = E(Y ) =
1
λ
(b) La durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives,
est l'espérance mathématique de X (ou de Y ), à savoir :
F (x) =
Sa fonction
Z de répartition est F dénie sur R par F (x) = 0 si x < 0 et
f (t) =
(a) Une densité est la fonction f dénie sur R par
A = [X > 3] ∩ [Y > 3].
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= e
2
λ2
V (S) = V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) = 2 V (X) =
• Comme X et Y sont indépendantes,
2
.
λ
.
E(S) = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = 2 E(X) =
• Par linéarité de l'espérance,
−3λ 2
(b) Comme les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, leur somme
S est une variable à densité, dont une densité est obtenue par convolution :
(a)
3. On a posé S = X + Y .
2
Ainsi P (A) = e−6 λ
Donc P (A) = (1 − F (3))2 = 1 − (1 − e−3λ )
indépendantes par hypothèse.
D'où P (A) = P [X > 3] ∩ [Y > 3] = P (X > 3) P (Y > 3) car X et Y sont
Alors
2. Notons A l'événement : chacune des 2 périodes de fonctionnement de la
machine dure plus de 3 années.
1.
Exercice 2.
h(x)
=
=
=
+∞
0
−∞
+∞
Z
−∞
Z +∞
Z
f (t) f (x − t) dt
f (t) f (x − t) dt
fX (t) fY (x − t) dt
x
x
λ e−λ t λ e−λ (x−t) dt
f (t) f (x − t) dt
0
Z
x
0
Z
x
0
Z
x
t λe−λ t dt
en posant :
λ2 t e−λ t dt = λ
intégration par parties
h(t) dt =
u(t) = t
v 0 (t) = λe−λ t
d'où
u0 (t) = 1
v(t) = −e−λ t
Comme les fonctions u et v sont de classe C 1 sur R, il vient
Z x
Z x
x
P (S 6 x) = λ
u(t) v 0 (t) dt = λ −t e−λ t 0 −
−e−λ t dt
0 0
x e−λ x
1
e−λ t
−λ x
−λ x
+
= λ −x e
−
= λ −x e
−
λ 0
λ
λ
On
eectue une
P (S 6 x) =
(c) Soit x un réel positif xé. Calculons d'abord P (S 6 x).
λ2 x e−λ x
=
0
λ2 e−λ x × x
0
λ2 e−λ x dt
Z x
λ2 e−λ x
dt
Z
0
Z0 x
Z
=
=
=
=
Donc h(x) =
Supposons x > 0. Alors pour tout réel t > x, x − t < 0 =⇒ f (t) = 0.
Si x < 0 alors ∀ t ∈ R+ , f (x − t) = 0 donc h(x) = 0.
∀ x ∈ R,
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TD4 : couples de variables aléatoires
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4.
chine est :
2
E(S) = = 4.
λ
D'où
1
λ= .
2
Application numérique : la durée moyenne de fonctionnement de la ma-
P (S > x) = e−λ x (1 + λ x)
= 1 − e−λ x (1 + λ x) . On en déduit que P (S > x) = 1 − P (S 6 x)
On pourra remarquer que ([X > 3] ∩ [Y > 3]) ⊂ [S > 6]
et que P [X > 3] ∩ [Y > 3] < P (S > 6)
P (S > 6) = e−6λ (1 + 6λ) = 4 e−3 ≈ 0, 20
L'énoncé demande la probabilité P (S > 6). D'après le résultat obtenu en
3.(c),
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