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algèbre linéaire 1 résumé 1
Parties libres, parties génératrices, bases et applications linéaires
I. Parties libres, génératrices, bases.
D1: On dit que (ai)i est une partie libre de E ssi pour toute combinaison linéaire
finie, αii
i
a
∑, αα
ii
i
i
ai
∑=⇒∀ =00,.
On dit aussi que les éléments (ai)i sont linéairement indépendants. Dans le cas
contraire, on dit que la famille est liée.
D2: On dit que (ai)i est une partie génératrice de E ssi tout élément de E est
combinaison linéaire des (ai)i.
D3: On dit que (ai)i est une base de E ssi c’est une partie génératrice et libre de E.
Dans ce cas tout élément de E est combinaison linéaire d’une seule façon des
éléments de (ai)i.
Bases remarquables dans les espaces : 5n , &n, Kn[X] et K[X].
• Dans 5n ou &n la base canonique (ei)i : 12 3
10 0 0
01 0 .
,, ,...,,
..1 .
.. . 0
00 0 1
n
ee e e
== = =
• Dans Kn[X] la base canonique à n+1 éléments: X0, X1, X2, ..., Xn .
• Dans K[X] la base canonique infinie X0, X1, X2, ..., Xn, Xn+1, ... .
• Dans Mat(n, m, K) l’espace des matrices à n lignes et m colonnes, la base
canonique est formée des matrices Ei,j dont tous les termes sont nuls sauf le
terme de la ligne i et de la colonne j qui est égal à 1. Cette base contient n.m
vecteurs.
propriétés immédiates:
• Si L est libre dans E et si L’ ⊂ L, alors L‘ est aussi libre.
• Si L est liée dans E et si L’ ⊃ L, alors L‘ est aussi liée.
• (xi)i = F est liée ssi il existe i0 et une famille (αi) tels que x x
ii
ii
i
0
0
=
≠
∑α.
• Si G est une partie génératrice de E et si G ⊂G’ ⊂ E, alors G est aussi une
partie génératrice de E.
• Si L est libre et L∪{x} est liée, alors x est combinaison linéaire des éléments de
L (ie: x ∈ Vect (L) sous-espace engendré par L).

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II. Dimension d’un espace vectoriel.
Théorème de la dimension: Soit E un espace vectoriel.
• Si E possède une partie génératrice finie ayant m éléments, alors toutes les
parties libres de E possèdent m éléments au plus.
• Si E possède une partie libre ayant n éléments, alors, toutes les parties
génératrices de E ont n éléments au moins.
• Si une base de E a n éléments, toutes les autres bases ont exactement n éléments.
• Si E possède une base ayant n éléments (n ≥ 1), on dit que E est un espace de
dimension n (on note dimk E = n).
L’espace {0} qui n’a pas de partie libre est de dimension 0 par convention.
• Dans un espace de dimension n :
• une partie libre a au plus n éléments
• toute partie libre ayant n éléments est une base.
• un partie génératrice a au moins n éléments.
• toute partie génératrice ayant n éléments est une base.
Conséquence pratique: Si la dimension d’un E.V. ou d’un s.e.v. nous est connue,
pour vérifier qu’une partie à n éléments (n = dim E) est une base il suffit de vérifier
qu’elle est libre ou bien qu’elle est une partie génératrice.
Théorème de la base incomplète:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et n= dim E.
Pour toute partie libre (a1, a2,..., ap), avec bien sur p ≤n , il existe des éléments
(ap+1, ap+2,..., an), tels que (a1, a2,..., ap, ap+1, ap+2,..., an) soit une base de E.

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III. Applications linéaires et parties libres, génératrices.
Dans ce qui suit f est une application linéaire de E dans F, K-ev.
P1: f est injective ssi une des propriétés suivantes est vérifiée:
• ker(f) = {0E}
• l’image par f de toute partie libre de E est une partie libre dans F.
• il existe une base (ai) de E dont l’image par f (f(ai)) est libre dans F.
P2: image d’une partie génératrice de E par f quelconque:
Si (ai) est une partie génératrice de E, son image par f , (f(ai)), est une partie
génératrice de Im(f) sev de F.
P2’: f est surjective sur F ssi une des propriétés suivantes est vérifiée:
• Im(f) = F.
• il existe une partie (ai) de E dont l’image par f est génératrice dans F.
• l’image par f de toute partie génératrice de E est une partie génératrice de
F.
P3: f est bijective de E sur F ssi une des propriétés suivantes est vérifiée:
• il existe une base (ai) de E telle que (f (ai)) soit une base de F
• l’image de toute base de E est une base de f.
P4: Si (ai) est une base de E et (bi) une famille quelconque de F, il existe une
application linéaire et une seule de E dans F définie par ∀=ifa b
ii
,( ) .
On la définit en posant f a f a b
ii
i
ii ii
ii
αα α
∑∑∑
==,(),
(ce qui n’a pas
de sens si (ai)i n’est pas une base).

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P5: l’application linéaire f telle que ∀=ifa b
ii
, ( ) ( avec (ai) base de E),
• est injective ssi (bi) est libre,
• est surjective ssi (bi) est génératrice dans F.
Conséquences: si f est linéaire de E dans F de dimensions finies n et m alors:
• dim(Im(f)) ≤n et dim(Im(f)) ≤m
• si f est injective alors dim (Im(f)) = n ≤m m (dim E ≤ dim F)
• si f est surjective, alors n ≥ dim (Im(f)) = m (dim E ≥ dim F)
• si f est bijective alors (dim E = dim F)
IV. Théorème du rang.
D 4: notions de rang.
On appelle rang d’une famille finie (ai) de vecteurs de E la dimension du sous-
espace de E engendré par cette famille, à savoir dim Vect((ai) ).
On appelle rang d’une application linéaire de E dans F de dimension finie, la
dimension de Im(f).
Théorème du rang:
Pour toute application linéaire f de E dans F on a la relation:
dim E = dim Im(f) + dim ker(f) ou rg(f) = dim Im(f) = dim E - dim ker(f)

2.2 Suppl´ementaires, projections et sym´etries
D´efinition 2
Soit Eun espace vectoriel et F, G deux sev suppl´ementaires dans E:F⊕G=E.
•On d´efinit la projection sur Fparall`element `a Gde la fa¸con suivante :
si x∈Ese d´ecompose en x=x1+x2o`u (x1, x2)∈F×G, alors
p(x) = p(x1+x2) = x1.
•On d´efinit la sym´etrie par rapport `a Fparall`element `a Gde la fa¸con suivante :
si x∈Ese d´ecompose en x=x1+x2o`u (x1, x2)∈F×G, alors
σ(x) = σ(x1+x2) = x1−x2.
Th´eor`eme 2 propri´et´es
Soit Eun espace vectoriel et F, G tels que F⊕G=E.
•projections
– La projection psur Fparall`element `a Gest une application lin´eaire ;
–F= Im(p)=Ker(p−idE) et G= Ker(p)
–p◦p=p
•sym´etries
– La sym´etrie σpar rapport `a Fparall`element `a Gest une application lin´eaire ;
–F= Ker(σ−idE) et G= Ker(σ+idE)
–σ◦σ=idE
•projections et sym´etries
–q=idE−pest la projection sur Gparall`element `a F;
–σ= 2p−idE;
–−σest la sym´etrie par rapport `a Gparall`element `a F.
D´emonstration
Th´eor`eme 3 caract´erisation des projecteurs et sym´etries parmi les applications lin´eaires
Soit Eun espace vectoriel et fun endomorphisme de E.
•fest idempotent (ie : f◦f=f) si et seulement si fest une projection ;
Dans ce cas
– Im(f) et Ker(f) sont suppl´ementaires et fest la projection sur Im(f) parall`element `a
Ker(f)
– Les sev propres de fsont Im(f)=Ker(f−id −E) et Ker(f)
•fest involutive (ie : f◦f=idE) si et seulement si fest une sym´etrie ;
Dans ce cas :
– Ker(f−idE) et Ker(f+idE) sont suppl´ementaires et fest la sym´etrie sur Ker(f−idE)
parall`element `a Ker(f+idE)
– Les sev propres de fsont Ker(f−id −E) et Ker(f+idE)
D´emonstration par analyse synth`ese...
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