Parties libres, parties génératrices, bases et applications linéaires I. Parties libres, génératrices, bases. D1: On dit que (ai)i est une partie libre de E ssi pour toute combinaison linéaire finie, ∑ α i a i , ∑ α i a i = 0 ⇒ ∀i, α i = 0 . i i On dit aussi que les éléments (ai)i sont linéairement indépendants. Dans le cas contraire, on dit que la famille est liée. D2: On dit que (ai)i est une partie génératrice de E ssi tout élément de E est combinaison linéaire des (ai)i. D3: On dit que (ai)i est une base de E ssi c’est une partie génératrice et libre de E. Dans ce cas tout élément de E est combinaison linéaire d’une seule façon des éléments de (ai)i. Bases remarquables dans les espaces : 5n , &n, Kn[X] et K[X]. • Dans 5n ou &n la base canonique (ei)i : e1 1 0 = . . 0 , e2 0 1 = . . 0 , e3 0 0 = 1 . 0 0 . = . 0 1 , ..., en , • Dans Kn[X] la base canonique à n+1 éléments: X0, X1, X2, ..., Xn . • Dans K[X] la base canonique infinie X0, X1, X2, ..., Xn, Xn+1, ... . • Dans Mat(n, m, K) l’espace des matrices à n lignes et m colonnes, la base canonique est formée des matrices Ei,j dont tous les termes sont nuls sauf le terme de la ligne i et de la colonne j qui est égal à 1. Cette base contient n.m vecteurs. propriétés immédiates: • Si L est libre dans E et si L’ ⊂ L, alors L‘ est aussi libre. • Si L est liée dans E et si L’ ⊃ L, alors L‘ est aussi liée. • (xi)i = F est liée ssi il existe i0 et une famille (αi) tels que x i 0 = ∑ α ixi . i≠ i 0 • Si G est une partie génératrice de E et si G ⊂ G’ ⊂ E, alors G est aussi une partie génératrice de E. • Si L est libre et L ∪ {x} est liée, alors x est combinaison linéaire des éléments de L (ie: x ∈ Vect (L) sous-espace engendré par L). algèbre linéaire 1 résumé 1 II. Dimension d’un espace vectoriel. Théorème de la dimension: Soit E un espace vectoriel. • Si E possède une partie génératrice finie ayant m éléments, alors toutes les parties libres de E possèdent m éléments au plus. • Si E possède une partie libre ayant n éléments, alors, toutes les parties génératrices de E ont n éléments au moins. • Si une base de E a n éléments, toutes les autres bases ont exactement n éléments. • Si E possède une base ayant n éléments (n ≥ 1), on dit que E est un espace de dimension n (on note dimk E = n). L’espace {0} qui n’a pas de partie libre est de dimension 0 par convention. • Dans un espace de dimension n : • une partie libre a au plus n éléments • toute partie libre ayant n éléments est une base. • un partie génératrice a au moins n éléments. • toute partie génératrice ayant n éléments est une base. Conséquence pratique: Si la dimension d’un E.V. ou d’un s.e.v. nous est connue, pour vérifier qu’une partie à n éléments (n = dim E) est une base il suffit de vérifier qu’elle est libre ou bien qu’elle est une partie génératrice. Théorème de la base incomplète: Soit E un espace vectoriel de dimension finie et n= dim E. Pour toute partie libre (a1, a2,..., ap), avec bien sur p ≤ n , il existe des éléments (ap+1, ap+2,..., an), tels que (a1, a2,..., ap, ap+1, ap+2,..., an) soit une base de E. algèbre linéaire 2 résumé 1 III. Applications linéaires et parties libres, génératrices. Dans ce qui suit f est une application linéaire de E dans F, K-ev. P1: f est injective ssi une des propriétés suivantes est vérifiée: • ker(f) = {0E} • l’image par f de toute partie libre de E est une partie libre dans F. • il existe une base (ai) de E dont l’image par f (f(ai)) est libre dans F. P2: image d’une partie génératrice de E par f quelconque: Si (ai) est une partie génératrice de E, son image par f , (f(ai)), est une partie génératrice de Im(f) sev de F. P2’: f est surjective sur F ssi une des propriétés suivantes est vérifiée: • Im(f) = F. • il existe une partie (ai) de E dont l’image par f est génératrice dans F. • l’image par f de toute partie génératrice de E est une partie génératrice de F. P3: f est bijective de E sur F ssi une des propriétés suivantes est vérifiée: • il existe une base (ai) de E telle que (f (ai)) soit une base de F • l’image de toute base de E est une base de f. P4: Si (ai) est une base de E et (bi) une famille quelconque de F, il existe une application linéaire et une seule de E dans F définie par ∀i , f (a i ) = b i . f ∑ α i a i , = ∑ α i f (a i ) = ∑ α i b i , i i i de sens si (ai)i n’est pas une base). On la définit en posant algèbre linéaire 3 (ce qui n’a pas résumé 1 P5: l’application linéaire f telle que ∀i , f (a i ) = b i ( avec (ai) base de E), • est injective ssi (bi) est libre, • est surjective ssi (bi) est génératrice dans F. Conséquences: si f est linéaire de E dans F de dimensions finies n et m alors: • dim(Im(f)) ≤ n et dim(Im(f)) ≤ m • si f est injective alors dim (Im(f)) = n ≤ m m (dim E ≤ dim F) • si f est surjective, alors n ≥ dim (Im(f)) = m (dim E ≥ dim F) • si f est bijective alors (dim E = dim F) IV. Théorème du rang. D 4: notions de rang. On appelle rang d’une famille finie (ai) de vecteurs de E la dimension du sousespace de E engendré par cette famille, à savoir dim Vect((ai) ). On appelle rang d’une application linéaire de E dans F de dimension finie, la dimension de Im(f). Théorème du rang: Pour toute application linéaire f de E dans F on a la relation: dim E = dim Im(f) + dim ker(f) ou rg(f) = dim Im(f) = dim E - dim ker(f) algèbre linéaire 4 résumé 1 2.2 Supplémentaires, projections et symétries Définition 2 Soit E un espace vectoriel et F, G deux sev supplémentaires dans E : F ⊕ G = E. • On définit la projection sur F parallèlement à G de la façon suivante : si x ∈ E se décompose en x = x1 + x2 où (x1 , x2 ) ∈ F × G, alors p(x) = p(x1 + x2 ) = x1 . • On définit la symétrie par rapport à F parallèlement à G de la façon suivante : si x ∈ E se décompose en x = x1 + x2 où (x1 , x2 ) ∈ F × G, alors σ(x) = σ(x1 + x2 ) = x1 − x2 . Théorème 2 propriétés Soit E un espace vectoriel et F, G tels que F ⊕ G = E. • projections – La projection p sur F parallèlement à G est une application linéaire ; – F = Im(p)=Ker(p − idE ) et G = Ker(p) – p◦p=p • symétries – La symétrie σ par rapport à F parallèlement à G est une application linéaire ; – F = Ker(σ − idE ) et G = Ker(σ + idE ) – σ ◦ σ = idE • projections et symétries – q = idE − p est la projection sur G parallèlement à F ; – σ = 2p − idE ; – −σ est la symétrie par rapport à G parallèlement à F. Démonstration Théorème 3 caractérisation des projecteurs et symétries parmi les applications linéaires Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. • f est idempotent (ie : f ◦ f = f ) si et seulement si f est une projection ; Dans ce cas – Im(f ) et Ker(f ) sont supplémentaires et f est la projection sur Im(f ) parallèlement à Ker(f ) – Les sev propres de f sont Im(f )=Ker(f − id − E) et Ker(f ) • f est involutive (ie : f ◦ f = idE ) si et seulement si f est une symétrie ; Dans ce cas : – Ker(f − idE ) et Ker(f + idE ) sont supplémentaires et f est la symétrie sur Ker(f − idE ) parallèlement à Ker(f + idE ) – Les sev propres de f sont Ker(f − id − E) et Ker(f + idE ) Démonstration par analyse synthèse... 5