TD 1 - Groupes, actions de groupes

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 1 - Groupes, actions de groupes
Exercice 1. On considère les matrices X=2 0
0 1,et Y=1 1
0 1et l’on note Gle sous-
groupe de GL2(R)qu’elles engendrent.
1. Pour n∈Z, calculer X−nY Xn. On note Hnle sous-groupe de GL2(R)engendré par cet
élément.
2. Montrer que pour tout n∈Z,Hnest strictement inclus dans Hn+1.
3. Exhiber un sous-groupe de Gqui est strictement inclus dans l’un de ses conjugués.
4. Exhiber un sous-groupe de Gqui ne peut pas être engendré par un nombre fini d’éléments.
5. Montrer, en revanche, que si Aest un groupe abélien engendré par néléments, alors tout
sous-groupe de Apeut être engendré par au plus néléments.
Exercice 2. 1. Soit pun nombre premier. Montrer que Z/pZest un corps.
2. Montrer que GLd(Z/pZ)est un groupe fini. Calculer son ordre.
3. Soit Ule sous-groupe des matrices triangulaires supérieures ayant des 1 sur la diagonale.
Calculer l’ordre de U.
4. Vérifier que d!divise |GLd(Z/pZ)|.
Exercice 3 (Sous-groupes distingués). 1. Soient Gun groupe et H⊳G, un sous-groupe
distingué.
(a) Montrer que les sous-groupes distingués de G/H sont de la forme K/H où K⊳G,
H⊳K.
(b) Montrer que (G/H)/(K/H)≃G/K.
(c) Expliciter (G/H)/(K/H)≃G/K pour G=Z.
2. Soit K < G un sous-groupe de G.
(a) Montrer que H∩K⊳K.
(b) Montrer que HK ={hk, h ∈H, k ∈K}est un sous-groupe de G.
(c) Montrer que H⊳HK.
(d) Montrer que K/K ∩H≃KH/H.
(e) Expliciter cet isomorphisme pour G=Z.
Exercice 4. Soient Kun corps et n≥1. Montrer que le diagramme suivant est commutatif et
exact par lignes et par colonnes :
1 1 1
↓ ↓ ↓
1→SH∗
n(K)−→ H∗
n(K)det
−→ K∗n→1
↓ ↓ ↓
1→SLn(K)−→ GLn(K)det −→ K∗→1
↓ ↓ ↓
1→PSLn(K)−→ PGLn(K)−→ K∗/K∗n→1
↓ ↓ ↓
1 1 1
où l’on définira convenablement les objets et les morphismes.
1

2
Exercice 5. Soit Gun groupe fini d’ordre n≥2.
1. Montrer que Gpossède un système générateur {a1,...,ak}tel que pour i≥2,ain’appar-
tient pas au sous-groupe engendré par {a1,...,ai−1}.
2. Montrer que n≥2k.
3. Montrer que |Aut G| ≤ nlog2n.
Exercice 6 (Groupe multiplicatif de Z/nZ). 1. Soit pun nombre premier impair.
(a) Pour k∈N,k≥1, montrer qu’il existe akpremier avec ptel que (1 + p)pk=
1+akpk+1.Que peut-on dire de l’ordre de 1+pdans le groupe multiplicatif (Z/pkZ)∗?
(b) En déduire que pour α≥1,(Z/pαZ)∗≃Z/pα−1(p−1)Z.
2. Identifier (Z/2αZ)∗, pour α≥1.
3. Pour quels entiers n≥1le groupe (Z/nZ)∗est-il cyclique ?
Exercice 7 (Le foncteur Hom). 1. Soient net mdeux entiers ≥1. Identifier le groupe des
morphismes de groupes abéliens HomZ(Z/nZ,Z/mZ).
2. On considère la suite exacte de groupes abéliens
0→G′→G→G′′ →0.
Soit Kun groupe abélien. Le complexe suivant est-il exact ?
0→HomZ(K, G′)→HomZ(K, G)→HomZ(K, G′′ )→0.
Exercice 8. Montrer que (Q/Z,+) est un groupe de torsion qui possède un unique sous-groupe
d’ordre npour tout n≥1et que ce sous-groupe est cyclique.
Exercice 9. 1. Soit Gun groupe infini. Montrer qu’il contient un sous-groupe non trivial.
2. Soit Gun groupe fini dont l’ordre ≥2n’est pas un nombre premier. Montrer que Gcontient
un sous-groupe non trivial.
3. Soient Γun groupe et Mun sous-groupe maximal de Γnon réduit à l’élément neutre (c’est
à dire que M6= Γ et les seuls sous-groupes de Γcontenant Msont Met Γlui-même). On
suppose que Mest distingué dans Γ. Montrer que le quotient Γ/M est fini. Que peut-on
dire de son ordre ?
Exercice 10 (Groupes abéliens finis). Soit Gun groupe abélien fini. On appelle caractère
de Gtout morphisme de Gdans (C∗,×).
1. Soit Hun sous-groupe de Get χun caractère de H. Montrer que χse prolonge en un
caractère de G.
2. Soit rl’exposant de Get x∈Gun élément d’ordre r. Montrer qu’il existe un sous-groupe
Kde Gtel que
G≃K⊕Zx.
Commencer par considérer un caractère naturel de Zx...
3. Montrer que tout groupe abélien fini est produit de groupes cycliques.
Exercice 11. Montrer que SL2(F4)s’injecte dans S5. En déduire que SL2(F4)≃ A5.
Exercice 12. Soit Gun groupe fini et ple plus petit facteur premier du cardinal de G. Montrer
que tout sous-groupe de Gd’indice pest distingué.