Rang en algèbre linéaire dans les espaces vectoriels de dimension finie, cours de premier cycle universitaire. F.Gaudon 2 août 2005 Table des matières 1 Rang d’une famille de vecteurs 2 2 Rang d’une application linéaire 3 3 Rang d’une matrice 4 1 On considère deux espaces vectoriels E et F sur un corps K de dimensions finies n et m respectivement. 1 Rang d’une famille de vecteurs Définition : On appelle rang d’une famille {u1 ; u2 ; . . . ; up } de vecteurs de E et on note rg({u1 ; u2 ; . . . ; up }), la dimension du sous espace vectoriel engendré par cette famille. Propriétés : • rg({u1 ; . . . ; up }) ≤ p avec égalité ssi {u1 ; . . . ; up } est libre. • rg({u1 ; . . . ; up }) ≤ n avec égalité ssi {u1 ; . . . ; up } est génératrice. Preuve : • {u1 ; . . . ; up } est génératrice de < {u1 ; . . . ; up } donc rg({u1 ; . . . ; up }) = dim(< {u1 ; . . . ; up } >) ≤ p. Si {u1 ; . . . ; up } est libre, c’est une base de < {u1 ; ldots; up } > donc rg({u1 ; . . . ; up }) = p sinon on peut en extraire une base de < {u1 ; . . . ; up } donc rg({u1 ; . . . ; up }) < p. • On a clairement dim(< {u1 ; . . . ; up } >) ≤ dim(E) donc rg(< {u1 ; . . . ; up } >) ≤ n. {u1 ; . . . ; up } est génératrice de E ssi < {u1 ; . . . ; up } >= E ssi rg(< {u1 ; . . . ; up }) = dim(E). Proposition : Soit f une application linéaire de E dans F . Soit {u1 ; . . . ; up } ⊂ E. Alors rg({f (u1 ); f (u2 ); . . . ; f (up )}) ≤ rg({u1 ; . . . ; up }). En particulier, si f est bijective, l’égalité est vraie. Preuve : Soit {u1 ; . . . ; uq } avec q ≤ p une base de < {u1 ; . . . ; up } >, alors {f (u1 ); . . . ; f (uq )} est génératrice de < {f (u1 ); . . . ; f (up )} > donc rg(< f (u1 ); . . . ; f (up ) >) ≤ rg({u1 ; . . . ; up }) avec égalité ssi (< {f (u1 ); . . . ; f (up )} > est libre, ce qui est le cas si f est bijective puisqu’elle transforme toute famille libre en une famille libre. 2 2 Rang d’une application linéaire Définition : On appelle rang d’une application linéaire f la dimension de Im(f ). Téorème du rang : Soit f une application dim(E)=dim(ker(f ))+rg(f ). linéaire de E dans F. Alors preuve : Soit {u1 ; . . . ; ur } une base de ker(f ) que l’on complète en une base {u1 ; . . . ; un } de E. Alors {f (u1 ); . . . ; f (un )} engendre Im(f ) donc {f (ur+1 ); . . . ; f (un )} engendre Im(f ). En outre, {f (ur+1 ); . . . ; f (un )} est libre. P EnP effet, soit λi , i ∈ {r + P 1; . . . ; n} tels que ni=r+1 λi f (ui ) = 0. On a = 0 donc ni=r+1 f ( ni=r+1 λi ui ) P Pn λi ui ∈ ker(f ). r β u = D’où ∃βi ∈ K, i=r+1 λi ui . i=1 i i Si ∃i ∈ {r + 1; . . . ; n} / λi 6= 0, on peut supposer qu’il r+1 et on a Pr s’agit de λ−1 −1 −1 alors ur+1 = −λr+1 λr+2 ur+2 − . . . − λn+1 λn un + i=1 βi λr + 1 ui ce qui est absurde car la famille {u1 ; . . . ; un } est libre. Par conséquent, {f (ur+1 ); . . . ; f (un )} est une base de Im(f ) et le résultat s’en déduit. Propriété : • rg(f ) ≤ n avec égalité ssi f est injective. • rg(f ) ≤ m avec égalité ssi f est surjective. • Soit λ ∈ K∗ , rg(λf ) = λrg(f ). Preuve : • Conséquence immédiate du théorème précédent. • im(f ) est un sous espace vectoriel de F donc rg(f ) ≤ dim(F ) = n. En outre, rg(f ) = n ssi dim(im(f )) = dim(F ) ssi Im(f ) = F ssi f est surjective. Propriété : Soient f et g deux endomorphismes de E. • |rg(f ) − rg(g)| ≤ rg(f + g) ≤ rg(f ) + rg(g) • rg(f ◦g) ≤ min(rg(f ); rg(g)). En outre, si g est surjectif alors rg(f ◦g)) = rg(f ) et si f est injectif rg(f ◦ g) = rg(g). 3 Preuve : • Comme Im(f + g) ⊂ Im(f ) + Im(g), on a rg(f + g) ≤ rg(f ) + rg(g). Ecrivant f=(f+g)-g on a alors : rg(f ) ≤ rg(f + g) + rg(−g) = rg(f + g) + rg(g) d’où rg(f ) − rg(g) ≤ rg(f + g) et le résultat en échangeant f et g. • Si g est surjectif, g(E) = E donc Im(f ◦ g) = Im(f ) et rg(f ◦ g) = rg(f ) Si f est injectif, Im(g) et f (Im(g)) sont isomorphes donc rg(f ◦ g) ≤ rg(f ). L’inégalité est claire. 3 Rang d’une matrice Définition : On appelle rang d’une matrice A ∈ Mm,n (K) et on note rg(A), la dimension du sous espace vectoriel de Km engendré par les colonnes de A. Autrement dit, si A = (aij )ij , Ci = (a1i a2i . . . ; ani ) est le i-ème vecteur colonne de A et rg(A) = vect({C1 ; C2 ; . . . ; Cn }. Théorème : rg(A) = rg(t A), c’est à dire si Li = (ai1 ai2 . . . aim ) est le i-ème vecteur ligne de A, alors rg(A) = vect({L1 ; . . . ; Lm }). Propriété : Soit A ∈ Mm,n (K). Soient r ≤ min(m; n) et Jr = (λij )ij la matrice définie par λii = 1 si i ∈ {1; 2; . . . ; r} et λij = 0 sinon. Alors il y équivalence entre : • ∃P ∈ GLn (K), ∃Q ∈ GLn (K) / A = P Jr Q • rg(A) = r Propriété : Soient A, B ∈ Mm,n (K). Alors rg(A) = rg(B) ssi ∃P ∈ Gln (K) ∃Q ∈ GLn K) / B = P AQ . Théorème : Soit A ∈ Mm,n (K). Si A contient une sous matrice B ∈ Mr (K) telle que B soit inversible et telle que toute sous matrice de A appartenant à Mr+1 (K) et contenant B ne soit pas inversible, alors rg(A) = r. 4