Rappels de mathématiques Table des matières

Rappels de mathématiques
BA1 en chimie, mathématiques et physique.
Table des matières
1 Fonctions 3
1.1 Généralités ............................. 3
1.2 Composition............................. 5
1.3 Injectivité et surjectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Exercices .............................. 6
1.5 Dérivée ............................... 8
1.6 Approcheintuitive ......................... 8
1.7 Sens physique de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Dérivéepartielle .......................... 11
1.9 Règle de dérivation en chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10Exercices .............................. 13
2 Trigonométrie 15
2.1 Systèmes de coordonnées du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Mesured’unangle ......................... 16
2.3 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Formulesdebase.......................... 18
2.5 Dérivées............................... 20
2.6 Résolution de triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Applications............................. 21
3 Les nombres complexes 23
3.1 Définitions.............................. 23
3.2 PlandeGauss............................ 23
3.3 Forme polaire ou trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Racine ned’uncomplexe...................... 25
3.5 Exercices .............................. 25
1

TABLE DES MATIÈRES 2
4 Analyse vectorielle 28
4.1 Introduction : scalaires et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Addition de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Composantes d’un vecteur et vecteurs de base . . . . . . . . . . 29
4.4 Produitscalaire........................... 30
4.5 Produitvectoriel .......................... 31
4.6 Exercices .............................. 32
5 Intégration 36
5.1 Introduction............................. 36
5.2 Rappels et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chapitre 1
Fonctions
1.1 Généralités
Une fonction est une relation associant à chaque élément xd’un ensemble
de départ un et un seul élément d’un ensemble d’arrivée, que l’on appelle image
de xpar fet que l’on note f(x). Si Eest l’ensemble de départ et Fl’ensemble
d’arrivée, on dit alors que fest une fonction de Edans Fet on note cela :
f:E→F:x7→ f(x)
Eet Fpeuvent être par exemple l’ensemble des réels ou des complexes (R
ou C). Par abus de langage, on parlera parfois de la fonction f(x)ou de la
fonction y=f(x). Suivent une série de définitions :
Image d’une fonction L’image d’une fonction f:E→Fest la collection
des f(x)pour xparcourant E; c’est un sous-ensemble de F(f(E)⊂F),
on le note Imf.
Par exemple, l’image de la fonction f: [0,2] →R:x7→ x2est [0,4] et
c’est bien un sous-ensemble de la droite réelle.
Domaine de définition Le domaine de définition d’une fonction fest l’ensem-
ble E. Il est parfois utile de préciser l’expression algébrique d’une fonc-
tion (c’est-à-dire donner la formule) sans préciser le domaine, qu’il faut
chercher ensuite.
Par exemple, le domaine de définition Ede la fonction f:E⊂R→R:
x7→ ln(x−1)/x est ]1,∞[.
On peut représenter cette dernière fonction par son graphe.
Le domaine de définition s’obtient alors en projetant le graphe sur l’axe
des abscisses et l’image s’obtient en projetant le graphe sur l’axe des
ordonnées.
Antécédent Si x, élément de E, vérifie f(x) = y, on dit que xest un antécé-
dent de y.
Attention, un élément yde Fpeut très bien avoir plusieurs antécédents
ou n’en avoir aucun.
3

CHAPITRE 1. FONCTIONS 4
-
6
1.0 2.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
x2
x
Figure 1.1: La fonction f: [0,2] →R:x7→ x2. L’image de fest en trait gras
sur l’axe des ordonnées.
-
6
1.0 2.0 3.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
ln(x−1)
x
x
Figure 1.2: La fonction f: (0,1) ⊂R→R:x7→ ln(x−1)/x. Le domaine de
définition de fest en trait gras sur l’axe des abscisses.
Parité Enfin, une fonction f:E→F, avec E⊂Ret F⊂Rest :
∗paire si et seulement si pour tout xde E, on a −x∈Eet f(x) = f(−x).
∗impaire si et seulement si pour tout xde E, on a −x∈Eet f(−x) =
−f(x).
Par exemple la fonction cos(x)est une fonction paire et la fonction sin(x)
est une fonction impaire, mais ln(x−1)/x n’est ni l’un ni l’autre.

CHAPITRE 1. FONCTIONS 5
1.2 Composition
Que se passe-t’il si l’on applique successivement une fonction gpuis une
fonction f? On passe de l’ensemble de départ de gà l’ensemble d’arrivée de f.
Ceci nous définit une nouvelle fonction entre ces deux ensembles. Cette fonc-
tion s’appelle la composée de get f.
Définition La composition de deux fonctions fde E2dans E3et gde E1
dans E2se note f◦g. C’est une fonction de E1dans E3définie, pour tout
élément xde E1, par (f◦g)(x) = f(g(x)). On peut écrire ceci d’une manière
plus concise comme suit : E1
g
→E2
f
→E3.
E1E2E3
R R
gf
f◦g
1.3 Injectivité et surjectivité
Injection Une fonction fde Edans Fest dite injective lorsque tout élément
de l’ensemble d’arrivée de faau plus un antécédent dans l’ensemble de
départ par f. Une telle fonction est appelée une injection.
Surjection Une fonction fde Edans Fest dite surjective lorsque tout élé-
ment de l’ensemble d’arrivée est image par fd’au moins un élément de
l’ensemble de départ. En d’autres termes, fest surjective si et seulement
si son image est l’ensemble d’arrivée tout entier. Une telle fonction est
appelée une surjection.
Bijection Une fonction fà la fois injective et surjective est appelée une
bijection. Cela signifie qu’à tout élément de l’ensemble d’arrivée de f
correspond par fà un et un seul élément de l’ensemble de départ.
Fonction réciproque Si une fonction f:E→Fest bijective, à tout élément
de Fest associé un unique antécédent par fdans E. Ceci définit donc une
fonction, que l’on appelle fonction réciproque de f, et qui, dans ce cas,
est également une bijection. On note en général cette fonction réciproque
f−1(Attention à ne pas confondre f−1(x)avec f(x)−1= 1/f(x)!).