Rappels de mathématiques Table des matières

Rappels de mathématiques
BA1 en chimie, mathématiques et physique.
Table des matières
1 Fonctions
1.1 Généralités . . . . . . . . . .
1.2 Composition . . . . . . . . . .
1.3 Injectivité et surjectivité . . .
1.4 Exercices . . . . . . . . . . .
1.5 Dérivée . . . . . . . . . . . .
1.6 Approche intuitive . . . . . .
1.7 Sens physique de la dérivée .
1.8 Dérivée partielle . . . . . . .
1.9 Règle de dérivation en chaîne
1.10 Exercices . . . . . . . . . . .
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3
3
5
5
6
8
8
9
11
12
13
plan
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15
15
16
17
18
20
20
21
nombres complexes
Définitions . . . . . . . . . . . . .
Plan de Gauss . . . . . . . . . . .
Forme polaire ou trigonométrique
Racine ne d’un complexe . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . .
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23
23
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25
25
2 Trigonométrie
2.1 Systèmes de coordonnées du
2.2 Mesure d’un angle . . . . .
2.3 Fonctions trigonométriques
2.4 Formules de base . . . . . .
2.5 Dérivées . . . . . . . . . . .
2.6 Résolution de triangle . . .
2.7 Applications . . . . . . . . .
3 Les
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
1
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TABLE DES MATIÈRES
4 Analyse vectorielle
4.1 Introduction : scalaires et vecteurs . . . . . .
4.2 Addition de vecteurs . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Composantes d’un vecteur et vecteurs de base
4.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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28
28
28
29
30
31
32
5 Intégration
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Rappels et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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36
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Chapitre 1
Fonctions
1.1
Généralités
Une fonction est une relation associant à chaque élément x d’un ensemble
de départ un et un seul élément d’un ensemble d’arrivée, que l’on appelle image
de x par f et que l’on note f (x). Si E est l’ensemble de départ et F l’ensemble
d’arrivée, on dit alors que f est une fonction de E dans F et on note cela :
f : E → F : x 7→ f (x)
E et F peuvent être par exemple l’ensemble des réels ou des complexes (R
ou C). Par abus de langage, on parlera parfois de la fonction f (x) ou de la
fonction y = f (x). Suivent une série de définitions :
Image d’une fonction L’image d’une fonction f : E → F est la collection
des f (x) pour x parcourant E ; c’est un sous-ensemble de F (f (E) ⊂ F ),
on le note Imf .
Par exemple, l’image de la fonction f : [0, 2] → R : x 7→ x2 est [0, 4] et
c’est bien un sous-ensemble de la droite réelle.
Domaine de définition Le domaine de définition d’une fonction f est l’ensemble E. Il est parfois utile de préciser l’expression algébrique d’une fonction (c’est-à-dire donner la formule) sans préciser le domaine, qu’il faut
chercher ensuite.
Par exemple, le domaine de définition E de la fonction f : E ⊂ R → R :
x 7→ ln(x − 1)/x est ]1, ∞[.
On peut représenter cette dernière fonction par son graphe.
Le domaine de définition s’obtient alors en projetant le graphe sur l’axe
des abscisses et l’image s’obtient en projetant le graphe sur l’axe des
ordonnées.
Antécédent Si x, élément de E, vérifie f (x) = y, on dit que x est un antécédent de y.
Attention, un élément y de F peut très bien avoir plusieurs antécédents
ou n’en avoir aucun.
3
CHAPITRE 1. FONCTIONS
4
x2
6.0 6
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
1.0
2.0
x
Figure 1.1: La fonction f : [0, 2] → R : x 7→ x2 . L’image de f est en trait gras
sur l’axe des ordonnées.
ln(x−1)
x
6
1.0
2.0
3.0
x
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
-2.5
Figure 1.2: La fonction f : (0, 1) ⊂ R → R : x 7→ ln(x − 1)/x. Le domaine de
définition de f est en trait gras sur l’axe des abscisses.
Parité Enfin, une fonction f : E → F , avec E ⊂ R et F ⊂ R est :
∗ paire si et seulement si pour tout x de E, on a −x ∈ E et f (x) = f (−x).
∗ impaire si et seulement si pour tout x de E, on a −x ∈ E et f (−x) =
− f (x).
Par exemple la fonction cos(x) est une fonction paire et la fonction sin(x)
est une fonction impaire, mais ln(x − 1)/x n’est ni l’un ni l’autre.
CHAPITRE 1. FONCTIONS
1.2
5
Composition
Que se passe-t’il si l’on applique successivement une fonction g puis une
fonction f ? On passe de l’ensemble de départ de g à l’ensemble d’arrivée de f .
Ceci nous définit une nouvelle fonction entre ces deux ensembles. Cette fonction s’appelle la composée de g et f .
Définition La composition de deux fonctions f de E2 dans E3 et g de E1
dans E2 se note f ◦ g. C’est une fonction de E1 dans E3 définie, pour tout
élément x de E1 , par (f ◦ g)(x) = f (g(x)). On peut écrire ceci d’une manière
g
f
plus concise comme suit : E1 → E2 → E3 .
E1
E2
g
E3
f
R
R
f ◦g
1.3
Injectivité et surjectivité
Injection Une fonction f de E dans F est dite injective lorsque tout élément
de l’ensemble d’arrivée de f a au plus un antécédent dans l’ensemble de
départ par f . Une telle fonction est appelée une injection.
Surjection Une fonction f de E dans F est dite surjective lorsque tout élément de l’ensemble d’arrivée est image par f d’au moins un élément de
l’ensemble de départ. En d’autres termes, f est surjective si et seulement
si son image est l’ensemble d’arrivée tout entier. Une telle fonction est
appelée une surjection.
Bijection Une fonction f à la fois injective et surjective est appelée une
bijection. Cela signifie qu’à tout élément de l’ensemble d’arrivée de f
correspond par f à un et un seul élément de l’ensemble de départ.
Fonction réciproque Si une fonction f : E → F est bijective, à tout élément
de F est associé un unique antécédent par f dans E. Ceci définit donc une
fonction, que l’on appelle fonction réciproque de f , et qui, dans ce cas,
est également une bijection. On note en général cette fonction réciproque
f −1 (Attention à ne pas confondre f −1 (x) avec f (x)−1 = 1/f (x) !).
CHAPITRE 1. FONCTIONS
6
Exemple La fonction f : [0, ∞) → [0,√∞) : x 7→ x2 admet la fonction
réciproque f −1 : [0, ∞) → [0, ∞) : x 7→ x.
Surjection
Injection
Bijection
-
*
j
-
z
:
-
-
(Pas injectif !)
1.4
(Pas surjectif !)
(= injectif et surjectif)
Exercices
1. On donne les fonctions f (x) = 2x et g(x) = sin(x).
a) Calculer f (π/2), g(π/2), (g ◦ f )(π/2) et (f ◦ g)(π/2)
b) Quelles sont les expressions algébriques de f ◦ g et g ◦ f ?
2. Si f (x) = 1/(1 − x), donner les expressions algébrique de f ◦ f et f ◦ f ◦ f .
3. On donne la fonction

 1/x
x2
f (x) =

x+2
si x < 0
si 0 ≤ x ≤ 2
si 2 < x
a) Calculer f (−2), f (0), f (3/2), f (2) et f (3).
b) Esquisser le graphe de f .
c) Déterminer le domaine de définition et l’image de f .
d) Déterminer la fonction réciproque de f si elle existe ; si elle n’existe
pas, expliquer pourquoi.
4. Vrai ou faux ? : la fonction f : R → R : x 7→ x2 + 3x + 2 est
a) injective
b) bijective
c) inversible
d) surjective
5. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition et
la fonction réciproque si elle existe. Représenter la fonction et sa fonction
réciproque sur le même graphique.
a) y = ex
CHAPITRE 1. FONCTIONS
b) y =
c) y =
√
x
q
2x+1
3(x−1)
7
CHAPITRE 1. FONCTIONS
8
1.5
Dérivée
1.6
Approche intuitive
Prenons une fonction quelconque y = f (x), on peut calculer la variation ∆y
de cette fonction entre deux points P1 = (x1 , y1 ) et P2 = (x2 , y2 ) de sa courbe :
∆y = y2 − y1
On peut alors diviser cette variation ∆y par la variation ∆x = x2 − x1 de la
coordonnée x entre les deux points :
a=
∆y
∆x
Le quotient a nous indique alors dans quelle proportion varie la fonction f entre
les deux points, c’est donc la pente de la droite reliant P1 à P2 .
6
y
P2
y = f (x)
∆y
P1
∆x
x
Remarquez que jusqu’à présent, nous n’avons rien supposé à propos du choix
des points P1 et P2 , hormis le fait qu’ils doivent se trouver sur la courbe définie
par la fonction y = f (x), c’est à dire que y1 = f (x1 ) et y2 = f (x2 ). Tout en
restant sur cette courbe, supposons maintenant que l’on approche progressivement le point P1 du point P2 . Qu’advient-il alors de la droite reliant ces deux
points ?
6
y
P1
P2
y = f (x)
x
CHAPITRE 1. FONCTIONS
9
Pour P1 suffisamment proche de P2 , on ne distingue plus la différence entre
la courbe et la droite entre ces deux points. La droite en question se confond
avec la notion intuitive de tangente à la courbe au point P2 . La dérivée f 0 au
point x2 est alors le quotient a lorsque P1 tend vers P2 , autrement dit, c’est la
limite 1 :
f (x2 ) − f (x1 )
f 0 (x2 ) = lim a = lim
x1 →x2
P1 →P2
x2 − x1
ce qui s’utilise en pratique sous la forme
f (x + h) − f (x)
h→0
h
f (x) = lim
En conséquence, la dérivée f 0 d’une fonction f en un point x correspond à la
pente de la tangente à la courbe au point (x, f (x)). La dérivée indique donc
dans quelle proportion varie la fonction dans un petit voisinage. On parlera
parfois de déplacement infinitésimal.
1.7
Sens physique de la dérivée
Pour prendre un premier exemple, considérons le graphe de l’altitude h d’un
avion au cours d’un vol, par rapport au déplacement au sol y (On suppose dans
un premier temps qu’il se déplace en ligne droite.). La pente α de chacun de
ces segments de droite peut alors être reproduite sur un autre graphique. Cette
pente est donnée par le rapport de la variation de l’altitude ∆h entre deux
points du même segment sur la variation ∆y du déplacement au sol.
6
h
2
1
3
4
5
y
1. Une approche rigoureuse, normalement déjà introduite dans le secondaire, sera vue plus
tard et on réintroduira à cette occasion la notion précise de limite, qui traduit l’intuition qu’on
a d’un déplacement infinitésimal.
CHAPITRE 1. FONCTIONS
α
10
6
1
3
y
2
5
4
Comme on le voit sur ce dessin, cette pente, qui donne le rapport de proportionnalité entre h et y, évolue par sauts discrets, qui correspondent aux
brusques changement de direction de l’avion. Dans la région 1, l’avion monte,
la pente α est donc positive. Ensuite l’avion se stabilise à une certaine altitude,
en conséquence la pente est nulle dans la région 2. Dans la région 3, l’avion
monte quelque peu mais avec une pente moins importante que dans la région
3. Enfin dans la région 4 et 5, l’avion entame sa descente ; les pentes dans ces
régions sont donc négative. Le deuxième graphe représente la dérivée du profil
d’altitude de l’avion, présenté dans le premier graphe.
On peut aussi considérer un profil similaire de vol courbe, plus proche de
la réalité.
6
h(y)
y
Ce profil peut être vu comme le graphe de la fonction qui donne pour chaque
valeur y du déplacement au sol l’altitude h(y) de l’avion. La dérivée h0 (y)
représente alors la pente de l’ascension (ou de la descente) de l’avion près de y.
CHAPITRE 1. FONCTIONS
11
6
0
h (y)
y
On peut remarquer la similitude entre le graphe de la dérivée ci-dessus et le
graphe de la pente dans le premier exemple. La dérivée h0 donne en effet la
pente de la courbe d’équation z = h(y) pour un déplacement ∆y infinitésimal. Noter aussi que les maxima et minima de la fonction h correspondent
aux positions où la dérivée h0 s’annule. De même, les points d’inflexions de h
correspondent aux maxima et minima de h0 .
Autre exemple : la vitesse moyenne d’un objet est définie comme étant le
quotient de la distance ∆x parcourue par cet objet sur l’intervalle de temps
∆t mis par cet objet pour parcourir cette distance. Si l’on considère cette
vitesse moyenne sur un intervalle de temps infinitésimal, on obtient la vitesse
instantanée de l’objet
∆x
v = lim
.
∆t→0 ∆t
La position d’un objet pouvant être comprise comme une fonction du temps,
la vitesse instantanée, qui est la dérivée de cette fonction est elle-même une
fonction du temps et on écrit
v(t) =
1.8
dx(t)
.
dt
Dérivée partielle
Considérons la fonction S de deux variables qui associe à la longueur l et à
la largeur L d’un rectangle l’aire de celui-ci :
S(L, l) = L l
Supposons maintenant que nous faisons varier uniquement la longueur l de
notre rectangle en gardant sa largeur L fixée à une certaine valeur b. Dans ce
cas nous pouvons définir une nouvelle fonction donnant la surface du rectangle,
mais qui ne dépend plus que d’une seule variable (la longueur l). Appelons cette
fonction S ∗ :
S ∗ (l) = b l
CHAPITRE 1. FONCTIONS
12
Cette fonction est l’équation d’une droite de pente b. Si l’on dérive la fonction
S ∗ par rapport à l, on obtient donc :
dS ∗ (l)
=b
dl
Ce qui nous indique dans quelle proportion varie l’aire du rectangle lorsque l’on
augmente (ou diminue) la longueur l, alors que la largeur L est fixée.
Ce type de calcul peut être réalisé pour des fonctions de plusieurs (et pas
uniquement deux) variables plus compliquées pour déduire comment varient ces
fonctions lorsque toutes les variables sont fixées, sauf une que l’on fait varier.
On appelle ce genre de dérivée une dérivée partielle et on la note comme suit :
pour une fonction f de plusieurs variables x1 , x2 , . . . , xn , la dérivée partielle
par rapport à la j e variable s’écrit
∂f (x1 , x2 , . . . , xn )
∂xj
Dans la pratique, on ne dérive donc la fonction f que par rapport à la variable
xj en considérant les autres comme des constantes. Par exemple, la dérivée
partielle de la fonction S ci-dessus par rapport à l donne
∂S(L, l)
=L
∂l
et l’on peut faire le lien avec l’exemple ci-dessus :
dS ∗ (l)
∂S(L, l) =
=b
dl
∂l L=b
où la barre verticale avec l’égalité L = b signifie que l’on évalue la dérivée
partielle en donnant à la variables L à la valeur b.
1.9
Règle de dérivation en chaîne
Soit deux fonctions f : E2 → E3 et g : E1 → E2 et considérons la composée
f ◦ g : E1 → E3 de g et f . On peut exprimer la dérivée de cette composée en
terme de la dérivée de f et de g par la règle de la dérivation en chaîne :
(f ◦ g)0 (x) = [(f 0 ◦ g)(x)] g 0 (x)
ou encore
df (u) dg(x)
df (g(x))
=
dx
du u=g(x) dx
se qui peut se lire la dérivée d’une fonction composée est égale à la dérivée de
la fonction externe évaluée en la valeur de la fonction interne fois la dérivée
de la fonction interne évaluée en l’argument de la fonction composée.
CHAPITRE 1. FONCTIONS
13
Exemple La dérivée de la fonction h : x 7→ (x − x2 )2 peut se calculer
comme suit : on peut écrire h(x) comme la composée de la fonction f : x 7→ x2
et g : x 7→ x − x2 . La dérivée de h est donc :
h0 (x) = f 0 (g(x)) g 0 (x) = f 0 (x − x2 ) (1 − 2x) = 2(x − x2 ) (1 − 2x)
En développant le carré dans h(x) et en dérivant, on peut vérifier qu’on retrouve
bien le même résultat.
1.10
Exercices
1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
a) y = x6 − 3x4 + 19x3 − 8x + 4
b) y = (2 − x)(1 − 5x)
√
c) y = (2x + 1)(3x + 2) 3 3x + 2
d) y =
x8
8(1−x2 )4
2. Calculer les valeurs des dérivées première, deuxième et troisième des fonctions suivantes au point indiqué.
a) y = x3/2
b) y = x + 1/x
x=0
x = 1/2
3. Calculer la dérivée première par rapport à x de
√
a) y = t2 − 4t
si t = √2x2 + 1
b) y = t√− 3t2
si t = x2 − 6x + 3
2
c) y = 3t − 5t + 4 si t = x2
4. Former les équations des tangentes à la courbe y = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
aux points d’intersection avec l’axe des abscisses.
Rem. : l’équation de la droite tangente à une courbe y = f (x) en un point
a est y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
5. On considère un disque dont le rayon varie avec le temps. Sachant que le
rayon augmente à la vitesse constante de 0.1cm/sec, quelle est la vitesse
à laquelle augmente l’aire de la surface considérée, lorsque
a) le rayon a 10 cm
b) le rayon a 20 cm
6. Calculer la dérivée première des fonctions suivantes :
a) y = sin(x2 + 1)
b) y = cot(x)/ sin(x)
c) y = (sin(x) + cos(x))/(sin(x) − cos(x))
d) y = arcsin(5x)
CHAPITRE 1. FONCTIONS
14
7. Le rayon d’une sphère augmente de 0.25 m/sec. Lorsque le rayon vaut 3 m,
quelle est la vitesse de variation
a) de la surface de la sphère ?
b) du volume ?
8. Le volume d’un cône est donnée par la formule :
V (r, h) =
πr2 h
3
où r est le rayon du disque formant la base du cône, et h est la hauteur
du cône.
Calculer la dérivée partielle de cette fonction par rapport à r. Interpréter
le résultat : Que décrit cette dérivée partielle ?
9.Soit f une fonction dérivable.
a) Si f est paire, montrer que sa dérivée f 0 est impaire. La réciproque
est-elle vraie ?
b) Si f est impaire, montrer que sa dérivée f 0 est paire. La réciproque
est-elle vraie ?
Chapitre 2
Trigonométrie
Remarque préliminaire Connaître, c’est à la fois comprendre, retenir
et savoir expliquer. Quand une matière est ardue, cela correspond en effet à
trois "passages". Les cours et les exercices aident à comprendre. Il faut ensuite
étudier, manipuler et se poser des questions seul ET en groupe afin de s’approprier le savoir transmis. C’est à ce prix seul que l’on peut prétendre à la
réussite d’un examen d’université.
Lorsque vous vous exprimez dans la vie courante, vous ne vérifiez pas chaque
mot dans un dictionnaire. De même, il est exclu de se dire que l’on ira voir dans
le formulaire si l’on a besoin des formules (de trigonométrie par exemple).
Définition (cf. Wikipedia) 1
La trigonométrie (du grec ancien τ ριγωνoσ / trígonos, « triangulaire », et
µτ ρoν / métron, « mesure ») est une branche des mathématiques qui traite des
relations entre distances et angles dans les triangles et des fonctions trigonométriques
telles que sinus, cosinus et tangente.
Pour les besoins de la cause, nous suivrons cependant une approche différente. Vous observerez toutefois que les triangles semblables et le théorème
de Pythagore jouent un rôle crucial à tous les niveaux.
2.1
Systèmes de coordonnées du plan
Le premier système de coordonnées qui vient à l’esprit est sans doute le système de coordonnées cartésiennes où un point est représenté par deux nombres
réels : l’abscisse et l’ordonnée qui correspondent à la distance du point par
rapport à deux axes orthogonaux de référence.
Dans beaucoup de problèmes physiques, il n’est cependant pas pratique
d’utiliser les coordonnées cartésiennes. En effet, dans une multitude de cas,
le système étudié présente certaines symétries que l’on peut utiliser afin de
simplifier la description mathématique des phénomènes qui s’y produisent. Si
l’on veut par exemple étudier un problème à deux corps (ex : mouvement
1. Wikipedia a parfois tort mais Wikipedia a souvent raison. C’est un allié de choix.
Utilisez-le mais restez critiques.
15
CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE
16
abscisse
P
P
r
ordonnée
θ
O
Figure 2.1: Coordonnées cartésiennes (à gauche) et polaires (à droite) du
point P . Les lignes fines sont celles sur lesquelles une des deux coordonnées est
constante.
d’une planète autour d’une étoile, ou d’un électron autour d’un noyau atomique) isotrope (aucune direction privilégiée), il est clair que le seul paramètre
géométrique important est la distance entre les deux objets. Dans ces cas,
on utilisera systématiquement les coordonnées polaires (ou leur généralisation
tridimensionnelle : les coordonnées sphériques).
Il s’agit alors de fixer un point O -l’origine- ainsi qu’une demi droite issue
de ce point et de les utiliser comme système de référence. Les coordonnées
polaires d’un point P sont données par le couple (r, θ) où r est la distance à
l’origine et θ est l’angle polaire orienté (dans le sens anti horlogique, aussi dit
sens trigonométrique) entre la demi droite de référence et le segment joignant
le point P à l’origine (cf. Fig. 2.1).
La trigonométrie permet notamment de passer de l’un de ces systèmes de
coordonnées à l’autre.
2.2
Mesure d’un angle
L’amplitude d’un angle se calcule ici en radians. Soient deux demi droites
de même origine O ainsi qu’un cercle de centre O et de rayon r arbitraire,
soient aussi A et B les points d’intersection respectifs des demi droites et du
\ se calcule comme le rapport des
cercle, l’amplitude en radians de l’angle AOB
longueurs de l’arc de cercle AB et du rayon r. Elle est donc comprise entre 0
et 2π puisque le périmètre d’un cercle complet de rayon r vaut 2πr.
Remarque : un angle de 2π correspondant à un tour complet, il est d’usage
de considérer des angles α ∈ R, quelconques. Les valeurs négatives correspondent à des angles mesurés dans le sens horlogique, les valeurs positives à des
angles mesurés dans le sens anti-horlogique (convention des coordonnées polaires). On parle alors d’angle orienté. La détermination principale d’un angle
orienté α est le nombre β ∈ [0, 2π] tel que α − β est un multiple de 2π.
CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE
17
B
1 rad
O
A
Figure 2.2: Angle d’un radian. Les segments OA et OB sont de longueurs
égales entre elles et égales à la longueur de l’arc de cercle AB.
1
B
P (1, θ)
1
2
tan θ =
sin θ
sin θ
cos θ
θ
−1
− 12
O
cos θ
A 1
− 12
Figure 2.3: Définitions des fonctions
sinus, cosinus et tangente sur le cercle
trigonométrique de rayon 1 (illustrées ici pour l’angle θ = π/6 soit 30˚).
−1
2.3
Fonctions trigonométriques
Projections
Munissons un plan d’un système de coordonnées cartésiennes : deux axes
orthogonaux et une origine ainsi que d’un système de coordonnées polaires de
même origine et dont la demi droite de référence se confond avec la partie d’abscisse positive de l’axe horizontal des coordonnées cartésiennes (voir Fig. 2.1).
Les fonctions sinus et cosinus peuvent être définies comme les fonctions envoyant un nombre réel θ sur respectivement les ordonnée et abscisse du point
P de coordonnées polaires (1,θ) (voir Fig. 2.3). La tangente d’un angle θ est
l’ordonnée de l’intersection de la droite comprenant l’origine et le point (1, θ)
et de la droite d’abscisse 1. La cotangente d’un angle θ est l’abscisse de l’intersection de la droite comprenant l’origine et le point (1, θ) et de la droite
d’ordonnée 1.
Ainsi un point de coordonnées polaires (r, θ) a pour coordonnées cartési-
CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE
18
ennes (r cos θ, r sin θ).
Les fonctions sin et cos sont donc à valeurs dans [−1, 1]. Les fonctions tg et
cotg sont à valeurs dans ] − ∞, ∞[. Remarquez aussi que la fonction tangente
(resp. cotangente) n’est pas définie en π/2 + kπ, k ∈ Z (resp. kπ, k ∈ Z).
On a de plus que 2
o
nπ
sin θ
+ kπ, k ∈ Z : tan θ =
.
(2.1)
∀θ ∈ R
2
cos θ
Valeurs remarquables
La table suivante est à connaître :
angle
0
sin
0
π
6
π
4
π
3
π
2
1
√2
2
√2
3
2
cos
1
√
tg
0
√
0
1
√
3
@
3
√2
2
2
1
2
1
3
3
cotg
@
√
3
1
√
3
3
0
Exercice
Démontrer la véracité de ladite table à partir des définitions.
Parité
Soit f une fonction d’un sous-ensemble I de R dans l’ensemble R des nombres réels. On suppose aussi que I est tel que ∀x ∈ I : −x ∈ I. La fonction
f est paire si et seulement si ∀x ∈ I : f (x) = f (−x). Elle est impaire si et
seulement si ∀x ∈ I : f (−x) = −f (x).
Les fonctions sinus, tangente et cotangente sont impaires. La fonction cosinus est paire.
2.4
Formules de base
Formule fondamentale de la trigonométrie
Par application du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OAP
de la Fig. 2.3 :
∀θ ∈ R : sin2 θ + cos2 θ = 1.
(2.2)
Exercices
Démontrer :
tg2 θ + 1 =
1
cos2 θ
et
cotg2 θ + 1 =
1
.
sin2 θ
(2.3)
Démontrer le théorème de Pythagore.
2. Pourquoi ? indice : une histoire de triangles semblables. Quelle est la formule similaire
impliquant la cotangente ?
CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE
π
2
19
−θ
π−θ
θ
θ
Figure 2.4: Angle θ et son complémentaire (gauche) resp. supplémentaire
(droite).
Angle complémentaire et angle supplémentaire
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs amplitudes en
radian vaut π/2. Ils sont supplémentaires si cette somme fait π. On dit aussi
que le complémentaire de θ est π2 − θ et que son supplémentaire est π − θ. Voir
Fig. 2.4.
Exercice
Démontrer les formules suivantes ∀θ ∈ R :
π
π
sin( − θ) = cos θ;
tan( − θ) = cot θ
2
2
π
π
cot( − θ) = tan θ
cos( − θ) = sin θ;
2
2
sin(π − θ) = sin θ;
cot(π − θ) = − tan θ
cos(π − θ) = − cos θ;
cot(π − θ) = − cot θ
et pendant que nous y sommes... voyons aussi :
sin(π + θ) = − sin θ;
tan(π + θ) = tan θ
cos(π + θ) = − cos θ;
cot(π + θ) = cot θ
Formules d’addition
Exercice 3
Démontrer les formules suivantes ∀α, β ∈ R :
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
En déduire les formules d’addition pour les tangentes et cotangentes.
Formules de Simpson
Exercices
3. Il s’agit d’un exercice sensiblement plus compliqué et donc aussi plus intéressant que
les précédents
CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE
20
Démontrer ∀α, β ∈ R :
1
sin(α − β) + sin(α + β)
2
1
sin α sin β =
cos(α − β) − cos(α + β)
2
1
cos α cos β =
cos(α − β) + cos(α + β)
2
α ± β α ∓ β sin α ± sin β = 2 sin
cos
2
2
α − β α + β cos
cos α + cos β = 2 cos
2
2
α + β α − β cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
sin α cos β =
Duplication et cos (2x)
Exercice
Démontrer ∀x ∈ R :
sin(2x) = 2 sin x cos x;
1 + cos(2x)
cos2 x =
;
2
tan2 x
=
cos(2x) = cos2 x − sin2 x;
1 − cos(2x)
sin2 x =
2
1 − cos(2x)
1 + cos(2x)
Formules en tan θ/2
Exercice
Démontrer que toute fonction trigonométrique de θ ∈ R peut s’écrire comme
une fonction rationnelle de tg θ2 . En quoi ces formules peuvent-elles aider à
intégrer les fonctions trigonométriques ? 4
2.5
Dérivées
Exercices
Démontrer limh→0 sinh h = 1.
Démontrer que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus :
sin0 (x) = cos(x). Calculer de même les dérivées des fonctions cosinus, tangente
et cotangente.
2.6
Résolution de triangle
Exercice
4. Il s’agit d’une arme atomique. J’espère pour vous que vous ne devrez pas l’utiliser
souvent ! Il y a presque toujours des méthodes plus rapides et plus élégantes
CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE
21
Dans un triangle ABC rectangle en A, démontrer les relations suivantes :
\=
sin BCA
|AB|
\ = |AC| .
et cos BCA
|BC|
|BC|
(2.4)
A priori un triangle est complètement connu si l’on a les amplitudes de
chacun de ses angles et les longueurs de chacun de ses côtés. Toutefois, la connaissance de trois de ces quantités permet parfois de déterminer les trois autres
au moyen de la trigonométrie. C’est ce que l’on appelle résoudre un triangle.
Remarquez cependant que la connaissance des trois angles permet seulement de
déterminer les rapports des longueurs des côtés. Dans cette situation, il restera
toujours un facteur d’échelle.
Exercices
Démontrer que si a, b et c sont les longueurs respectives des côtés d’un
triangle quelconque et α est l’amplitude de l’angle opposé au côté de longueur
a, alors : a2 = b2 + c2 − 2bc cos α.
Assurez-vous que vous pouvez résoudre des triangles. Dans quels cas l’amplitude d’un angle et les longueurs de deux côtés ne déterminent-ils pas complètement le triangle ?
Soient a, b et c des réels. a) Quelles conditions y a-t-il pour que ces réels
soient les longueurs des côtés d’un triangle ? b) En supposant ces conditions
satisfaites, comment faire en pratique pour construire un tel triangle ?
Soient a, b et c les longueurs des côtés d’un triangle, et α, β et γ les amplitudes des angles respectivement opposés à ces côtés. Démontrer que
sin β
sin γ
Q
sin α
=
=
=
a
b
c
2abc
où Q =
2.7
√
2b2 c2 + 2c2 a2 + 2a2 b2 − a4 − b4 − c4 .
Applications
Manipulation de formules
Démontrer les égalités suivantes :
sin2 θ − cos2 φ
= 1 − cotg2 θcotg2 φ,
sin2 θ sin2 φ
π
π
2
tan
− θ + tan
+θ
=
,
4
4
2 cos2 θ − 1
cot a − tan a
cos 2a =
,
cot a + tan a
π
π
4 cos 2a
tan
− a + cot
+a
=
.
12
12
2 sin 2a + 1
(2.5)
CHAPITRE 2. TRIGONOMÉTRIE
22
Simplifier les expressions suivantes :
2π
4π
sin a + sin a +
+ sin a +
,
3
3
cos2 (a + b) + cos2 (a − b) − cos 2a cos 2b,
2(sin6 θ + cos6 θ) − 3(sin4 θ + cos4 θ),
cos a + cos 3a + cos 5a
.
sin a + sin 3a + sin 5a
Soient α, β et γ, les trois angles d’un triangle, démontrer qu’alors tan α +
tan β + tan γ = tan α tan β tan γ.
L’âge du capitaine
Sachant que si l’on pose un objet sur une surface, la force de frottement
exercée par l’un sur l’autre est proportionnelle à la force exercée perpendiculairement à la surface par l’objet (coefficient de proportionnalité appelé en fait
coefficient de frottement κ), résolvez le problème suivant.
Un tonneau rempli de 12 litres de vinasse se trouve posé sur une table à
bord du Hollandais volant. Les pieds de la table font 90 cm de haut. Le pont
du navire se trouve à 10 m au-dessus de la surface de l’eau. La dite table
est exactement située à ln (π tan(π/2−0.02) )/3 m à bâbord du mât principal qui
culmine 80 m au-dessus du pont et qui, ne soyons pas tordus, se trouve très
exactement au milieu de notre fameux trois mâts fin comme un oiseau. En ce 21
décembre, le capitaine qui vient de fêter ses 112 ans vénusiens a mené son navire
très exactement sur le tropique du capricorne et il est précisément midi solaire.
Dans un élan de sadisme caractéristique du pirate qu’il est, il a déposé la cage
de son perroquet juste à la gauche du mât principal avant de se rendre à la cale
où il retient prisonnier l’arrière arrière arrière... arrière petit-fils d’Archimède.
Le roulis du bateau s’intensifie dangereusement depuis quelques minutes faisant
osciller le bateau à la fréquence de 0.0625 Hz. Notre perroquet dont le nom de
baptême est Pythagore se demande quelle est la longueur critique de l’ombre
du mât à partir de laquelle le tonneau commencera à glisser. A cet instant
dramatique, vous êtes priés de répondre à sa question existentielle.
Chapitre 3
Les nombres complexes
3.1
Définitions
Un nombre complexe s’écrit sous la forme z = a + bi, où a et b sont des
nombres réels appelés (et notés) respectivement partie réelle (a = Re(z)) et
partie imaginaire (b = Im(z)) de z. L’ensemble des nombres de cette forme
s’appelle l’ensemble des nombres complexes ; cet ensemble porte une structure
de corps et est noté C. Le nombre complexe i = 0+1i est un nombre imaginaire
qui a la particularité que i2 = −1.
Quand un complexe est noté a + bi (avec a et b réels) on dit qu’il est sous
forme cartésienne, par opposition à la forme polaire que nous verrons plus tard.
Deux nombres complexes a + bi et c + di sous forme cartésienne sont égaux si
et seulement si a = c et b = d, c’est-à-dire leurs parties réelles sont égales et
leurs parties imaginaires sont égales.
3.2
Plan de Gauss
Un nombre complexe étant représenté par deux nombres, on peut le représenter dans un plan appelé « plan de Gauss ». La plupart des opérations sur les
nombres complexes ont leur interprétation géométrique dans ce plan.
Pour z = a+bi un nombre complexe, on note z̄ = a−bi le complexe conjugué
de z. Dans le plan de Gauss, il s’agit du symétrique de z par rapport à la droite
réelle (généralement dessinée horizontalement). √
√
On définit le module du complexe z par |z| = z z̄ = a2 + b2 . Dans le plan
de Gauss, il s’agit de la distance entre 0 et z. En particulier, si z est réel (c-à-d.
sa partie imaginaire est nulle), ce module est simplement la valeur absolue.
Ceci explique pourquoi la notation |·| est la même pour la valeur absolue et le
module.
Propriété. Pour tout z = a + bi et z 0 = a0 + b0 i nombres complexes, on a
1. z z̄ = a2 + b2 ;
2. z̄¯ = z ;
23
CHAPITRE 3. LES NOMBRES COMPLEXES
24
Figure 3.1: Illustration de nombres complexes dans le plan de Gauss
3. |z| = |z̄| ;
4. |zz 0 | = |z| |z 0 | ;
5. |z + z 0 | ≤ |z| + |z 0 |.
3.3
Forme polaire ou trigonométrique
Dans le plan de Gauss, le module d’un complexe z représente la distance
entre 0 et z. On appelle argument de z (noté arg z) l’angle (déterminé à 2π
près) entre le demi-axe des réels positifs et la demi-droite qui part de 0 et passe
par z. Le module, généralement noté ρ, et l’argument, souvent noté θ, d’un
complexe permettent de déterminer univoquement ce complexe puisqu’on a la
formule
z = a + bi = ρ (cos(θ) + i sin(θ))
où ρ = |z| et θ = arg z. Une notation courante et très commode est d’écrire z
sous la forme d’une exponentielle complexe, z = ρeiθ , où par définition
eiθ = cos(θ) + i sin(θ)
Remarque. Avec cette définition, la notation z = ρeiθ garde un sens si ρ est
négatif, mais alors |z| = |ρ| (lire : « le module de z est la valeur absolue de ρ »).
L’argument de z se détermine via les formules
a
= cos(arg(z))
|z|
b
= sin(arg(z))
|z|
ou encore par la formule
b
= tan(arg(z)) en vérifiant le quadrant.
a
La vérification du quadrant vient de ce que la tangente ne détermine l’angle qu’à
π près, mais que le signe de a et b permettent de lever cette indétermination.
La forme polaire d’un complexe est pratique pour calculer des produits et
des puissances de nombres complexes :
CHAPITRE 3. LES NOMBRES COMPLEXES
25
0
Propriété. Si z = ρeiθ et z 0 = ρ0 eiθ sont deux nombres complexes, et n un
entier, on a :
1. z̄ = ρe−iθ ;
2.
1
ρeiθ
= ρ1 e−iθ ;
0
0
3. (ρeiθ )(ρ0 eiθ ) = ρρ0 ei(θ+θ ) ;
n
4. ρeiθ = ρn einθ .
(Cette dernière formule prend parfois le nom de « De Moivre ».) On comprend l’intérêt de la notation exponentielle, puisque les opérations décrites deviennent de simples applications des règles sur les exposants. Il sera vu au cours
que, mieux qu’une simple notation, l’exponentielle complexe est une généralisation de l’exponentielle « usuelle » en base e = 2, 718 . . ..
3.4
Racine ne d’un complexe
√
Rappelons que lorsque r est un nombre √
réel, on note r l’unique nombre
positif dont le carré vaut r. Évidemment, − r est également un nombre dont
√
le carré est r, mais la définition du symbole est sans ambigüité.
Dans le cadre des nombres complexes, par contre, il n’existe pas de notion
« agréable » de positivité. Dès lors, on ne parlera jamais de la racine d’un
nombre complexe, mais des racines.
Soit un entier n ≥ 1 et z un complexe. On appelle racine ne de z tout nombre
complexe w tel que wn = z. Pour les déterminer, nous avons la propriété
suivante :
Propriété. Si z est donné sous forme polaire ρeiθ (ρ ≥ 0), alors les racines
ne de z sont les nombres w0 , . . . , wn−1 définis par
wk =
3.5
√
n
ρ ei
θ+2kπ
n
où k = 0, . . . , n − 1
Exercices
Ex. 1. Donner une interprétation géométrique, dans le plan de Gauss,
1. de l’addition d’un complexe avec le complexe a + bi [utiliser la forme
cartésienne],
2. de la multiplication d’un complexe par le complexe eiθ [utiliser la forme
polaire]
Correction.
1. C’est une translation, représentée par le vecteur (a, b).
2. C’est une rotation d’angle θ.
Ex. 2. Mettre sous la forme cartésienne les nombres suivants
CHAPITRE 3. LES NOMBRES COMPLEXES
1. 1 + i + 3 + 4i
7.
2. 3 + 7i + (−3 + 4i)
3.
4
3
2i
5
+
−
− 17
+
3i
4
8.
9.
4. (1 + i)(3 + 4i)
10.
5. (3 + 7i)(3 − 7i)
6. 16 + 3i 53 − 2i
11.
26
3−2i
2−3i
1
5+7i
√ 1
( 7−i)2
√
√
√3+i + √3−i
3−i
3+i
(2+i)(5−2i)
i
Correction.
1. 1 + i + 3 + 4i = 4 + 5i
7.
2. 3 + 7i + (−3 + 4i) = 0 + 11i = 11i
31
1
3i
7i
3. 34 + 2i
5 − − 7 + 4 = 21 − 20
8.
9.
4. (1 + i)(3 + 4i) = −1 + 7i
5. (3 + 7i)(3 − 7i) = 58
6. 61 + 3i 53 − 2i = 23
30 −
10.
2i
15
11.
3−2i
2−3i
1
5+7i
=
=
12
13
5
74
5i
13
7i
− 74
√
6+2 7i
64
+
√ 1
=
( 7−i)2
√
√
√3+i + √3−i
3−i
3+i
(2+i)(5−2i)
i
=1
= 1 − 12i
Ex. 3. Effectuer les opérations suivantes après avoir mis tous les facteurs sous
forme polaire
√ √
5πi
1. (−1 + i 3)( 3 + i) = 4e 6
√
3
2
2. (
+ 12 i) 12 i = 12 e
iπ
3.
−2
√
− 3+i
4.
6i
−3−3i
√
4+4
√ 3i
3+i
5.
2πi
3
=e6
√ −3iπ
= 2e 4
iπ
= 4e 6
6. (1 + i)8 = 16
7. (1 − i)6 = 8i
√ 20
2iπ
8. 12 − i 23
=e 3
9.
10.
√
(1−i 3)3
1
(−2+2i)4 = 8
√
(1+i)( 3+i)3
√
=
(1−i 3)3
√
2e
Ex. 4. Calculer
1. les racines carrées de i,
2. les racines cubiques de 27i,
3. les racines sixièmes de −1,
√
4. les racines 4e de −8 − 8i 3,
5. les racines cubiques de 1.
Représenter les racines cubiques de 1 dans le plan de Gauss.
Correction.
√
1. ±
2. 3e
3. e
2
2
(1 + i)
π
2π
6 +k 3
π
π
6 +k 3
π
avec k = 0, 1, 2
avec k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
π
4. 2e 3 +k 2 avec k = 0, 1, 2, 3
−iπ
4
CHAPITRE 3. LES NOMBRES COMPLEXES
27
5.
Ex. 5.
1. Montrer que si (x+iy) est une racine carrée de (a+ib) où x, y, a, b
sont des réels, alors x et y sont solutions du système

2
2

x − y = a,
2xy = b,
√

 2
x + y 2 = a2 + b2
2. S’inspirer du point précédent pour déterminer les racines carrées de 4+3i.
Ex. 6. Dans C, résoudre les équations suivantes :
1. 2x2 − 2x + 1 = 0
5. z 4 − 2iz 2 + 1 = 0
2. 2x2 − 3ix − 4 = 0
6. ix2 − (2i + 2)x + 6 − 3i = 0
3. (1 − i)x2 + 2x + 4 = 0
7. x4 + x2 (1 − 2i) − 2i = 0
√
P4
8. x5 + 32 + k=1 k5 xk 25−k = 1 + 3i
4. x2 − (3 + 2i)x + 5 + i = 0
Ex. 7. Par application de la formule de De Moivre, exprimer cos(2x) et cos(3x)
en fonction des puissances de cos(x) et sin(x).
Ex. 8. Déterminer les réels a et b pour que (i − 1) soit solution de l’équation
1
5
3
z − az̄ + b |z| = Re
z
Ex. 9. Déterminer l’équation du cercle de centre c et de rayon r > 0 dans le
plan de Gauss [utiliser les interprétations du module comme une distance et de
la somme comme d’une translation]
Ex. 10. Représenter, dans le plan de Gauss, les ensembles suivants
1. U = {z ∈ C t.q. Re(z) ≤ Im(z)}
2. A = {z ∈ C t.q. |2 + 3i − z| < 2}
3. B = z ∈ C t.q. 1 ≤ |z| ≤ 4 et π2 ≤ arg z ≤ π
4. C = z ∈ C t.q. z 2 ∈ B
5. D = z ∈ C t.q. z1 ∈ B
Chapitre 4
Analyse vectorielle
4.1
Introduction : scalaires et vecteurs
Beaucoup de quantité peuvent être univoquement déterminées par leur
grandeur. Ces quantités sont appelées scalaires et sont représentées par un
seul nombre réel. Il s’agit par exemple des longueurs, des températures, des
masses,. . .
Par contre, lorsque l’on souhaite définir, par exemple, un déplacement, nous avons besoin de préciser la distance parcourue lors de ce déplacement
mais aussi la direction suivant laquelle il s’opère. On
dit qu’un déplacement est une grandeur vectorielle.
Les vitesses et les forces sont d’autres exemples de
grandeurs vectorielles. Un vecteur est donc déterminé
à l’aide de sa longueur (ou norme ou encore module),
et de l’angle qu’il forme avec l’horizontale : sa direction.
Pour différencier les quantités vectorielles des
autres dans le présent document, le symbole les représentant sera écrit en
gras : on pourrait par exemple désigner par v un vecteur vitesse. Pour désigner
le module d’un vecteur donné, on l’écrira entre barres verticales : |v| est le
module du vecteur v.
Remarque. En écrivant à la main, on différencie parfois les vecteurs des scalaires
−
en surmontant le symbole représentant le vecteur d’une flèche : →
x.
4.2
Addition de vecteurs
Afin d’illustrer l’addition de vecteurs, considérons deux déplacements a et
b, les règles du triangle (à gauche) et du parallélogramme (à droite) nous
permettent de trouver le déplacement résultant a + b.
28
CHAPITRE 4. ANALYSE VECTORIELLE
4.3
29
Composantes d’un vecteur et vecteurs de base
Soit un vecteur a dans le plan de coordonnées xy. La projection orthogonale
de ce vecteur sur l’axe des x (axe des abcisses) donne la composante ax du
vecteur a. De même, la composante ay est obtenue en projetant le vecteur
a sur l’axe des y (axe des ordonnées). Au lieu de définir un vecteur a par
son module |a| et sa direction θ, on peut donc le définir par ses composantes
cartésiennes (ax , ay ).
Le lien entre les composantes cartésiennes d’un vecteur, son module et sa
direction est donné par
(
ax = |a| cos θ
ay = |a| sin θ
q
En particulier, on trouve |a| = a2x + a2y (c’est une illustration du théorème
de Pythagore).
y
vy
v
3
6
j
i
6
vx
x
Figure 4.1: Composantes d’un vecteur dans le plan
On peut également exprimer un vecteur en terme des vecteurs de base i,
horizontal, et j, vertical, tous deux de longueur 1. Ils ont donc pour composantes
cartésiennes i = (1, 0) et j = (0, 1). Avec ces vecteurs de base, on peut alors
écrire
a = ax i + ay j
où ax et ay sont les composantes cartésiennes du vecteur a.
Pour un vecteur a dans l’espace de dimension 3, on peut l’écrire
a = ax i + ay j + az k
CHAPITRE 4. ANALYSE VECTORIELLE
30
où ax , ay , az sont les composantes (cartésiennes) et i, j, k sont les vecteurs de
base.
4.4
Produit scalaire
Le produit scalaire est une opération qui, avec deux vecteurs a et b, fabrique
un scalaire donné par :
a · b = |a| |b| cos(ϕ)
où ϕ est l’angle formé entre les vecteurs a et b. En particulier, le produit
scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul car cos(90˚) = 0.
Propriété. Le produit scalaire se distribue sur l’addition et est commutatif,
c’est-à-dire que pour tous vecteurs a, b, c nous avons
(a + b) · c = a · c + b · c
et
a·b=b·a
CHAPITRE 4. ANALYSE VECTORIELLE
Il est donc utile de connaître le
eux :
·
i
j
k
31
produit scalaire des éléments de base entre
i
1
0
0
j
0
1
0
k
0
0
1
On en déduit (le faire !) que le produit scalaire peut également s’exprimer
en terme des composantes des vecteurs :
a · b = ax bx + ay by + az bz
4.5
Produit vectoriel
Le produit vectoriel est une opération qui, avec deux vecteurs (dans l’espace,
c-à-d. de dimension 3) donnés, fabrique un troisième vecteur. Par définition, le
produit vectoriel de deux vecteurs a et b est
a ∧ b = |a| |b| sin(ϕ)1n
où 1n est un vecteur unitaire (c-à-d. de module 1), perpendiculaire à a et b,
et déterminé par la règle de la main droite. Ici, ϕ représente l’angle de a à b,
compté positivement !
La règle de la main droite permet de déterminer le sens du vecteur unitaire
comme illustré ci-dessous. Attention, l’illustration suppose que l’angle choisi
de a à b est entre 0˚ et 180˚ (ce qui, en pratique, est le meilleur choix pour
éviter de se tromper : choisir l’angle plus grand que 180˚ revient à renverser le
vecteur 1n et à changer le signe du sinus, ce qui ne modifie donc pas le produit
vectoriel).
Remarquons que la norme du produit vectoriel entre deux vecteurs est égale
à l’aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.
Comme pour le produit scalaire, le produit vectoriel se distribue sur l’addition, mais par contre il n’est pas commutatif : il est anti-commutatif. C’est-àdire que pour tous vecteurs a, b, c nous avons
(a + b) ∧ c = a ∧ c + b ∧ c
CHAPITRE 4. ANALYSE VECTORIELLE
32
et
a ∧ b = −b ∧ a
Écrivons la table de multiplication du produit vectoriel sur les vecteurs de
base :
∧
i
j
k
i
0
k −j
j −k 0
i
j
−i 0
k
Remarque 1. Cette table suppose que les coordonnées x, y, z de l’espace sont
orientées en suivant la même règle de la main droite. Il faut donc veiller à
orienter ses axes de coordonnées correctement (c-à-d. de sorte que i ∧ j = k).
Il est donc possible de calculer tout produit vectoriel de vecteurs donnés en
composantes. À titre mnémotechnique, la formule résultant de ce calcul peut
s’exprimer en terme d’un déterminant, comme suit :
i
j
k (ax i + ay j + az k) ∧ (bx i + by j + bz k) = ax ay az bx by bz = (ay bz − az by )i − (ax bz − bx az )j + (ax by − bx ay )k
4.6
Exercices
Somme et différence de vecteurs
Ex. 11. Soient deux vecteurs : a a six unités de long et fait un angle de +36˚
avec l’axe abcisses positifs ; b a 7 unités de long et est dans la direction de l’axe
des x négatifs. Trouver :
1. la somme de ces deux vecteurs (solution graphique et en composantes)
2. la différence entre ces deux vecteurs (solution graphique et en composantes)
Ex. 12. On considère les forces et les objets suivants :
1. Dessiner la résultante des forces qui s’applique sur chacun des objets,
2. Que vaut l’intensité et la direction de la force résultante dans chacun des
cas ?
Ex. 13. Quelle relation doit-il exister entre a et b pour que le module de leur
somme, soit égal à
CHAPITRE 4. ANALYSE VECTORIELLE
33
1. |a| + |b| ;
2. |a| − |b| ;
3. |b| − |a| ;
q
2
2
|a| + |b| ?
4.
Ex. 14. Un homme parcourt à pied 10m à 37˚vers le Nord par rapport à l’Est,
puis 20m à 60˚ vers l’Ouest par rapport au Nord. Quel est son déplacement
résultant ?
Ex. 15. Un canot automobile fait route plein Nord à 20km/h dans une région
où il existe un courant de 5km/h dans la direction 70˚Sud par rapport à l’Est.
Trouver la vitesse résultante (grandeur et direction) du bateau.
Ex. 16. Étant donné les vecteurs déplacements a = (2i − 3j + 6k)m et b =
(3i + 2j − 3k)m, déterminer :
1. la longueur de la somme de ces deux déplacements ;
2. la longueur de la différence de ces deux déplacements ;
3. le vecteur déplacement 2a − 3b
Ex. 17. On tire sur un objet avec deux forces F1 = (3i − 5j)N et F2 =
(2i − 3j)N . Que vaut la résultante des forces (intensité et direction) ?
Composantes
Ex. 18. Trouver les composantes d’un vecteur qui a r unités de long, fait un
angle θ avec l’axe des z (axe des cotes), et dont la projection sur le plan oxy
fait un angle ϕ (angle orienté !) avec l’axe des x positifs.
Ex. 19. Trouver la distance entre les points (6, 8, 10) et (−4, 4, 10)
Produit scalaire
Ex. 20. Calculer le produit scalaire de 8i + 2j − 3k avec 3i − 6j + 4k. Que
pouvez-vous en déduire concernant l’angle entre ces deux vecteurs ?
Ex. 21. Trouver l’angle entre les vecteurs (2, 1, 2) et (4, 0, −3).
Ex. 22. Démontrer à l’aide du produit scalaire que pour tout triangle de
sommets A, B et C,
−−→2 −→2 −−→2
−→2 −−→2
AB = AC + BC − 2 AC BC cos θ
\
où θ est l’angle BCA.
Ex. 23. On considère trois points P = (−1, 3, −5), Q = (2, k, −1) et R =
(m, 0, −8). Déterminez les valeurs des paramètres réels k et m telles que le
triangle de sommets P , Q et R soit rectangle en P , et les côtés P Q et P R
soient de même longueur.
CHAPITRE 4. ANALYSE VECTORIELLE
34
Produit vectoriel
Ex. 24. Déterminer le produit vectoriel de 6i − 4j + 2k et i + 4j − 2k
Ex. 25. Déterminer le produit vectoriel de (2, 1, 2) et (4, 0, −3).
Ex. 26. Soit a et b deux vecteurs.
1. Montrer que a · (a ∧ b) = 0
2. Comment arriver à ce résultat sans faire de calculs ?
Ex. 27. Trouver un vecteur de module 5 qui soit perpendiculaire à la fois aux
vecteurs (6, −2, 4) et (4, −3, −1).
Ex. 28. Trouver l’aire du parallélogramme déterminé par les vecteurs 2i+3j−k
et −i + j + 2k.
Ex. 29. Un parallélépipède a comme arêtes concourantes les vecteurs a =
(1, 3, 1), b = (2, 0, −1) et c = (−2, 2, −1). Déterminez son volume, l’aire de la
base déterminée par b et c, ainsi que sa hauteur par rapport à cette base.
Ex. 30. Déterminez α, β et γ pour que les vecteurs a = (1, 2, 3) et b = (α, β, γ)
vérifient les relations a ∧ b = (1, 1, −1) et a · b = 9. Le problème est-il possible
si on impose plutôt a ∧ b = (1, 2, −2) par exemple ?
Géométrie
Ex. 31. Déterminer l’équation de la droite du plan passant par les points
A = (1, 3) et B = (5, −2)
Ex. 32. Déterminer l’équation de la droite du plan passant par les points
A = (1, 3) et parallèle à la droite d’équation y = 2x + 1.
Ex. 33. Trouver :
1. l’équation d’une droite qui passe par (7, 2).
2. l’équation d’une droite perpendiculaire à la droite d’équation y + 2x = 3.
3. l’équation de la droite passant par (2, 3) et parallèle à la droite passant
par les points (7, 9) et (3, −2). Déterminez-en la pente ainsi que les intersections avec les axes.
Ex. 34. Trouvez l’équation de la droite perpendiculaire à la droite y = 3x − 1
au point d’abscisse 5.
Ex. 35. Déterminer l’intersection des droites d ≡ y = 2x + 3 et d0 ≡ y =
−3x + 3.
Ex. 36. Déterminer l’intersection des d’équation y = 2x + 3 et y = 2x + 8
Ex. 37. Déterminer m en sachant que le point P = (2, 1, 5) est à une distance
7 du milieu du segment joignant A = (1, 2, 3) à B = (−1, 6, m).
Ex. 38. Déterminer la distance entre les points A = (3, −1, 5) et B = (−1, 0, 6),
ainsi que les coordonnées du milieu du segment les joignant.
CHAPITRE 4. ANALYSE VECTORIELLE
Exercice récapitulatif
Ex. 39. Soit P1 = (−1, 2, 3) et P2 = (2, −2, 8).
−−−→
1. Donnez les composantes du vecteur P1 P2 , et sa longueur.
2. Donnez les coordonnées du point M , milieu du segment P1 P2 .
−−−→ −−−−→
3. Donnez les coordonnées du point P3 défini par P1 P3 = 3P1 P2
35
Chapitre 5
Intégrales, aire sous la courbe et
primitives
5.1
Introduction
Étant donnée une fonction f : [a, b] → R, définie sur un intervalle [a, b] et à
valeurs dans R, on peut se demander comment calculer (et donc en particulier
définir avec rigueur) l’aire qui se trouve entre le graphe de cette courbe et l’axe
des abcisses.
Une approche, qui sera détaillée et rendue rigoureuse au cours théorique
le moment venu, est de subdiviser l’intervalle [a, b] en de petites zones qu’on
imagine infiniment petites. Sur chacune de ces zones, on construit alors un
rectangle (dont l’aire est facile à calculer) et on fait la somme des aires de
ces rectangles pour obtenir une approximation de l’aire recherchée. L’aire sous
la courbe s’obtient alors comme un processus limite, où l’épaisseur des zones
est de plus en plus petite. Cette méthode s’appelle la méthode des sommes
de Darboux ou des sommes de Riemann, et conduit à définir ce qui s’appelle
l’intégrale de Riemann.
36
CHAPITRE 5. INTÉGRATION
37
Étant donné qu’on s’intéresse à des rectangles de plus en plus fins, on peut
interpréter l’intégrale comme une somme infinie : en chaque point x de [a, b],
on place un rectangle de largeur dx (qu’on imagine infiniment petit) et de
hauteur f (x). L’aire du rectangle vaut alors f (x) dx, et il ne reste qu’à faire la
somme sur tous les x de l’intervalle [a, b]. Cette façon d’imaginer les choses a
l’avantage de donner une interprétation intuitive à la notion d’intégrale, mais
comme toute interprétation il faut la manier avec prudence.
Définissons donc l’intégrale de la fonction f entre a et b comme « l’aire
algébrique » comprise entre l’axe des abcisses et le graphe de f , entre x = a et
x = b. Le mot « algébrique » veut dire que si la courbe est dessus de l’axe, l’aire
se rajoute à l’intégrale, mais que si la courbe est en dessous de l’axe, l’aire se
soustrait à l’intégrale. L’aire possède donc un signe (positif ou négatif), ce qui
est naturel si on considère que f (x) dx
L’intégrale ainsi « définie » (l’absence totale de rigueur n’aura pas échappée
R
Rb
Rb
au lecteur) se note [a,b] f ou encore a f et même très souvent a f (x) dx. À
toute fin pratique, le « Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral »
permet de calculer effectivement cette intégrale dans de nombreux cas.
CHAPITRE 5. INTÉGRATION
38
Théorème 1 (Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral). Soit
f une fonction dont on recherche l’intégrale sur un intervalle [a, b]. Si F est
une fonction définie et dérivable sur [a, b] telle que F 0 = f , alors
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
Ce théorème, fondamental comme son nom l’indique, lie donc la notion
« d’aire sous la courbe » avec la notion de dérivée.
Au vu de ce théorème, il est naturel de donner un nom aux fonctions F
dont Rla dérivée est une fonction
f fixée : F est une primitive de f et on note
R
F = f ou encore F (x) = f (x) dx.
Dans les pages à venir sont développées des méthodes pour déterminer les
primitives d’une fonction donnée.
5.2
Rappels et exercices