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Universit´e Blaise Pascal
U.F.R. Sciences et Technologies
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Exercices de R´evision en Alg`ebre et en G´eom´etrie
Master Enseignement des Math´ematiques, Deuxi`eme ann´ee
S´erie 1 - Arithm´etique dans Z
S´erie 2 - Polynˆomes
S´erie 3 - R´eduction des endomorphismes
S´erie 4 - Espaces vectoriels euclidiens,
endomorphismes sym´etriques, isom´etries vectorielles
S´erie 5 - Nombres complexes et g´eom´etrie
S´erie 6 - Angles
S´erie 7 - Espaces affines, barycentres
S´erie 8 - Applications affines
S´erie 9 - Isom´etries affines
S´erie 10 - Courbes param´etr´ees du plan
S´erie 11 - Coniques
2011-2012
Franc¸ois Dumas

Universit´e Blaise Pascal, ann´ee 2011-2012
M2, Master Enseignement des Math´ematiques, Alg`ebre et G´eom´etrie II
s´erie d’exercices n◦1 : arithm´etique dans Z
Exercice 1. (Principes de codage bas´es sur des propri´et´es arithm´etiques ´el´ementaires).
On note: A={A,B,C,...,Y,Z}l’alphabet, E={0,1,2,...,24,25}l’ensemble des 26 premiers
entiers naturels, et gla bijection naturelle de Asur Econsistant `a num´eroter les lettres:
g(A)=0, g(B)=1, g(C)=2, . . . , g(Z) = 25.
1) Pour tout entier xde E, on note f(x) le reste de la division euclidienne de 35xpar 26.
a. Montrer que l’on d´efinit ainsi une bijection fde Esur E.
b. On convient de coder un mot quelconque de la fa¸con suivante: on remplace chaque lettre αdu
mot par la lettre βdont le num´ero g(β) est y=f(x), o`u x=g(α) est le num´ero de α. Comment se
code le mot oui ? Montrer que ce principe de codage est sans ambigu¨ıt´e (deux mots sont distincts
si et seulement leurs codages respectifs sont distincts). Quel est le mot dont le codage est nwn ?
c. On veut g´en´eraliser en rempla¸cant 35xpar ax +bavec a, b entiers naturels avec a6= 0. Quelles
hypoth`eses est-il n´ecessaire et suffisant de faire sur aet bpour que la mˆeme m´ethode s’applique ?
2) Pour tout couple d’entiers (x, y) de E ×E, on note f(x, y) l’unique entier de Eet h(x, y) l’unique
entier de Etels que:
f(x, y)≡5x+ 17ymod 26 et h(x, y)≡4x+ 15ymod 26
a. Justifier avec soin l’existence et l’unicit´e de f(x, y) et h(x, y), puis montrer que l’application
f×hest une bijection de E × E sur E × E.
b. On convient de coder tout mot d’un nombre pair de lettres de la fa¸con suivante: en partant de
la gauche vers la droite, on remplace chaque couple de lettres successives (α, β) par le couple de
lettres (γ, δ) dont les num´eros s=g(γ) et t=g(δ) sont donn´es par:
s=f(x, y) et t=h(x, y), o`u x=g(α) et y=g(β) sont les num´eros de αet β
Comment se code le mot enfant ? Le codage d’une lettre d´epend-il de la place de cette lettre
dans le mot ? D´emontrer que ce principe de codage est sans ambigu¨ıt´e (deux mots sont distincts
si et seulement leurs codages respectifs sont distincts). Quel est le mot dont le codage est umsb ?
Montrer que tout mot d’un nombre pair de lettres est le codage d’un et d’un seul mot.
c. On veut g´en´eraliser `a un syst`eme de congruences quelconque:
ax +by ≡smod met cx +dy ≡tmod m,
avec a, b, c, d, s, t entiers quelconques et mentier naturel non-nul. Donner une hypoth`ese portant
sur le pgcd de ad −bc et mqui suffit `a assurer l’existence, quels que soient set t, d’une solution
(x, y) `a ce syst`eme ? Cette solution est-elle unique ?
Exercice 2. (Ecriture d´ecimale et congruences).
1) (Th´eor`eme de Pascal). Soit mun entier naturel non-nul. Soit (ri) la suite d’entiers d´efinie par:
r0= 1 et ri+1 = le reste de la division euclidienne de 10ripar m; (avec donc 0 ≤ri≤m−1).
Montrer que, pour tout entier naturel a=an. . . a0en num´eration d´ecimale, on a: a≡n
P
i=0
airi[m].
En d´eduire des crit`eres simples permettant de reconnaˆıtre sur les chiffres de l’´ecriture d´ecimale d’un
entier s’il est ou non divisible par 3, par 9, par 10, par 11.
2) (Preuve par neuf). Montrer que tout entier naturel est congru modulo 9 `a la somme des chiffres
de son ´ecriture d´ecimale. En d´eduire que, quels que soient x=an. . . a0,y=bm. . . b0,z=cp. . . c0
trois entiers naturels, si xy =z, alors (
n
P
i=0
ai)(
m
P
i=0
bi)≡(
p
P
i=0
ci) [9].
1

Exercice 3. (Autour de l’irrationalit´e de √2)
1) Donner une preuve du fait que le r´eel √2 n’est pas rationnel (en pr´ecisant avec soin les r´esultats
arithm´etiques utilis´ees).
2) Une preuve de l’irrationali´e de √2bas´ee sur l’algorithme d’Euclide. On suppose qu’il existe
deux entiers strictement positifs aet btels que √2 = a
b.
a. Montrer que a=b+b
c, o`u l’on a pos´e c=√2 + 1. V´erifier que c= 2 + 1 cet 2 <c<3.
b. Montrer que b
cest un entier, et qu’il est ´egal au reste r1de la division euclidienne de apar b.
Quel est le quotient q1dans cette division ?
c. Montrer que, dans la division euclidienne de bpar r1, le quotient est q2= 2 et le reste r2=r1
c.
d. Soit nun entier au moins ´egal `a 2. Montrer que l’algorithme d’Euclide appliqu´e `a (a, b) comporte
au moins n´etapes, que le n-i`eme quotient est qn= 2, et que le n-i`eme reste rn=rn−1
c.
e. Aboutir `a une contradiction.
3) Une suite de rationnels approchant √2.
a. Montrer que la suite d’entiers naturels (un) d´efinie par u0= 0, u1= 1 et un+1 = 2un+un−1
pour tout n≥1 est strictement croissante. Pour tout n≥1: calculer un+1un−1−u2
n, en d´eduire
que un+1 et unsont premiers entre eux, et v´erifier que la fraction un
un+1−unest irr´eductible.
b. On consid`ere la suite de nombres rationnels (xn) d´efinie par xn=un+1−un
unpour tout n≥1.
Calculer xnpour tout 1 ≤n≤9. Montrer que la suite (xn) converge vers √2.
3) Un d´eveloppement de √2en fractions continues.
a. Appliquer l’algorithme d’Euclide au couple (577,408).
En d´eduire: x8= 1 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2
b. D´eterminer, pour tout n≥1, le quotient
et le reste dans la division euclidienne de un+1
par un. En d´eduire, une ´ecriture de xncom-
parable `a l’´ecriture ci-contre de x8.
Conclure que √2 = 1 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + 1
2 + ···
Exercice 4. (Propri´et´e de B´ezout et ´equations diophantiennes).
1) Dans le plan Prapport´e `a un rep`ere orthonorm´e R, on consid`ere l’ensemble Edes points `a
coordonn´ees enti`eres. On fixe trois entiers α, β, γ tels que (α, β)6= (0,0). On appelle Dla droite
de Ed’´equation αx +βy =γrelativement `a R. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour
que Dcontienne des points de E. D´eterminer alors l’ensemble D∩E.
2) Soient α1, α2, . . . , αndes entiers non-nuls. Pour 1 ≤i≤n, on note dile pgcd de α1, α2, . . . , αn.
Soit γ∈Z. Soit Sl’ensemble des solutions dans Znde l’´equation α1x1+α2x2+··· +αnxn=γ.
Montrer que Sest non-vide si et seulement si dndivise γ. Montrer qu’alors un n-uplet d’entiers
(x1, . . . , xn) appartient `a Ssi et seulement le (n+ 1)-uplet (x1, . . . , xn−1, y, xn) est solution du
syst`eme: α1x1+α2x2+··· +αn−1xn−1−dn−1y= 0
dn−1y+αnxn=γ
En d´eduire une m´ethode de r´esolution dans Znde l’´equation de d´epart.
Application: r´esoudre dans Z3l’´equation 10x+ 15y+ 6z= 73.
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Exercice 5. (Syst`emes de congruence et th´eor`eme chinois)
1) Soient aet bdeux entiers naturels non-nuls. Montrer que, si aet bsont premiers entre eux,
alors le syst`eme de congruences :
(Σ) x≡αmod a
x≡βmod b
admet des solutions dans Zquels que soient les entiers αet βfix´es. D´eterminer alors explicitement
l’ensemble des solutions de (Σ) dans Z.
2) Soient a1, a2, . . . , andes entiers naturels non-nuls deux `a deux premiers entre eux. On fixe des
entiers α1, α2, . . . , αnquelconques et l’on consid`ere le syst`eme (Σ) de ncongruences `a une inconnue:
(Σ) : x≡α1mod a1, x ≡α2mod a2, . . . , x ≡αnmod an.
On pose b=a1a2. . . an. Pour tout 1 ≤i≤n, on consid`ere le produit bi=a1a2. . . ai−1ai+1 . . . an
et le syst`eme de congruences :
(Σi)x≡1 mod ai
x≡0 mod bi
Montrer que (Σ) a des solutions dans Z. Montrer que, pour tout 1 ≤i≤n, (Σi) a des solutions
dans Z. Montrer l’ensemble des solutions de (Σ) dans Zest:
S={α1y1+α2y2+··· +αnyn+bλ ;λ∈Z}
o`u yid´esigne pour tout 1 ≤i≤nune solution de (Σi).
Application: r´esoudre dans Zle syst`eme: x≡1 mod 4, x ≡2 mod 3, x ≡4 mod 5.
Exercice 6. (Fonctions arithm´etiques multiplicatives)
On appelle fonction arithm´etique multiplicative toute application f:A→Zo`u Aest une partie
de N, telle que f(ab) = f(a)f(b) pour tout couple d’´el´ements de Apremiers entre eux.
Montrer qu’une telle fonction multiplicative est enti`erement d´etermin´ee par les valeurs qu’elle prend
sur les entiers de la forme pαpour pun nombre premier et αun entier positif.
Montrer que, si f:N∗→Zest multiplicative, alors g:N∗→Zd´efinie par g(n) = P
d|n
f(d) pour
tout entier n≥1 est aussi multiplicative.
1) Nombre de diviseurs et somme des puissances k-i`emes des diviseurs d’un entier naturel non-nul.
Pour tous k∈N, n ∈N∗, on note σk(n) la somme des puissances k-i`emes des diviseurs positifs de
n. En particulier, on note d(n) = σ0(n) le nombre de diviseurs positifs de n. Montrer que, si n≥2
et si l’on note n=Qs
i=1 pαi
ila d´ecomposition de nen produit de facteurs premiers, on a:
σk(n) =
s
Y
i=1
pk(αi+1)
i−1
pk
i−1, et en particulier d(n) =
s
Y
i=1
(αi+ 1).
Montrer que σk:N∗→Nest multiplicative.
2) Indicatrice d’Euler. Pour tout entier n≥2, on note ϕ(n) le nombre d’entiers naturels inf´erieurs
`a net premiers avec n. En posant de plus ϕ(1) = 1, on d´efinit ainsi une application ϕ:N∗→N.
Montrer que ϕest multiplicative (on pourra utiliser le th´eor`eme chinois et la caract´erisation des
´el´ements inversibles des anneaux Z/aZ,Z/bZet Z/abZ).
Montrer que ϕ(pα) = pα(1 −1
p) pour tout nombre premier pet tout entier α≥1. En d´eduire que,
pour tout entier n≥2, on a
ϕ(n) = n
s
Y
i=1
(1 −1
pi
), o`u p1, p2, . . . , pssont les diviseurs premiers distincts de n.
Montrer que l’on a, pour tout entier n≥1, l’identit´e d’Euler: P
d|n
ϕ(d) = n.
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3) Fonction de M¨obius. On pose: µ(1) = 1, µ(n) = 0 si nest divisible par le carr´e d’un entier ≥2,
µ(n) = (−1)ksi nest le produit de knombre premiers distincts. V´erifier que l’on d´efinit ainsi une
application µ:N∗→Z, et qu’elle est multiplicative. Montrer que P
d|n
µ(d) = 0 pour tout n≥2.
Exercice 7. (Groupe des unit´es de Z/nZ)
Pour tout entier n≥2, on note Gnle groupe multiplicatif U(Z/nZ) des ´el´ements inversibles de
l’anneau Z/nZ. Donner pour un entier aquelconque une condition arithm´etique n´ecessaire et
suffisante pour que aappartienne `a Gn. Quel est l’ordre de Gn?
1) Soit n≥2 un entier. Montrer que, pour tout entier apremier avec n, on a (propri´et´e d’Euler):
aϕ(n)≡1 mod n.
(Indication : on pourra consid´erer la bijection t:x7→ ax de Gnsur Gn). Que devient la propri´et´e
ci-dessus lorsque nest premier ?
2) Montrer que les deux groupes G10 et G12 sont d’ordre 4, mais que l’un est cyclique alors que
l’autre est isomorphe au groupe de Klein.
Montrer que, pour tout nombre premier p, le groupe Gpest cyclique d’ordre p−1.
Indication. Pour tout diviseur dde p−1, notons Γdl’ensemble des ´el´ements de Gpd’ordre det Ed
l’ensemble des ´el´ements xde Gptels que xd= 1. Montrer que Edest un sous-groupe de Gpd’ordre ≤d
et contenant Γd. V´erifier que, si l’on suppose Γd6=∅, alors Edest engendr´e par xpour tout x∈Γd,
et Γdest de cardinal ϕ(d). En utilisant le th´eor`eme de Lagrange et l’identit´e d’Euler (exercice 6), en
d´eduire que Γd6=∅pour tout diviseur dde p−1. Conclure.
Exercice 8. (Nombres parfaits, nombres de Mersenne, d’Euclide, de Fermat, de Carmichael)
1) Soit nun entier ≥2. Montrer que, pour tout entier a≥3, l’entier an−1 n’est pas premier.
Montrer que, si nn’est pas premier, alors 2n−1 n’est pas premier. Le seul cas qui reste est donc
celui o`u a= 2 et nest premier, ce qui correspond aux nombres de Mersenne.
On appelle nombre de Mersenne tout entier naturel de la forme Mp= 2p−1 o`u pest un nombre
premier. Montrer que M2, M3, M5, M7sont premiers. Montrer que M11 est divisible par 23.
2) On appelle nombre parfait tout entier naturel qui est ´egal `a la somme de tous ses diviseurs positifs
strictement inf´erieurs `a lui-mˆeme (i.e. σ1(n) = 2navec les notations de l’exercice 1). D´eterminer
tous les nombres parfaits inf´erieurs `a 30 ; v´erifier que 496 et 8128 sont parfaits.
La question de l’existence de nombres parfaits impairs reste ouverte; les nombres parfaits pairs font
l’objet de la question suivante.
3) On appelle nombre d’Euclide un entier de la forme Ep= 2p−1(2p−1) = 2p−1Mpo`u pest un
nombre premier tel que Mpest premier. Calculer E2, E3, E5, E7. Quel est le suivant ?
Montrer que les nombres d’Euclide sont les nombres parfaits pairs.
Indication pour le sens r´eciproque. Consid´erons un nombre parfait pair, ´ecrit sous la forme n= 2a×b
avec a≥1 et bimpair. Montrer que σ1(n) = σ1(b)×(2a+1 −1). En utilisant σ1(n) = 2n, en d´eduire
qu’il existe c≥1 tel que b= (2a+1 −1)cet σ1(b) = 2a+1c. Prouver que c= 1 et 2a+1 −1 est premier.
4) Rappeler l’´enonc´e et une preuve du petit th´eor`eme de Fermat.
On appelle nombre pseudo-premier ou nombre de Carmichael un entier p≥2 qui n’est pas premier
mais v´erifie np≡nmod ppour tout n∈Z. Montrer que 561 est un nombre de Carmichael.
Indication. Fixons n∈Zquelconque et posons N=n(n560 −1) = n((n2)280 −1). V´erifier qu’il existe
k1∈Ntel que N=n(n2−1)k1. En justifiant que 3 divise n3−n, conclure que 3 divise N. Etablir de
de mˆeme que 11 et 17 divisent Net conclure.
5) On appelle nombre de Fermat tout entier naturel de la forme Fn= 2(2n)+ 1 o`u n∈N. Montrer
que F0, F1, F2, F3, F4sont premiers. Montrer que F5est divisible par 641.
Indication. On pourra soit effectuer un calcul direct, soit utiliser des congruences en remarquant que
54≡ −24mod 641 et 5 ×27≡ −1 mod 641.
Montrer que, si net msont deux entiers naturels distincts, alors Fnet Fmsont premiers entre eux.
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