Rang en algèbre linéaire dans les espaces vectoriels de
On considère deux espaces vectoriels Eet Fsur un corps Kde dimensions
finies net mrespectivement.
1 Rang d’une famille de vecteurs
Définition :
On appelle rang d’une famille {u1;u2;. . . ;up}de vecteurs de Eet on note
rg({u1;u2;. . . ;up}), la dimension du sous espace vectoriel engendré par
cette famille.
Propriétés :
•rg({u1;. . . ;up})≤pavec égalité ssi {u1;. . . ;up}est libre.
•rg({u1;. . . ;up})≤navec égalité ssi {u1;. . . ;up}est génératrice.
Preuve :
• {u1;. . . ;up}est génératrice de <{u1;. . . ;up}donc
rg({u1;. . . ;up}) = dim(<{u1;. . . ;up}>)≤p.
Si {u1;. . . ;up}est libre, c’est une base de <{u1;ldots;up}>donc
rg({u1;. . . ;up}) = psinon on peut en extraire une base de <{u1;. . . ;up}
donc rg({u1;. . . ;up})< p.
•On a clairement dim(<{u1;. . . ;up}>)≤dim(E)donc
rg(<{u1;. . . ;up}>)≤n.{u1;. . . ;up}est génératrice de Essi
<{u1;. . . ;up}>=Essi rg(<{u1;. . . ;up}) = dim(E).
Proposition :
Soit fune application linéaire de Edans F. Soit {u1;. . . ;up} ⊂ E. Alors
rg({f(u1); f(u2); . . . ;f(up)})≤rg({u1;. . . ;up}).
En particulier, si fest bijective, l’égalité est vraie.
Preuve :
Soit {u1;. . . ;uq}avec q≤pune base de <{u1;. . . ;up}>, alors
{f(u1); . . . ;f(uq)}est génératrice de <{f(u1); . . . ;f(up)}>donc
rg(< f(u1); . . . ;f(up)>)≤rg({u1;. . . ;up})avec égalité ssi
(<{f(u1); . . . ;f(up)}>est libre, ce qui est le cas si fest bijective puisqu’elle
transforme toute famille libre en une famille libre.
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2 Rang d’une application linéaire
Définition :
On appelle rang d’une application linéaire fla dimension de Im(f).
Téorème du rang :
Soit fune application linéaire de Edans F. Alors
dim(E)=dim(ker(f))+rg(f).
preuve :
Soit {u1;. . . ;ur}une base de ker(f)que l’on complète en une base
{u1;. . . ;un}de E.
Alors {f(u1); . . . ;f(un)}engendre Im(f)donc {f(ur+1); . . . ;f(un)}engendre
Im(f). En outre, {f(ur+1); . . . ;f(un)}est libre.
En effet, soit λi, i ∈ {r+ 1; . . . ;n}tels que Pn
i=r+1 λif(ui) = 0. On a
f(Pn
i=r+1 λiui) = 0 donc Pn
i=r+1 λiui∈ker(f).
D’où ∃βi∈K,Pr
i=1 βiui=Pn
i=r+1 λiui.
Si ∃i∈ {r+ 1; . . . ;n}/ λi6= 0, on peut supposer qu’il s’agit de λr+1 et on a
alors ur+1 =−λ−1
r+1λr+2ur+2 −. . . −λ−1
n+1λnun+Pr
i=1 βiλr+ 1−1uice qui est
absurde car la famille {u1;. . . ;un}est libre.
Par conséquent, {f(ur+1); . . . ;f(un)}est une base de Im(f)et le résultat s’en
déduit.
Propriété :
•rg(f)≤navec égalité ssi fest injective.
•rg(f)≤mavec égalité ssi fest surjective.
•Soit λ∈K∗,rg(λf) = λrg(f).
Preuve :
•Conséquence immédiate du théorème précédent.
•im(f)est un sous espace vectoriel de Fdonc rg(f)≤dim(F) = n. En outre,
rg(f) = nssi dim(im(f)) = dim(F)ssi Im(f) = Fssi fest surjective.
Propriété :
Soient fet gdeux endomorphismes de E.
• |rg(f)−rg(g)| ≤ rg(f+g)≤rg(f) + rg(g)
•rg(f◦g)≤min(rg(f); rg(g)). En outre, si gest surjectif alors rg(f◦g)) =
rg(f)et si fest injectif rg(f◦g) = rg(g).
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Preuve :
•Comme Im(f+g)⊂Im(f) + Im(g), on a rg(f+g)≤rg(f) + rg(g).
Ecrivant f=(f+g)-g on a alors :
rg(f)≤rg(f+g) + rg(−g) = rg(f+g) + rg(g)d’où
rg(f)−rg(g)≤rg(f+g)et le résultat en échangeant fet g.
•Si gest surjectif, g(E) = Edonc Im(f◦g) = Im(f)et rg(f◦g) = rg(f)
Si fest injectif, Im(g)et f(Im(g)) sont isomorphes donc rg(f◦g)≤rg(f).
L’inégalité est claire.
3 Rang d’une matrice
Définition :
On appelle rang d’une matrice A∈ Mm,n(K)et on note rg(A), la dimension
du sous espace vectoriel de Kmengendré par les colonnes de A.
Autrement dit, si A= (aij )ij ,Ci= (a1ia2i. . . ;ani)est le i-ème vecteur
colonne de Aet rg(A) = vect({C1;C2;. . . ;Cn}.
Théorème :
rg(A) = rg(tA), c’est à dire si Li= (ai1ai2. . . aim)est le i-ème vecteur
ligne de A, alors rg(A) = vect({L1;. . . ;Lm}).
Propriété :
Soit A∈ Mm,n(K). Soient r≤min(m;n)et Jr= (λij )ij la matrice définie
par λii = 1 si i∈ {1; 2; . . . ;r}et λij = 0 sinon. Alors il y équivalence entre :
• ∃P∈GLn(K),∃Q∈GLn(K)/ A =P JrQ
•rg(A) = r
Propriété :
Soient A, B ∈ Mm,n(K). Alors rg(A) = rg(B)ssi
∃P∈Gln(K)∃Q∈GLnK)/ B =P AQ
.
Théorème :
Soit A∈ Mm,n(K). Si Acontient une sous matrice B∈ Mr(K)telle que B
soit inversible et telle que toute sous matrice de Aappartenant à Mr+1(K)et
contenant Bne soit pas inversible, alors rg(A) = r.
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