Kholle 19

Lycée Montaigne
MPSI3 2016-2017
Mathématiques, kholle 19 (06/03/17)
Chapitre 1 : Éléments de logique
Chapitre 2 : Nombres complexes
Chapitre 3 : Calculs algébriques
Chapitre 4 : Fonctions usuelles
Chapitre 5 : Généralités sur les fonctions
Chapitre 6 : Équations différentielles
Chapitre 7 : Applications, relations
Chapitre 8 : Les réels
Chapitre 9 : Suites numériques
Chapitre 10 : Arithmétique
Chapitre 11 : Limite d’une fonction
Chapitre 12 : Continuité
Chapitre 13 : Dérivation
Chapitre 14 : Développements limités
Chapitre 15 : Structures algébriques
Chapitre 16 : Polynômes
Chapitre 17 : Arithmétique des polynômes
Chapitre 18 : Fractions rationnelles
À revoir : la méthode de Gauss, celle-ci doit être connue.
Chapitre 19 Espaces vectoriels
– Définition d’un espace vectoriel, règles de calculs, exemples de référence, définition d’un s.e.v, intersection de s.e.v.
– Applications linéaires : définition, exemples, vocabulaire (endomorphisme, isomorphisme, automorphisme, groupe linéaire, forme linéaire).
– Propriétés des applications linéaires. Structure de (L (E, F), +, .) de (GL(E), ◦) et de
(L (E), +, ◦).
– Définition du noyau d’une application linéaire, caractérisation de l’injectivité.
– Sous-espaces vectoriels et applications linéaires :images directes, réciproques par
une application linéaire. Définition des hyperplans (noyau d’une forme linéaire
non nulle). Le noyau et l’image d’une application linéaire de E vers F sont des s.e.v
de E et F respectivement.
– Sous-espace engendré : combinaisons linéaires d’une famille finie de vecteurs,
combinaisons linéaires d’une famille quelconque de vecteurs, propriétés, sousespace engendré par une famille de vecteurs, notation Vect [· · · ]. Définition d’une
droite vectorielle, d’un plan vectoriel.
– Somme de deux sous-espaces vectoriels : définition, somme directe (unicité de la
décomposition), caractérisations d’une somme directe de deux sous-espaces. Définition de deux sous-espaces supplémentaires. Caractérisations des hyperplans.
– Projections vectorielles, symétries vectorielles : définition, propriétés.
– Extensions : combinaisons linéaires d’une famille quelconque de vecteurs, sousespace engendré. Somme de s.e.v. : définition de F1 + · · · + Fp , somme directe (unicité de la décomposition), caractérisations d’une somme directe.
Chapitre 20 : Dimension finie
– Familles génératrices, familles libres, familles liées : définitions, propriétés. Définition d’un espace de dimension finie (il y a une famille génératrice finie). Théorème
fondamental (si on a une famille génératrice de cardinal n alors toute famille de
cardinal supérieur est liée).
Questions de cours
Anciennes :
– Calcul d’une partie polaire relative à un pôle double.
– Montrer qu’une intersection de s.e.v d’un e.v. est encore un s.e.v.
– Montrer que la composée de deux applications linéaires est linéaire.
– Montrer que la réciproque d’une application linéaire bijective est linéaire.
– Montrer qu’une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est
réduit au vecteur nul.
– Noyau et image d’une application linéaire : définition et structure (à démontrer).
– Image directe (ou réciproque) d’un s.e.v. par une application linéaire.
Nouvelles :
– Soient E un K espace vectoriel et (x 1 , . . . , x n ) ∈ En . Montrer que Vect [x 1 , . . . , x n ] est
un sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs x 1 , . . . , x n , et que c’est le plus
petit au sens de l’inclusion.
– Si E = F ⊕ G, définir la projection p sur F parallèlement à G, et démontrer ses propriétés : p ∈ L (E), p 2 = p, G = ker(p), F = Im(p) = ker(p − idE ).
– Montrer que si f est un endomorphisme de E tel que f 2 = f , alors E = ker( f −idE )⊕
ker( f ), et f et le projecteur sur ker( f − idE ) parallèlement à ker( f ).
– Montrer que si f est un endomorphisme de E tel que f 2 = idE , alors E = ker( f −
idE ) ⊕ ker( f + idE ), et f et la symétrie par rapport à ker( f − idE ) parallèlement à
ker( f + idE ).
– Montrer que la somme F1 + · · · + Fp de s.e.v. de E est un s.e.v. de E, et qu’elle est
directe si et seulement si ∀(x 1 , . . . , x p ) ∈ F1 × · · · × Fp , si x 1 + · · · + x p = 0 alors x 1 =
· · · = x p = 0.
– Montrer qu’une application linéaire est injective si et seulement si elle transforme
toute famille libre en une famille libre.
– Montrer qu’une application f ∈ L (E, F) est surjective si et seulement si elle transforme une famille génératrice de E en une famille génératrice de F.
– Montrer que Kn [X] est de dimension finie mais que K[X] est de dimension infinie.