FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I Rachel Ollivier TD 1 - Groupes, actions de groupes Exercice 1. On considère les matrices X = 2 0 1 1 , et Y = et l’on note G le sous0 1 0 1 groupe de GL2 (R) qu’elles engendrent. 1. Pour n ∈ Z, calculer X −n Y X n . On note Hn le sous-groupe de GL2 (R) engendré par cet élément. 2. Montrer que pour tout n ∈ Z, Hn est strictement inclus dans Hn+1 . 3. Exhiber un sous-groupe de G qui est strictement inclus dans l’un de ses conjugués. 4. Exhiber un sous-groupe de G qui ne peut pas être engendré par un nombre fini d’éléments. 5. Montrer, en revanche, que si A est un groupe abélien engendré par n éléments, alors tout sous-groupe de A peut être engendré par au plus n éléments. Exercice 2. 1. Soit p un nombre premier. Montrer que Z/pZ est un corps. 2. Montrer que GLd (Z/pZ) est un groupe fini. Calculer son ordre. 3. Soit U le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures ayant des 1 sur la diagonale. Calculer l’ordre de U . 4. Vérifier que d! divise | GLd (Z/pZ)|. Exercice 3 (Sous-groupes distingués). 1. Soient G un groupe et H ⊳ G, un sous-groupe distingué. (a) Montrer que les sous-groupes distingués de G/H sont de la forme K/H où K ⊳ G, H ⊳ K. (b) Montrer que (G/H)/(K/H) ≃ G/K. (c) Expliciter (G/H)/(K/H) ≃ G/K pour G = Z. 2. Soit K < G un sous-groupe de G. (a) (b) (c) (d) (e) Montrer que H ∩ K ⊳ K. Montrer que HK = {hk, h ∈ H, k ∈ K} est un sous-groupe de G. Montrer que H ⊳ HK. Montrer que K/K ∩ H ≃ KH/H. Expliciter cet isomorphisme pour G = Z. Exercice 4. Soient K un corps et n ≥ 1. Montrer que le diagramme suivant est commutatif et exact par lignes et par colonnes : 1 ↓ 1 → SHn∗ (K) ↓ 1 ↓ −→ Hn∗ (K) ↓ 1 ↓ det −→ det K ∗n ↓ → 1 SLn (K) −→ GLn (K) −→ K∗ → 1 ↓ ↓ ↓ 1 → PSLn (K) −→ PGLn (K) −→ K ∗ /K ∗n → 1 ↓ ↓ ↓ 1 1 1 1 → où l’on définira convenablement les objets et les morphismes. 1 2 Exercice 5. Soit G un groupe fini d’ordre n ≥ 2. 1. Montrer que G possède un système générateur {a1 , . . . , ak } tel que pour i ≥ 2, ai n’appartient pas au sous-groupe engendré par {a1 , . . . , ai−1 }. 2. Montrer que n ≥ 2k . 3. Montrer que | Aut G| ≤ nlog2 n . Exercice 6 (Groupe multiplicatif de Z/nZ). 1. Soit p un nombre premier impair. k (a) Pour k ∈ N, k ≥ 1, montrer qu’il existe ak premier avec p tel que (1 + p)p = 1+ak pk+1 . Que peut-on dire de l’ordre de 1+p dans le groupe multiplicatif (Z/pk Z)∗ ? (b) En déduire que pour α ≥ 1, (Z/pα Z)∗ ≃ Z/pα−1 (p − 1)Z. 2. Identifier (Z/2α Z)∗ , pour α ≥ 1. 3. Pour quels entiers n ≥ 1 le groupe (Z/nZ)∗ est-il cyclique ? Exercice 7 (Le foncteur Hom). 1. Soient n et m deux entiers ≥ 1. Identifier le groupe des morphismes de groupes abéliens HomZ (Z/nZ, Z/mZ). 2. On considère la suite exacte de groupes abéliens 0 → G′ → G → G′′ → 0. Soit K un groupe abélien. Le complexe suivant est-il exact ? 0 → HomZ (K, G′ ) → HomZ (K, G) → HomZ (K, G′′ ) → 0. Exercice 8. Montrer que (Q/Z, +) est un groupe de torsion qui possède un unique sous-groupe d’ordre n pour tout n ≥ 1 et que ce sous-groupe est cyclique. Exercice 9. 1. Soit G un groupe infini. Montrer qu’il contient un sous-groupe non trivial. 2. Soit G un groupe fini dont l’ordre ≥ 2 n’est pas un nombre premier. Montrer que G contient un sous-groupe non trivial. 3. Soient Γ un groupe et M un sous-groupe maximal de Γ non réduit à l’élément neutre (c’est à dire que M 6= Γ et les seuls sous-groupes de Γ contenant M sont M et Γ lui-même). On suppose que M est distingué dans Γ. Montrer que le quotient Γ/M est fini. Que peut-on dire de son ordre ? Exercice 10 (Groupes abéliens finis). Soit G un groupe abélien fini. On appelle caractère de G tout morphisme de G dans (C∗ , ×). 1. Soit H un sous-groupe de G et χ un caractère de H. Montrer que χ se prolonge en un caractère de G. 2. Soit r l’exposant de G et x ∈ G un élément d’ordre r. Montrer qu’il existe un sous-groupe K de G tel que G ≃ K ⊕ Zx. Commencer par considérer un caractère naturel de Zx... 3. Montrer que tout groupe abélien fini est produit de groupes cycliques. Exercice 11. Montrer que SL2 (F4 ) s’injecte dans S5 . En déduire que SL2 (F4 ) ≃ A5 . Exercice 12. Soit G un groupe fini et p le plus petit facteur premier du cardinal de G. Montrer que tout sous-groupe de G d’indice p est distingué.