Mémo PROBABILITES

MP 14-15
MEMO PROBABILILTES
I PROBABILITES SUR UN UNIVERS FINI 1
I.1 Notion d’espace probabilisé fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Expériences et évènements aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lien entre langage ensembliste et langage probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Espaces probabilisés finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Indépendance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Evènements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II VARIABLES ALEATOIRES SUR UN ESPACE PROBABILISE FINI 8
II.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Quelques lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IIIMOMENTS DE VARIABLES ALEATOIRES REELLES 13
III.1 Espérance d’une variable aléatoire réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III.2 Variance, écart-type et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
IVPOUR S’ENTRAINER 18
V SOLUTIONS DES EXERCICES 21
Document de 28 pages 11 juillet 2014

MEMO PROBABILILTES I. PROBABILITES SUR UN UNIVERS FINI
I. PROBABILITES SUR UN UNIVERS FINI
I.1 Notion d’espace probabilisé fini
I.1.a Expériences et évènements aléatoires
La première notion de théorie des probabilités est celle d’expérience aléatoire, c’est-à-dire dont
le résultat est soumis au hasard, par exemple :
(a)des jeux de hasard (dés, cartes, loterie, etc...)
(b)observation de la durée de vie d’un individu d’une population
(c)observation du nombre d’appels passant par un central téléphonique chaque jour d’une semaine
(d)un jeu de pile ou face de durée infinie
(e)observation pendant un intervalle [a, b]de l’amplitude du bruit thermique émis par un réseau
électrique
Une expérience aléatoire se définit mathématiquement par la donnée de tous ses résultats possibles,
souvent notés ω. Leur ensemble, noté Ω,est appelé l’ensemble des issues ou univers. Pour illustrer
les exemples donnés précédemment citons :
(a)le jet de deux dés pour lequel Ω = [[1,6]]
2
(b) Ω = IN ou Ω = IR
+
(c) Ω = IN
7
(d) Ω = {0,1}
IN
∗
(e) Ω = C([a, b],IR)
La seconde notion fondamentale de la théorie des probabilités est celle d’évènement aléatoire. La
réalisation d’un évènement aléatoire dépend uniquement du résultat de l’expérience à laquelle il est
lié. Un évènement aléatoire peut être représenté par l’ensemble des résultats le réalisant. Ainsi
A={ω∈Ω|Aest réalisé si ωest le résultat de l’expérience}
Illustrons les exemples précédents par des évènements aléatoires liés à ces expériences :
(a)la somme des points des deux dés est supérieur ou égale à 10 : A=(x, y)∈[[1,6]]
2
|x+y10
(b)la durée de vie appartient à [x
0
, y
0
] : A={ω∈Ω|x
0
ωy
0
}
(c)le nombre d’appels hebdomadaire est inférieur ou égal à 1000 : A=ω∈IN
7
|
7
k=1
ω
k
1000
(d)la suite est nulle après le 10
me
tirage : A=ω∈ {0,1}
IN
∗
| ∀n11, ω
n
= 0
(e)l’amplitude mesurée ne dépasse pas le seuil µ:A=ω∈C([a, b],IR)sup
[a,b]
|ω|µ
I.1.b Lien entre langage ensembliste et langage probabiliste
On considère une partie Ade P(Ω), dont les éléments sont appelés les évènements, vérifiant les
propriétés suivantes :
•Ω∈ A
• ∀A, B ∈ A, A ∪B∈ A et A∩B∈ A
• ∀A∈ A,Ω\A∈ A
Dans le cas d’un ensemble fini on utilise A=P(Ω) .
A tout évènement Aest associé son contraire non A, noté A
c
ou A, qui est réalisé si, et seulement
si, Ane l’est pas.
Si Aet Bsont deux évènements, on définit :
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•l’évènement A et B, noté A∩B, qui est réalisé si, et seulement si, les deux évènements le sont
•l’évènement A ou B, noté A∪B, qui est réalisé si, et seulement si, au moins l’un des deux évènements
l’est
L’évènement Ωest toujours réalisé et est appelé l’évènement certain.
L’évènement impossible, qui n’est jamais réalisé, est noté ∅.
Les deux évènements Aet Bsont dits incompatibles lorsque A∩B=∅.
Si (A
n
)
n
définit un recouvrement disjoint
1
de Ω(l’ensemble d’indexation est nécessairement fini
si Ωest fini), on dit que la famille (A
n
)
n
est un système complet d’évènements de Ω.
On dit que l’évènement Aimplique l’évènement Bsi Aest inclus dans B.
Un singleton de Ωest appelé un évènement élémentaire. Deux évènements élémentaires distincts
sont incompatibles.
Voici un résumé des définitions précédentes :
Langage probabiliste Langage ensembliste Notation
Evènement élémentaire Singleton {ω}
Evènement certain Ensemble entier Ω
Evènement impossible Ensemble vide ∅
Evènement contraire Complémentaire A
c
ou A
Et Intersection A∩B
Ou Union A∪B
Evènements incompatibles Parties disjointes A∩B=∅
Système complet Recouvrement disjoint
Implication Inclusion A⊂B
Désormais, Ωdésigne un ensemble fini non vide.
I.1.c Espaces probabilisés finis
Définition 1 On appelle probabilité sur Ωtoute application Pde P(Ω) dans IR
+
vérifiant :
•P(Ω) = 1
•pour tout couple (A, B)d’évènements incompatibles P(A∪B) = P(A) + P(B)
On dit aussi que Pdéfinit une loi de probabilité sur Ωet le couple (Ω, P )est appelé un espace
probabilisé fini.
Premières propriétés : soit (Ω, P )un espace probabilisé fini.
•Pest une fonction croissante c’est-à-dire ∀A, B ∈ P (Ω) , A ⊂B=⇒P(A)P(B).Notamment
∀A∈ P (Ω) , P (A)1.
• ∀A∈ P (Ω) , P (A
c
) = 1 −P(A)
• ∀A, B ∈ P (Ω) , P (A∪B) + P(A∩B) = P(A) + P(B)
•Soit (A
1
,...,A
n
)une famille d’évènements. Alors P
n
i=1
A
i
n
i=1
P(A
i
)avec égalité si les
évènements A
1
,...,A
n
sont deux à deux incompatibles. Notamment si (A
1
,...,A
n
)est un système
complet d’évènements de Ω,on a
n
i=1
P(A
i
) = 1.
Remarque I.1 Caractérisation des probabilités :
La restriction d’une probabilité Paux évènements élémentaires définit une fonction fde Ωdans
1
Famille de parties de Ωdeux à deux disjointes dont l’union est égale à Ω
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IR
+
telle que 
ω∈Ω
f(ω) = 1.
Réciproquement toute application gde Ωdans IR
+
telle que 
ω∈Ω
g(ω) = 1 définit une unique proba-
bilité Qsur Ωpar
∀A∈ P (Ω) , Q (A) = 
ω∈A
g(ω)
Calcul combinatoire des probabilités :
Des considérations de symétrie conduisent généralement à attribuer la même probabilité à chaque
évènement, c’est-à-dire à poser ∀ω∈Ω, P (ω) = 1
card Ω.
Cette probabilité est appelée probabilité uniforme sur Ωet est définie par
∀A∈ P (Ω) , P (A) = card A
card Ω
(nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles).
Dans un exercice l’expression ”choisir au hasard” implique d’utiliser la probabilité uniforme sur
l’univers Ω.
Exemple 1 Jeu de pile ou face équiprobable en ncoups.
Dans ce cas en posant E={pile, face},on a Ω = E
n
et card Ω = 2
n
.
La probabilité de jouer une partie où :
•pile ne figure pas est égale à 1
2
n
•pile figure mfois est égale à n
m
2
n
•pile figure au plus mfois est égale à n
0+· · · +n m
2
n
.
Exemple 2 Jeu de bridge.
Eest un ensemble de cardinal égal à 52,et Ωest l’ensemble des parties de Ede cardinal égal à 13.
Ainsi card Ω = 52
13 .La probabilité d’avoir une main :
•contenant au moins un as est égale à 1−48
13 
52
13 
•contenant tous les as est égale à 48
9
52
13 
•aucun carreau est égale à 39
13 
52
13 
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•une répartition 4−3−3−3est égale à 4
1 13 4 13 3
3
52
13 
Exemple 3 On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à nper-
sonnes. On demande la probabilité pour que deux amis soient distants de rplaces.
On suppose 1rn−1,sinon la probabilité demandée est bien sûr égale à 0.On peut se placer
sur deux espaces probabilisés différents pour répondre à la question.
On peut supposer les amis ”indiscernables” et dans ce cas Ω = (a, b)∈IN
2
|1a < b nainsi
que A={(1, r + 1) ,...,(n−r, n)}ce qui donne
P(A) = card A
card Ω =n−r
n
2=2 (n−r)
n(n−1)
On peut supposer les amis ”discernables” et dans ce cas Ω = (a, b)∈[[1, n]]
2
|a=bainsi que
A={(1, r + 1) ,...,(n−r, n)} ∪ {(r+ 1,1) ,...,(n, n −r)}ce qui donne
P(A) = card A
card Ω =2 (n−r) A
2
n
=2 (n−r)
n(n−1)
On constate que la probabilité maximum est atteinte pour r= 1 (égale à 2
n), c’est-à-dire lorsque les
deux amis sont l’un derrière l’autre ; ce résultat contredit l’intuition la plus courante qui amène à
envisager une distance ”moyenne” plus grande et aussi la plus probable.
Exercice 1 Paradoxe du chevalier de Méré.
Est-il plus probable d’obtenir au moins 1as avec 4dés ou au moins un double as en 24 coups avec
deux dés ?
I.2 Indépendance stochastique
I.2.a Probabilités conditionnelles
Cette notion s’introduit de façon naturelle lorsque l’on possède une information partielle sur une
expérience aléatoire avant d’en connaître le résultat (par exemple résultat du jet de deux dés dont on
connaît le nombre de points amenés par premier).
Définition 2 Soient Pune probabilité sur Ωet A, B ∈ P (Ω) .
On appelle probabilité conditionnelle de l’évènement Asachant B(ou relative à B), notée P(A|B)
ou P
B
(A),le réel défini par
P(A|B) = P
B
(A) = 
P(A∩B)
P(B)si P(B)>0
P(A)sinon
Dans le cadre du programme la définition de la probabilité sachant Best donnée dans le cas
P(B)>0,hypothèse que nous ferons implicitement par la suite, sauf mention du contraire.
Remarque I.2 Avec les notations précédentes :
•P
B
est une probabilité sur Ω
•si Pest la probabilité uniforme et P(B)>0,on a P(A|B) = card (A∩B)
card B
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