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Université Blaise Pascal
U.F.R. Sciences et Technologies
Département de Mathématiques et Informatique
Exercices de Révision en Algèbre et en Géométrie
Master Enseignement des Mathématiques, Deuxième année
Série 1 -
Arithmétique dans Z
Série 2 -
Polynômes
Série 3 -
Réduction des endomorphismes
Série 4 -
Espaces vectoriels euclidiens,
endomorphismes symétriques, isométries vectorielles
Série 5 -
Nombres complexes et géométrie
Série 6 -
Angles
Série 7 -
Espaces affines, barycentres
Série 8 -
Applications affines
Série 9 -
Isométries affines
Série 10 -
Courbes paramétrées du plan
Série 11 -
Coniques
2011-2012
François Dumas
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 1 : arithmétique dans Z
Exercice 1. (Principes de codage basés sur des propriétés arithmétiques élémentaires).
On note: A = {A, B, C, . . . , Y, Z} l’alphabet, E = {0, 1, 2, . . . , 24, 25} l’ensemble des 26 premiers
entiers naturels, et g la bijection naturelle de A sur E consistant à numéroter les lettres:
g(A) = 0, g(B) = 1, g(C) = 2, . . . , g(Z) = 25.
1) Pour tout entier x de E, on note f (x) le reste de la division euclidienne de 35x par 26.
a. Montrer que l’on définit ainsi une bijection f de E sur E.
b. On convient de coder un mot quelconque de la façon suivante: on remplace chaque lettre α du
mot par la lettre β dont le numéro g(β) est y = f (x), où x = g(α) est le numéro de α. Comment se
code le mot oui ? Montrer que ce principe de codage est sans ambiguı̈té (deux mots sont distincts
si et seulement leurs codages respectifs sont distincts). Quel est le mot dont le codage est nwn ?
c. On veut généraliser en remplaçant 35x par ax + b avec a, b entiers naturels avec a 6= 0. Quelles
hypothèses est-il nécessaire et suffisant de faire sur a et b pour que la même méthode s’applique ?
2) Pour tout couple d’entiers (x, y) de E × E, on note f (x, y) l’unique entier de E et h(x, y) l’unique
entier de E tels que:
f (x, y) ≡ 5x + 17y mod 26
et
h(x, y) ≡ 4x + 15y mod 26
a. Justifier avec soin l’existence et l’unicité de f (x, y) et h(x, y), puis montrer que l’application
f × h est une bijection de E × E sur E × E.
b. On convient de coder tout mot d’un nombre pair de lettres de la façon suivante: en partant de
la gauche vers la droite, on remplace chaque couple de lettres successives (α, β) par le couple de
lettres (γ, δ) dont les numéros s = g(γ) et t = g(δ) sont donnés par:
s = f (x, y) et t = h(x, y), où x = g(α) et y = g(β) sont les numéros de α et β
Comment se code le mot enfant ? Le codage d’une lettre dépend-il de la place de cette lettre
dans le mot ? Démontrer que ce principe de codage est sans ambiguı̈té (deux mots sont distincts
si et seulement leurs codages respectifs sont distincts). Quel est le mot dont le codage est umsb ?
Montrer que tout mot d’un nombre pair de lettres est le codage d’un et d’un seul mot.
c. On veut généraliser à un système de congruences quelconque:
ax + by ≡ s mod m
et
cx + dy ≡ t mod m,
avec a, b, c, d, s, t entiers quelconques et m entier naturel non-nul. Donner une hypothèse portant
sur le pgcd de ad − bc et m qui suffit à assurer l’existence, quels que soient s et t, d’une solution
(x, y) à ce système ? Cette solution est-elle unique ?
Exercice 2. (Ecriture décimale et congruences).
1) (Théorème de Pascal). Soit m un entier naturel non-nul. Soit (ri ) la suite d’entiers définie par:
r0 = 1 et ri+1 = le reste de la division euclidienne de 10ri par m ; (avec donc 0 ≤ ri ≤ m − 1).
n
P
ai ri [m].
Montrer que, pour tout entier naturel a = an . . . a0 en numération décimale, on a: a ≡
i=0
En déduire des critères simples permettant de reconnaı̂tre sur les chiffres de l’écriture décimale d’un
entier s’il est ou non divisible par 3, par 9, par 10, par 11.
2) (Preuve par neuf ). Montrer que tout entier naturel est congru modulo 9 à la somme des chiffres
de son écriture décimale. En déduire que, quels que soient x = an . . . a0 , y = bm . . . b0 , z = cp . . . c0
p
n
m
P
P
P
trois entiers naturels, si xy = z, alors ( ai )( bi ) ≡ ( ci ) [9].
i=0
i=0
i=0
√
Exercice 3. (Autour de l’irrationalité de 2)
√
1) Donner une preuve du fait que le réel 2 n’est pas rationnel (en précisant avec soin les résultats
arithmétiques utilisées).
√
2) Une preuve de l’irrationalié de 2 basée sur
√ l’algorithme d’Euclide. On suppose qu’il existe
deux entiers strictement positifs a et b tels que 2 = ab .
√
a. Montrer que a = b + cb , où l’on a posé c = 2 + 1. Vérifier que c = 2 + 1c et 2 < c < 3.
b. Montrer que cb est un entier, et qu’il est égal au reste r1 de la division euclidienne de a par b.
Quel est le quotient q1 dans cette division ?
c. Montrer que, dans la division euclidienne de b par r1 , le quotient est q2 = 2 et le reste r2 =
r1
c .
d. Soit n un entier au moins égal à 2. Montrer que l’algorithme d’Euclide appliqué à (a, b) comporte
1
au moins n étapes, que le n-ième quotient est qn = 2, et que le n-ième reste rn = rn−
c .
e. Aboutir à une contradiction.
3) Une suite de rationnels approchant
√
2.
a. Montrer que la suite d’entiers naturels (un ) définie par u0 = 0, u1 = 1 et un+1 = 2un + un−1
pour tout n ≥ 1 est strictement croissante. Pour tout n ≥ 1: calculer un+1 un−1 − u2n , en déduire
un
que un+1 et un sont premiers entre eux, et vérifier que la fraction un+1
−un est irréductible.
−un
b. On considère la suite de nombres rationnels (xn ) définie par xn = un+1
pour tout n ≥ 1.
un
√
Calculer xn pour tout 1 ≤ n ≤ 9. Montrer que la suite (xn ) converge vers 2.
√
3) Un développement de 2 en fractions continues.
a. Appliquer l’algorithme d’Euclide au couple (577, 408).
1
En déduire: x8 = 1 +
1
2+
1
2+
1
2+
1
2+
1
2+
1
2+
2
b. Déterminer, pour tout n ≥ 1, le quotient
et le reste dans la division euclidienne de un+1
par un . En déduire, une écriture de xn comparable à l’écriture ci-contre de x8 .
√
1
Conclure que 2 = 1 +
1
2+
1
2+
1
2+
2 + ···
Exercice 4. (Propriété de Bézout et équations diophantiennes).
1) Dans le plan P rapporté à un repère orthonormé R, on considère l’ensemble E des points à
coordonnées entières. On fixe trois entiers α, β, γ tels que (α, β) 6= (0, 0). On appelle D la droite
de E d’équation αx + βy = γ relativement à R. Donner une condition nécessaire et suffisante pour
que D contienne des points de E. Déterminer alors l’ensemble D ∩ E.
2) Soient α1 , α2 , . . . , αn des entiers non-nuls. Pour 1 ≤ i ≤ n, on note di le pgcd de α1 , α2 , . . . , αn .
Soit γ ∈ Z. Soit S l’ensemble des solutions dans Zn de l’équation α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = γ.
Montrer que S est non-vide si et seulement si dn divise γ. Montrer qu’alors un n-uplet d’entiers
(x1 , . . . , xn ) appartient à S si et seulement le (n + 1)-uplet (x1 , . . . , xn−1 , y, xn ) est solution du
système:
α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn−1 xn−1 − dn−1 y = 0
dn−1 y + αn xn = γ
En déduire une méthode de résolution dans Zn de l’équation de départ.
Application: résoudre dans Z3 l’équation 10x + 15y + 6z = 73.
Exercice 5. (Systèmes de congruence et théorème chinois)
1) Soient a et b deux entiers naturels non-nuls. Montrer que, si a et b sont premiers entre eux,
alors le système de congruences :
x ≡ α mod a
(Σ)
x ≡ β mod b
admet des solutions dans Z quels que soient les entiers α et β fixés. Déterminer alors explicitement
l’ensemble des solutions de (Σ) dans Z.
2) Soient a1 , a2 , . . . , an des entiers naturels non-nuls deux à deux premiers entre eux. On fixe des
entiers α1 , α2 , . . . , αn quelconques et l’on considère le système (Σ) de n congruences à une inconnue:
(Σ) :
x ≡ α1 mod a1 ,
x ≡ α2 mod a2 ,
. . . , x ≡ αn mod an .
On pose b = a1 a2 . . . an . Pour tout 1 ≤ i ≤ n, on considère le produit bi = a1 a2 . . . ai−1 ai+1 . . . an
et le système de congruences :
x ≡ 1 mod ai
(Σi )
x ≡ 0 mod bi
Montrer que (Σ) a des solutions dans Z. Montrer que, pour tout 1 ≤ i ≤ n, (Σi ) a des solutions
dans Z. Montrer l’ensemble des solutions de (Σ) dans Z est:
S = { α1 y1 + α2 y2 + · · · + αn yn + bλ ; λ ∈ Z }
où yi désigne pour tout 1 ≤ i ≤ n une solution de (Σi ).
Application: résoudre dans Z le système: x ≡ 1 mod 4,
x ≡ 2 mod 3,
x ≡ 4 mod 5.
Exercice 6. (Fonctions arithmétiques multiplicatives)
On appelle fonction arithmétique multiplicative toute application f : A → Z où A est une partie
de N, telle que f (ab) = f (a)f (b) pour tout couple d’éléments de A premiers entre eux.
Montrer qu’une telle fonction multiplicative est entièrement déterminée par les valeurs qu’elle prend
sur les entiers de la forme pα pour p un nombre premier et α un entier positif.
P
Montrer que, si f : N∗ → Z est multiplicative, alors g : N∗ → Z définie par g(n) =
f (d) pour
d|n
tout entier n ≥ 1 est aussi multiplicative.
1) Nombre de diviseurs et somme des puissances k-ièmes des diviseurs d’un entier naturel non-nul.
Pour tous k ∈ N, n ∈ N∗ , on note σk (n) la somme des puissances k-ièmes des diviseurs positifs de
n. En particulier, on
Q note d(n) = σ0 (n) le nombre de diviseurs positifs de n. Montrer que, si n ≥ 2
et si l’on note n = si=1 pαi i la décomposition de n en produit de facteurs premiers, on a:
σk (n) =
s
k(α +1)
Y
p i
−1
i
i=1
pki − 1
, et en particulier d(n) =
s
Y
(αi + 1).
i=1
Montrer que σk : N∗ → N est multiplicative.
2) Indicatrice d’Euler. Pour tout entier n ≥ 2, on note ϕ(n) le nombre d’entiers naturels inférieurs
à n et premiers avec n. En posant de plus ϕ(1) = 1, on définit ainsi une application ϕ : N∗ → N.
Montrer que ϕ est multiplicative (on pourra utiliser le théorème chinois et la caractérisation des
éléments inversibles des anneaux Z/aZ, Z/bZ et Z/abZ).
Montrer que ϕ(pα ) = pα (1 − p1 ) pour tout nombre premier p et tout entier α ≥ 1. En déduire que,
pour tout entier n ≥ 2, on a
s
Y
1
ϕ(n) = n (1 − ), où p1 , p2 , . . . , ps sont les diviseurs premiers distincts de n.
pi
i=1
P
Montrer que l’on a, pour tout entier n ≥ 1, l’identité d’Euler:
ϕ(d) = n.
d|n
3) Fonction de Möbius. On pose: µ(1) = 1, µ(n) = 0 si n est divisible par le carré d’un entier ≥ 2,
µ(n) = (−1)k si n est le produit de k nombre premiers distincts. Vérifier
que l’on définit ainsi une
P
application µ : N∗ → Z, et qu’elle est multiplicative. Montrer que
µ(d) = 0 pour tout n ≥ 2.
d|n
Exercice 7. (Groupe des unités de Z/nZ)
Pour tout entier n ≥ 2, on note Gn le groupe multiplicatif U (Z/nZ) des éléments inversibles de
l’anneau Z/nZ. Donner pour un entier a quelconque une condition arithmétique nécessaire et
suffisante pour que a appartienne à Gn . Quel est l’ordre de Gn ?
1) Soit n ≥ 2 un entier. Montrer que, pour tout entier a premier avec n, on a (propriété d’Euler):
aϕ(n) ≡ 1 mod n.
(Indication : on pourra considérer la bijection t : x 7→ ax de Gn sur Gn ). Que devient la propriété
ci-dessus lorsque n est premier ?
2) Montrer que les deux groupes G10 et G12 sont d’ordre 4, mais que l’un est cyclique alors que
l’autre est isomorphe au groupe de Klein.
Montrer que, pour tout nombre premier p, le groupe Gp est cyclique d’ordre p − 1.
Indication. Pour tout diviseur d de p − 1, notons Γd l’ensemble des éléments de Gp d’ordre d et Ed
l’ensemble des éléments x de Gp tels que xd = 1. Montrer que Ed est un sous-groupe de Gp d’ordre ≤ d
et contenant Γd . Vérifier que, si l’on suppose Γd 6= ∅, alors Ed est engendré par x pour tout x ∈ Γd ,
et Γd est de cardinal ϕ(d). En utilisant le théorème de Lagrange et l’identité d’Euler (exercice 6), en
déduire que Γd 6= ∅ pour tout diviseur d de p − 1. Conclure.
Exercice 8. (Nombres parfaits, nombres de Mersenne, d’Euclide, de Fermat, de Carmichael)
1) Soit n un entier ≥ 2. Montrer que, pour tout entier a ≥ 3, l’entier an − 1 n’est pas premier.
Montrer que, si n n’est pas premier, alors 2n − 1 n’est pas premier. Le seul cas qui reste est donc
celui où a = 2 et n est premier, ce qui correspond aux nombres de Mersenne.
On appelle nombre de Mersenne tout entier naturel de la forme Mp = 2p − 1 où p est un nombre
premier. Montrer que M2 , M3 , M5 , M7 sont premiers. Montrer que M11 est divisible par 23.
2) On appelle nombre parfait tout entier naturel qui est égal à la somme de tous ses diviseurs positifs
strictement inférieurs à lui-même (i.e. σ1 (n) = 2n avec les notations de l’exercice 1). Déterminer
tous les nombres parfaits inférieurs à 30 ; vérifier que 496 et 8128 sont parfaits.
La question de l’existence de nombres parfaits impairs reste ouverte; les nombres parfaits pairs font
l’objet de la question suivante.
3) On appelle nombre d’Euclide un entier de la forme Ep = 2p−1 (2p − 1) = 2p−1 Mp où p est un
nombre premier tel que Mp est premier. Calculer E2 , E3 , E5 , E7 . Quel est le suivant ?
Montrer que les nombres d’Euclide sont les nombres parfaits pairs.
Indication pour le sens réciproque. Considérons un nombre parfait pair, écrit sous la forme n = 2a × b
avec a ≥ 1 et b impair. Montrer que σ1 (n) = σ1 (b) × (2a+1 − 1). En utilisant σ1 (n) = 2n, en déduire
qu’il existe c ≥ 1 tel que b = (2a+1 − 1)c et σ1 (b) = 2a+1 c. Prouver que c = 1 et 2a+1 − 1 est premier.
4) Rappeler l’énoncé et une preuve du petit théorème de Fermat.
On appelle nombre pseudo-premier ou nombre de Carmichael un entier p ≥ 2 qui n’est pas premier
mais vérifie np ≡ n mod p pour tout n ∈ Z. Montrer que 561 est un nombre de Carmichael.
Indication. Fixons n ∈ Z quelconque et posons N = n(n560 − 1) = n((n2 )280 − 1). Vérifier qu’il existe
k1 ∈ N tel que N = n(n2 − 1)k1 . En justifiant que 3 divise n3 − n, conclure que 3 divise N . Etablir de
de même que 11 et 17 divisent N et conclure.
n
5) On appelle nombre de Fermat tout entier naturel de la forme Fn = 2(2 ) + 1 où n ∈ N. Montrer
que F0 , F1 , F2 , F3 , F4 sont premiers. Montrer que F5 est divisible par 641.
Indication. On pourra soit effectuer un calcul direct, soit utiliser des congruences en remarquant que
54 ≡ −24 mod 641 et 5 × 27 ≡ −1 mod 641.
Montrer que, si n et m sont deux entiers naturels distincts, alors Fn et Fm sont premiers entre eux.
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 2 : polynômes
Exercice 1. (Zéros et degré)
1) Soient K un corps et P un polynôme dans K[X] de degré d ≥ 1. Montrer qu’un élément a de
K est un zéro de P si et seulement si X − a divise P dans K[X]. En déduire que P admet au plus
d zéros dans K (indication: on pourra utiliser la division euclidienne et raisonner par récurrence).
2) Soit A l’anneau Z/6Z. Déterminer les zéros dans A du polynôme X 2 − X. Donner deux
factorisations distinctes de X 2 − X en produit de deux polynômes de degré 1 dans A[X]. Que
peut-on en déduire ?
3) Soit K un corps ; on note Φ : K[X] → F(K, K) le morphisme de K-algèbres qui, à tout polynôme,
associe sa fonction polynomiale associée. Déduire de 1) que, si K est infini, alors Φ est injective.
Montrer, en considérant dans (Z/3Z)[X] un polynôme non-nul dont la fonction polynomiale associée
est nulle, que le résultat n’est plus nécessairement vrai si K est un corps fini. Que retenir ?
Exercice 2. (Zéros et polynôme dérivé)
Déterminer les polynômes P de C[X] tels que tout zéro de P 0 est aussi un zéro de P .
Exercice 3. (Polynômes à coefficients entiers)
Soient a, b, c trois entiers, avec c 6= 0. On considère dans Z[X] le polynôme P = X 3 + aX 2 + bX + c.
Montrer que, si P est factorisable dans Q[X], alors ses facteurs sont dans Z[X].
Exercice 4. (Polynômes à coefficients entiers)
P
Soit P = ni=0 ai X i un polynôme de degré n ≥ 1 à coefficients dans Z.
1) Montrer qu’il existe un entier naturel a tel que P (a) 6= 0. Vérifier que, pour tous entiers i ≥ 1,
c ≥ 0, d ≥ 1, l’entier (c + d)i − ci est divisible par d. En déduire que, pour tout k ∈ N, l’entier
A(k) = P (a + k|P (a)|) est divisible par |P (a)|.
2) On suppose de plus que, pour tout b ∈ N, l’entier naturel |P (b)| est un nombre premier.
Démontrer que, pour tout k ∈ N, l’entier a + k|P (a)| est un zéro du polynôme Q défini par:
Q(X) = (P (X) − P (a))(P (X) + P (a)).
3) Conclure que les seuls polynômes de Z[X] prenant pour valeurs sur N des nombres premiers sont
les polynômes constants égaux à des nombres premiers. Calculer P (a) pour P = X 2 − 79X + 1601
pour les valeurs entières de a comprises entre 0 et 79.
Exercice 5. (Polynômes réels à valeurs rationnelles)
1) On considère dans Q[X] ⊂ R[X] les polynômes: P0 = 1 et Pn (X) =
pour tout entier n ≥ 1. Montrer que Pn (t) ∈ Z pour tout t ∈ Z.
1
n! (X + 1)(X + 2) · · · (X + n)
2) Soit A ∈ R[X]
P non-nul; soit n son degré. Montrer qu’il existe des réels uniques α0 , α1 , . . . αn
tels que A = ni=0 Pi (indication: considérer les valeurs prises par A en −1, −2, . . . , −n − 1). En
déduire que, si A(t) ∈ Q pour tout t ∈ Q, alors αi ∈ Q pour tout 0 ≤ i ≤ n.
3) Conclure qu’un polynôme A ∈ R[X] appartient à Q[X] si et seulement si A(t) ∈ Q pour tout
t ∈ Q.
Exercice 6. (PGCD et polynôme dérivé)
On considère dans R[X] le polynôme P = X 6 − 6X 5 + 15X 4 − 20X 3 + 12X 2 − 4. Calculer le PGCD
de P et de son polynôme dérivé P 0 . En déduire la factorisation de P en produit de polynômes
irréductibles dans R[X] et dans C[X].
Exercice 7. (Applications de la propriété de Bézout)
Soient K un sous-corps de C et P ∈ K[X] de degré ≥ 1.
1) Montrer que, si P est irréductible dans K[X], alors les zéros de P dans C sont tous simples.
2) Soit z un zéro de P dans C, de multiplicité d ; montrer que, si d >
1
2
deg P , alors z ∈ K.
Exercice 8. (Application de l’algorithme d’Euclide)
Soient n, m deux entiers ≥ 1. Montrer que, si n divise m dans Z, alors X n − 1 divise X m − 1 dans
R[X]. Plus généralement, montrer que si r est le reste de la division euclidienne de m par n, alors
X r − 1 est le reste de la division euclidienne de X m − 1 par X n − 1. En déduire que:
PGCD(X m − 1, X n − 1) = X PGCD(n,m) − 1.
Exercice 9. (Polynômes réciproques)
On dit qu’un polynôme non-nul P = an X n +an−1 X n−1 +· · · a1 X +a0 ∈ C[X] est réciproque lorsque
ak = an−k pour tout 0 ≤ k ≤ n.
1) Montrer que P de degré n est réciproque si et seulement si P (X) = X n P ( X1 ). Montrer que le
produit de deux polynômes réciproques est réciproque. Montrer que si P et Q sont réciproques et
si P divise Q dans C[X], alors Q
P est réciproque.
2) Soit P ∈ C[X] réciproque de degré n. Montrer que:
(i) Si α ∈ C est un zéro de P , alors α 6= 0 et α−1 est un zéro de P .
(ii) Si 1 est un zéro de P , alors c’est un zéro au moins double.
(iii) Si P est degré impair, alors −1 est un zéro de P .
(iv) S P est de degré pair et −1 est un zéro de P , alors c’est un zéro au moins double.
(Indication: on pourra pour les assertions (ii) et (iv) déduire de la relation P (X) = X n P ( X1 ) une
relation concernant P 0 ).
3) En déduire que tout polynôme de C[X] réciproque de degré pair 2n et de coefficient dominant
a2n ∈ C∗ se décompose sous la forme P = a2n (X 2 +b1 X+1) . . . (X 2 +bn X+1) avec b1 , b2 , . . . , bn ∈ C.
(Attention, ce n’est pas une décomposition en facteurs irréductibles). Que peut-on dire lorsque P
est de degré impair ?
4) Exemple d’application: décomposer P = 2X 5 −4X 4 +3X 3 +3X 2 −4X +2 en produit de facteurs
irréductibles dans R[X].
Exercice 10. (Décomposition en produit de facteurs irréductibles)
On considère le polynôme B = X 6 + 1. Dans C, on note α = ij et β = ij 2 .
1) Décomposer B en produit de facteurs irréductibles dans C[X], R[X] et Q[X].
2) Soit ϕ : Q[X] → C définie par ϕ(P ) = P (α) pour tout P ∈ Q[X]. Montrer que ϕ est un
morphisme d’anneaux unitaires. Montrer que le noyau I de ϕ est égal à l’idéal principal AQ[X]
où A est le polynôme unitaire de plus bas degré de Q[X] admettant α pour zéro. Montrer que A
divise B dans Q[X]. En déduire la valeur explicite de A et qu’il est irréductible dans Q[X].
3) Montrer qu’un polynôme P ∈ Q[X] est premier avec A dans Q[X] si et seulement si P (α) 6= 0.
4) On pose K = Im ϕ. Montrer que K = { a + bα + cα2 + dα3 ; a, b, c, d ∈ Q }.
(Indication: on pourra utiliser la division euclidienne par A dans Q[X]).
Montrer que K est un corps.
(Indication: pour tout z = a + bα + cα2 + dα3 ∈ K, considérer P = a + bX + cX 2 + dX 3 ∈ Q[X]
et montrer que à l’aide de la question précédente et de la propriété de Bezout que, si z 6= 0, alors
il existe un unique polynôme R ∈ Q[X] de degré ≤ 3 tel que P (α)R(α) = 1).
5) Décomposer B en produit de facteurs irréductibles dans K[X].
Exercice 11. (Fonctions symétriques des racines)
1) Déterminer les zéros complexes du polynôme P = X 4 − 12X − 5 sachant qu’il possède deux
zéros dont la somme est 2.
2) Montrer que le polynôme P = X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + d admet deux zéros opposés dans C si
et seulement si a2 d + c2 − abc = 0.
3) Soient p et q deux réels, et P = X 3 + pX + q dans R[X]. On considère les 2 conditions suivantes:
(1) P admet un zéro réel d’ordre strictement supérieur à 1,
(2) P admet un zéro complexe non réel.
Dans chacun de ces deux cas,indiquer les conditions que doivent vérifier p et q et calculer les zéros
complexes de P .
Exercice 12. (Polynômes d’interpolation de Lagrange)
Soit K un corps. Soit n un entier ≥ 1. On fixe des éléments deux à deux distincts a1 , a2 , . . . , an dans
K. On fixe des éléments quelconques b1 , b2 , . . . , bn dans K n . On appelle polynôme d’interpolation
de Lagrange associé à a et b le polynôme Λ ∈ K[X] de degré n − 1 défini par:
Λ=
n
P
i=1
bi Q
Q
1
(X − aj )
(ai − aj ) j6=i
j6=i
Montrer que Λ est l’unique élément de Kn−1 [X] vérifiant Λ(ai ) = bi pour tout 1 ≤ i ≤ n.
Montrer que l’ensemble des polynômes F ∈ K[X] vérifiant F (ai ) = bi pour tout 1 ≤ i ≤ n est égal
à {Λ + GP ; G ∈ K[X]}, où l’on a posé P = (X − a1 )(X − a2 ) . . . (X − an ).
Exercice 13. (Une preuve du théorème de Wilson)
Montrer qu’un entier p ≥ 2 est premier si et seulement si (p − 1)! ≡ −1 mod p.
Indication: pour montrer le sens direct, considèrer K = Z/pZ, donner les zéros dans K du polynôme
P = X p−1 − 1 de K[X] (on pourra utiliser le petit théorème de Fermat), et en déduire le résultat.
Exercice 14. (Réduction modulo p)
1) Pour tout nombre premier p, on considère l’application de réduction modulo p :
P
P
fp : Z[X] → (Z/pZ)[X], définie par fp ( ai X i ) = ai X i .
Montrer que c’est un morphisme d’anneaux unitaires surjectif, que l’ensemble I = pZ[X] formé des
polynômes de Z[X] dont les coefficients sont tous des multiples de p est un idéal premier de Z[X],
et que Z[X]/I est isomorphe à (Z/pZ)[X].
2) Soit F un polynôme unitaire dans Z[X]. Montrer que s’il existe un nombre premier p tel que le
polynôme fp (F ) soit irréductible dans (Z/pZ)[X], alors F est irréductible dans Z[X]. Vérifier ainsi,
en considérant une réduction modulo 2, que le polynôme F = X 5 − 2X 4 − 4X 3 + 3X 2 + 6X + 5 est
irréductible dans Z[X].
Exercice 15. (Critère d’Eisentein et polynômes cyclotomiques)
1) Soit p un nombre premier et P = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 unitaire dans Z[X]. Montrer
que, si p divise a0 , a1 , . . . an−1 et p2 ne divise pas a0 , alors P est irréductible dans Z[X].
2) En déduire que, sous les mêmes hypothèses qu’en 1), P est aussi irréductible dans Q[X].
3) Pour tout entier n ≥ 1, on note Un le groupe des racines n-ième de l’unité dans C, et Γn le
sous-ensemble des racines primitives. On appelle n-ième polynôme cyclotomique le polynôme
Q
Φn (X) =
(X − ζ).
ζ∈Γn
Montrer que X n − 1 =
Q
d|n
Φd (X). En déduire que Φn ∈ Z[X]. Quel est le degré de Φn ?
4) Soit p un nombre premier. Montrer que Φp (X) = 1 + X + X 2 + · · · + X p−1 . Montrer que Φp (X)
est irréductible dans Z[X] et dans Q[X] (indication: appliquer le critère d’Eisenstein au polynôme
P (X) = Φp (X + 1)).
Exercice 16. (Résidus quadratiques)
On fixe un nombre premier p ≥ 3. On note Fp le corps Z/pZ et F∗p = Fp \ {0}. On considère
l’application ϕ : F∗p → F∗p définie par ϕ(u) = u2 pour tout u ∈ F∗p .
1) Montrer que ϕ est un morphisme de groupe. Déterminer Ker ϕ.
2) On note Γ2 = Im ϕ (les entiers n tels que n ∈ Γ2 s’appellent les résidus quadratiques modulo
p). Déterminer le nombre d’éléments de Γ2 . Montrer que Γ2 est l’ensemble des zéros du polynôme
p−1
X 2 − 1 (on rappelle que z p−1 = 1 pour tout z ∈ F∗p ). En déduire que:
Q
Q
p−1
p−1
(X − z) et X 2 + 1 =
X 2 −1=
(X − z).
z∈F∗p \Γ2
z∈Γ2
3) Montrer qu’un polynôme aX 2 + bX + c de degré 2 dans Fp [X] (avec a, b, c ∈ Fp , a 6= 0) admet
un zéro dans Fp si et seulement si b2 − 4ac ∈ Γ2 .
Exercice 17. (Fractions rationnelles)
1) Soit p un nombre premier ; on note Fp le corps Z/pZ. On considère :
p−1
p−1
Q
P
1
P =
(X − n) ∈ Fp [X], et R =
∈ Fp (X).
p
n=0
n=0 (X − n)
p−1
P
1
Montrer que P (X) = X p − X, et R(X) =
.
p
n=0 X − n
Décomposer la fraction rationnelle
P0
P
en éléments simples dans Fp (X). Conclure que R =
Xp
2) On prend p = 23. Décomposer en éléments simples dans F23 (X) la fraction rationnelle :
3X 3 + 5
.
S=
(X 2 + X − 2)(X 2 + 7X + 1)
Indication: on pourra utiliser la dernière question de l’exercice sur les résidus quadratiques.
1
.
− X p2
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 3 : réduction des endomorphismes
Première partie: exercices de révision élémentaires, diagonalisation
Exercice 1. (Valeurs propres, vecteurs propres)
On désigne par K un sous-corps de C.
a) Un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E admet-il nécessairement des valeurs propres ?
b) Montrer que, si λ est une valeur propre d’un endomorphisme f d’un K-espace vectoriel E, alors
λn est valeur propre de l’endomorphisme f n pour tout n ∈ N∗ ; que peut-on dire des sous-espaces
propres correspondants ?
c) Deux matrices semblables dans Mn (K) ont le même polynôme caractéristique (rappeler la
preuve) ; a-t-on la réciproque ?
d) Soit A ∈ Mn (K). Montrer que la somme des valeurs propres de A dans C (chacune répétée
autant de fois que sa multiplicité) est égale à la trace de A.
e) Soient A ∈ Mn (K) et P son polynôme caractéristique. Quelle relation a-t-on entre P et le
polynôme caractéristique R de la transposée t A. On suppose de plus que A ∈ GL(n, K), et l’on
note Q est le polynôme caractéristique de A−1 ; quelle relation a-t-on pour tout λ ∈ K∗ entre Q(λ)
et P (λ−1 ) ?
Exercice 2. (Matrices diagonalisables)
a) Pour quelles valeurs des paramètres réels les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ?
!
2
a 0 b
a2 ab ab b2
3
−6 2 b2 ab
ab
a
C = ab b2 a2 ab .
A = m−6 m−7 −m+12 ,
B = 0 a+b 0 ,
m−3 m−3 −m+5
b
0
a
b2 ab ab a2
b) Soient a, b ∈ C. On considère dans Mn (C) la matrice A = (ai,j )1≤i,j≤n définie par: ai,j = b si
i 6= j et ai,i = a. Montrer que A est diagonalisable.
Exercice 3. (Exemples d’applications de la diagonalisation)
a) On considère deux suites de nombres réels (un )n≥0 et (vn )n≥0 telles que: un+1 = −10un − 28vn
et vn+1 = 6un + 16vn pour tout n ∈ N. En diagonalisant une matrice de M2 (R) adaptée, calculer
les termes généraux un et vn en fonction de u0 , v0 et n.
b) Soit (E) la courbe du plan d’équation:
x2 −xy +y 2 − 21 = 0, par rapport à un repère orthonormé.
2 −1
En diagonalisant la matrice −1
2 , montrer que (E) est une ellipse centrée en l’origine.
0
a a2
∗
−1
c) Soient a ∈ R et A la matrice a
0 a . Diagonaliser A. En déduire, pour tout n ∈ N, le
calcul des réels αn et βn tels que
a−2 a−1 0
An = αn A +
βn I3 . Montrer que A ∈ GL(3, R), et calculer A−1 .
Exercice 4. (Application aux systèmes différentiels linéaires)
Déterminer les fonctions réelles x(t), y(t), z(t) dérivables sur R solutions des systèmes différentiels:
x0 (t) =
(S1 )
− 2x(t) − 2y(t) + 2z(t)
=
3x(t) + 5y(t)
z 0 (t) =
x(t) + 2y(t) + 3z(t)
y 0 (t)
x0 (t) =
,
x0 (t) =
(S3 )
2y(t) − 2z(t)
= − 2x(t) + z(t)
z 0 (t) =
2x(t) − y(t)
y 0 (t)
2x(t) + 3y(t) − 6z(t)
y 0 (t) = − 6x(t) − 7y(t) + 12z(t)
z 0 (t) = − 3x(t) − 3y(t) + 5z(t)
(S2 )
,
(S4 )
x0 (t) = − y(t) − 2z(t)
y 0 (t) =
x(t) + z(t)
5z 0 (t) = − 6x(t) + 8y(t)
.
,
Exercice 5. (Une autre application de la diagonalisation)
Pour tout α ∈ R, on considère dans M3 (R) la matrice:
Aα =
1
4
!
√
6α+1
2α−1
− 2(2α−1)
√
2(2α−1)
2α−1
6α+1
.
√
√
− 2(2α−1) 2(2α−1)
4α+2
On note φα l’endomorphisme du R-espace vectoriel R3 dont la matrice par rapport à la base
canonique B = (e1 , e2 , e3 ) de R3 est Aα .
a) Déterminer une base B 0 de R3 formée de vecteurs propres de A0 . Montrer que, pour tout α ∈ R,
la matrice de φα dans la base B 0 est une matrice diagonale Dα .
b) En déduire, par un calcul simple, que Aα Aβ = A2αβ pour tous α, β ∈ R, et que A1/2 = I3 . Pour
quelles valeurs de α la matrice Aα est-elle inversible ? Que peut-on en déduire pour l’ensemble
G = {Aα ; α ∈ R∗ } ?
Seconde partie: polynômes d’endomorphismes, polynôme minimal
• Rappelons que si u est un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E et si P est un polynôme
dans K|X], on note P (u) l’endomorphisme de E défini par:
si P (X) = αm X m + αm−1 X m−1 + · · · + α1 X + α0 ∈ K[X],
alors P (X) = αm um + αm−1 um−1 + · · · + α1 u + α0 idE ∈ End E,
où u` = u ◦ u ◦ · · · ◦ u est le produit de composition de u par lui-même ` fois pour tout entier ` ≥ 1.
En particulier, pour tous P, Q ∈ K[X] et tout u ∈ End E, on a :
P (u) ◦ Q(u) = (P Q)(u) = (QP )(u) = Q(u) ◦ P (u).
• Rappelons aussi qu’un polynôme non-nul P ∈ K[X] est dit scindé dans K[X] lorsqu’il se
décompose en un produit de polynômes de degré 1 dans K[X] ; un polynôme scindé dans K[X]
sécrit donc sous la forme: P (X) = u(X − a1 )d1 (X − a2 )d2 . . . (X − as )ds avec u ∈ K ∗ , a1 , a2 , . . . , as
deux à deux distincts dans K, et d1 , d2 , . . . , ds des entiers ≥ 1 tels que d1 + d2 + · · · + ds = deg P .
Exercice 6. (Polynôme minimal et théorème de Cayley-Hamilton)
Soit un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit u un endomorphisme de E. Démontrer que les
zéros dans K du polynôme minimal de u sont exactement les valeurs propres de u dans K.
Exercice 7. (Exemples de calculs de polynômes minimaux)
Calculer le polynôme minimal des matrices suivantes:
−4 1 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
−2 −1 0
100 ,
000 ,
010 ,
−12 6 3
100
101
010
−2
1 1
,
1
1 0 −1
1
0
0
0
0
−1
0
−1
0
0
1
1
2
0
0
0
1
0
1
2
1 !
0
1
.
−2
−3
Exercice 8. (Lemme des noyaux)
1) Soit E un K-espace vectoriel. Soient u ∈ End E et P, Q ∈ K[X]. Montrer que, P et Q sont
premiers entre eux, alors Ker(P Q)(u) = Ker P (u) ⊕ Ker Q(u).
2) Généraliser à un nombre fini quelconque de polynômes deux à deux premiers entre eux.
Exercice 9. (Une CNS de diagonalisabilité)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit u un endomorphisme de E.
1) Montrer que u est diagonalisable sur K si et seulement si u annule un polynôme scindé dans
K[X] dont tous les zéros sont simples (indication: on pourra utiliser le lemme des noyaux).
Retrouver ainsi le fait que si le polynôme caractéristique de u est scindé dans K[X] et a toutes ses
racines simples dans K, alors u est diagonalisable sur K, la réciproque étant fausse.
2) Montrer que u est diagonalisable sur K si et seulement si son polynôme minimal est de la forme
Qu = (X − λ1 )(X − λ2 ) · · · (X − λs ), où λ1 , . . . , λs sont les valeurs propres distinctes de u dans K.
Exercice 10. (Deux arguments fréquemment utilisés)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1.
1) Soit u un endomorphisme de E. Soit F un sous-espace vectoriel de E, non-nul et distinct de E.
On suppose que F est stable par u, et l’on note v ∈ End F la restriction de u à F . Montrer que le
polynôme caractéristique Pv divise le polynôme caractéristique Pu .
Montrer que si H est un supplémentaire de F dans E stable par u, et si l’on note w ∈ End H la
restriction de u à H, on a Pu = Pv Pw .
2) Soit u un endomorphisme de E nilpotent d’ordre m. Montrer que : 0 est une valeur propre
de E, et c’est la seule ; le polynôme caractéristique de u est Pu (X) = (−1)n X n et le polynôme
minimal de u est Qu (X) = X m . En déduire que m ≤ n. Montrer que u est triangularisable.
Exercice 11. (Valeurs propres communes de deux endomorphismes)
Soient u et v deux endomorphismes d’un C-espace vectoriel E de dimension finie. On note Pu et
Pv leurs polynômes caractéristiques respectifs dans C[X].
1) Montrer que u et v n’ont aucune valeur propre commune dans C si et seulement si Pu et Pv sont
premiers entre eux dans C[X]
2) En déduire que u et v n’ont aucune valeur propre commune dans C si et seulement si l’endomorphisme Pu (v) est un automorphisme de E ; (indication: on pourra utiliser la question 1) et la
propriété de Bézout pour le sens direct, et triangulariser u et v pour le sens réciproque).
Exercice 12. (Inversibilité d’un polynôme d’endomorphisme)
Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie, u un endomorphisme de E et P (X) un polynôme
de C[X].
a) Montrer que, si P (u) ∈ GL(E), alors son inverse P (u)−1 est de la forme Q(u) pour un certain
Q(X) ∈ C[X] ; (indication: utiliser le polynôme caractéristique de P (u)).
b) Montrer que P (u) appartient à GL(E) si et seulement si P (X) est premier avec le polynôme
minimal de u dans C[X] ; (indication: utiliser le théorème de Bézout).
c) Application: montrer que, si u est nilpotent d’ordre p, alors (idE −u) ∈ GL(E), et calculer
(idE −u)−1 en fonction de u et p.
Exercice 13. (CNS pour qu’un polynôme minimal admette 0 comme zéro simple)
1) Soient A ∈ Mp (K), B ∈ Mq (K) et C = A0 B0 ∈ Mp+q (K). Montrer que le polynôme minimal
de C est le p.p.c.m. des polynômes minimaux A et B.
2) Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel de dimension finie, non-nul et non bijectif.
Montrer que les quatre assertions suivantes sont équivalentes:
(i) Ker f = Ker f 2 ;
(ii) Im f = Im f 2 ;
(iii) E = Ker f ⊕ Im f ;
(iv) le polynôme minimal de f est de la forme XQ(X) avec Q(X) ∈ K[X] vérifiant Q(0) 6= 0.
Indication: on pourra utiliser la question précédente pour montrer (iii) ⇒ (iv).
Exercice 14. (Dimension des sous-espaces caractéristiques)
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Montrer que, pour
toute valeur propre λ de u, la dimension du sous-espace caractéristique Fλ est égal à la multiplicité
de la valeur propre λ.
(Indication: Ecrire le polynôme caractéristique sous la forme Pu (X) = (X−λ)q F (X) avec F ∈ K[X]
tel que F (λ) 6= 0, introduire le sous-espace H = Ker F (u), vérifier que E = Fλ ⊕ H et utiliser
l’exercice 4).
Exercice 15. (Décomposition canonique d’un endomorphisme triangularisable)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit u un endomorphisme de E. On suppose que
le polynôme caractéristique Pu est scindé dans K[X].
1) Montrer que E est somme directe des sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres
de u.
2) En déduire qu’il existe deux endomophismes d et n tels que:
u = d + n, avec d diagonalisable, n nilpotent, et d ◦ n = n ◦ d.
(Indication: écrire la restriction ui de u à chaque sous-espace caractéritique Fi associé à une valeur
propre λi sous la forme ui = λi idFi +wi ). On peut montrer que d et n sont uniques, mais la preuve
de cette unicité n’est pas demandée ici.
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 4 : espaces vectoriels euclidiens,
endomorphismes symétriques, isométries vectorielles
Formes quadratiques, produits scalaires
Exercice 1. (Formes quadratiques)
Soient B une base de R4 et λ un réel fixé; soit q la forme quadratique sur R4 qui, à un vecteur u
de coordonnées (x, y, z, t) dans la base B, associe:
q(u) = x2 + (4 + λ)y 2 + (1 + 4λ)z 2 + λt2 + 4(1 − λ)yz + 2xz + 4xy + 2λyt + (1 − 4λ)zt.
1) Ecrire la matrice de q par rapport à la base B. Pour quelles valeurs de λ la forme q est-elle non
dégénérée ? Déterminer le rang de q suivant les valeurs de λ.
2) Décomposer q en somme de carrés de formes linéaires indépendantes. Déterminer la signature
de q en discutant suivant les valeurs de λ. Pour quelles valeurs de λ la forme q est-elle définie
positive ? Retrouver les résultats de la question a) et déterminer Ker q.
Exercice 2. (Formes quadratiques)
On considère une matrice A = (ai,j )1≤i,j≤n à coefficients dans R. Dans chacun des trois cas suivants,
vérifier que A est symétrique. Déterminer la signature de la forme quadratique qR sur Rn dont est
1
1
A est la matrice par rapport à la base canonique [Indication pour (iii) : i+j−1
= 0 ti+j−2 dt].
(i) ai,j = sin(i + j),
(ii)
ai,j = inf(i, j),
(iii)
ai,j =
1
i+j−1 .
Exercice 3. (Espaces vectoriels euclidiens)
Soient E un R-espace vectoriel, q une forme quadratique sur E, et b la forme polaire associée à q.
Soit a ∈ E, a 6= 0E ; on définit une application ra : E → R en posant: ra (x) = q(a)q(x) − b(a, x)2 .
1) Montrer que ra est une forme quadratique. Montrer que Ker q ⊆ Ker ra .
2) Montrer que, si b est un produit scalaire, alors ra est positive. En utilisant l’inégalité de CauchySchwartz, vérifier qu’alors Ker ra et le cône isotrope Ia de ra sont égaux à la droite vectorielle Ra.
Exercice 4. (Espaces vectoriels euclidiens)
Soit E un R-espace vectoriel euclidien de dimension au moins 2, muni d’un produit scalaire noté
f . On note k · k la norme associée. On fixe un vecteur a ∈ E tel que kak = 1. Pour tout k ∈ R, on
définit q : E → R par: q(x) = 2f (x, a)2 + kkxk2 .
Montrer que q est une forme quadratique, en précisant la forme polaire associée ϕ. Dans chacun
des cas suivants, indiquer si q est ou non dégénérée, et si ϕ est ou non un produit scalaire :
(a) k > 0 ;
(b) k = 0 ;
(c) −2 < k < 0 ;
(d) k = −2 ;
(e) k < −2.
Isométries vectorielles
Exercice 5. (Une révision utile sur la définition d’une isométrie vectorielle)
Soit f un endomorphisme d’un R-espace euclidien E. Rappeler la preuve de l’équivalence des
assertions suivantes, traduisant le fait pour f d’être une isométrie vectorielle (ou automorphisme
orthogonal):
(i) f conserve le produit scalaire ; (ii) f conserve la norme; (iii) il existe une base orthonormée B
de E telle que la matrice de f dans la base B est orthogonale; (iv) pour toute base orthonormée B
de E, la matrice de f dans la base B est orthogonale.
Rappeler aussi la définition des groupes O(E) et SO(E) = O+ (E).
Exercice 6. (Quelques propriétés élementaires, mais utiles)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ; soit f ∈ O(E). Montrer que :
1) Les sous-espaces E1 = Ker(f − idE ) et E−1 = Ker(f + idE ) sont orthogonaux.
2) Les seules valeurs propres réelles possibles pour f sont 1 et −1.
3) Pour tout sous-espace vectoriel F de E, on a f (F )⊥ = f (F ⊥ ).
4) En particulier, si F est un sous-espace vectoriel stable par f , alors F ⊥ aussi.
Exercice 7. (Moyenne des itérés d’une isométrie vectorielle)
Soit E un espace euclidien. Soit u un automorphisme orthogonal de E. On pose v = idE −u.
Montrer que Ker v = (Im v)⊥ .
n−1
P i
u (x) (pour n ∈ N∗ ).
Soient x ∈ E, et y le projeté orthogonal de x sur Ker v. On pose pn (x) = n1
i=0
Montrer que la suite (pn (x))n≥1 converge dans E vers y, c’est-à-dire que:
lim kpn (x) − yk = 0.
n→+∞
Exercice 8. (Symétries vectorielles orthogonales)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n. Soit F un sous-espace vectoriel fixé de E.
Montrer qu’il existe un unique endomorphisme s de E vérifiant:
s(x) = x pour tout x ∈ F , et s(x) = −x pour tout x ∈ F ⊥ .
Montrer que s est une isométrie vectorielle.
On l’appelle la symétrie orthogonale par rapport à F et on la note sF .
Dans le cas particulier où F est un hyperplan de E, on dit que sF est une symétrie hyperplane.
1) Montrer que det sF = (−1)n−dim F . Que peut-on dire dans le cas d’une symétrie hyperplane ?
2) Montrer que, pour tout f ∈ O(E), les condition suivantes sont équivalentes:
(i) f est une symétrie orthogonale;
(ii) f ◦ f = idE ;
(iii) f est diagonalisable.
3) Montrer le lemme de conjugaison suivant: pour tout g ∈ O(E), on a g ◦ sF ◦ g −1 = sg(F ) .
Exercice 9. (Isométries vectorielles en dimension 3)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, muni d’une base orthonormée B. Pour tout
couple de réel a, b, on considère l’endomorphisme fa,b de E dont la matrice dans la base B est:
3a+b −4a 0 Ma,b = −4a −3a+b 0
0
b
1
Déterminer les valeurs de a et b pour lesquelles fa,b ∈ GL(E). Déterminer les valeurs de a et b
pour lesquelles fa,b ∈ O(E). Si a = 51 et b = 0, montrer que f1/5,0 est une symétrie orthogonale par
rapport à un sous-espace vectoriel F de E que l’on déterminera.
Exercice 10. (Isométries vectorielles en dimension 3)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, rapporté à une base orthonormée B. Pour tous
réel a, b, c, on note fa,b,c l’endomorphisme de E dont
matrice par rapport à la base B est:
la Ma,b,c =
a b c
c a b
b c a
.
1) Montrer que fa,b,c ∈ O(E) si et seulement si |a + b + c| = 1 et ab + bc + ca = 0.
2) Montrer qu’un endomorphisme fa,b,c qui appartient à O(E) est involutif si et seulement si b = c.
3) Montrer que l’ensemble G des endomorphismes fa,b,c qui appartiennent à O(E) et qui sont
involutifs est un groupe fini, dont on déterminera explicitement tous les éléments, et dont on
dressera la table pour la loi ◦.
4) Décrire géométriquement chacun des éléments de G, en indiquant s’il s’agit d’un élément de
O+ (E) ou de O− (E), et en précisant le sous-espace des vecteurs invariants.
Exercice 11. (Engendrement du groupe orthogonal par les symétries hyperplanes)
Démontrer que toute isométrie vectorielle f d’un espace vectoriel euclidien E de dimension n (autre
que l’identité) s’écrit sous la forme f = s1 ◦ s2 ◦ · · · ◦ sp où 1 ≤ p ≤ n et s1 , s2 , . . . , sp sont des
symétries hyperplanes.
[Indication: s’il existe u ∈ E non-nul tel que f (u) = u, considérer la droite vectorielle D dirigée
par u, l’hyperplan H = D⊥ , et achever par récurrence ; sinon, raisonner de même avec D la droite
vectorielle dirigée par u − f (u) 6 pour u un vecteur non-nul de E.].
Exercice 12. (Centre du groupe orthogonal)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2. Soient O(E) le groupe orthogonal de E et
O+ (E) le sous-groupe spécial orthogonal. On note Z le centre de O(E) et Z + le centre de O+ (E)
(rappeler comment sont définis Z et Z + ). Le but de l’exercice est de déterminer Z et Z + .
1) Soit H un sous-espace vectoriel de E. On note sH la symétrie orthogonale de E par rapport à
H. Soit f ∈ O(E) quelconque; posons h = f ◦ sH ◦ f −1 . Montrer que h(u) = u pour tout u ∈ f (H)
et que h(u) = −u pour tout u ∈ f (H ⊥ ). En déduire que h = sf (H) . Conclure que l’on a:
pour tout f ∈ O(E), [ f ◦ sH = sH ◦ f ] ⇔ [ f (H) = H ].
(*)
2) Montrer que si f ∈ O(E) vérifie f (∆) = ∆ pour toute droite ∆ de E, alors f = idE ou f = − idE .
En déduire que si dim E ≥ 3 et si f ∈ O(E) vérifie f (Π) = Π pour tout plan Π de E, alors f = idE
ou f = − idE .
3) A l’aide de (*) et de la question 2), déterminer quels sont les éléments de Z. Déterminer de
même quels sont les éléments de Z + (on pourra distinguer trois cas suivant que dim E est impaire,
ou paire et au moins égale à 4, ou égale à 2).
Exercice 13. (Matrices de Householder et symétries orthogonales)
On fixe un entier n ≥ 2, et on considère l’espace euclidien Rn muni du produit scalaire canonique.
On note B la base canonique de Rn . Pour tout vecteur non-nul u de Rn , on désigne par hu
2
t
l’endomorphisme de Rn dont la matrice par rapport à B est: Hu = In − kuk
2 U U, où l’on note U la
matrice colonne des composantes de u dans la base B. Montrer que la matrice Hu est symétrique
et orthogonale. Montrer que hu est la symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplan (Ru)⊥ .
Exercice 14. (Matrices de permutation)
On fixe un entier n ≥ 2, et on considère l’espace euclidien Rn muni du produit scalaire canonique.
Pour toute permutation σ ∈ Sn , on désigne par Mσ la matrice de Mn (R) définie par:
 xσ(1) 
x1 !
x2
Mσ
..
.
xn
On note fσ
1) Montrer
2) Montrer
3) Montrer
xσ(2)
=  .. 
.
pour tout (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .
xσ(n)
l’endomorphisme de Rn de matrice Mσ par rapport à la base canonique.
que fσ appartient au groupe orthogonal O(n, R).
qu’il existe une valeur propre réelle commune à tous fσ , pour σ décrivant Sn .
qu’il existe un hyperplan H de Rn stable par fσ pour tout σ ∈ Sn .
Endomorphismes symétriques
Exercice 15. (Endomorphismes symétriques)
Soit E un espace euclidien ; on note h , i son produit scalaire. Soit u un endomorphisme de E.
1) Montrer que si u(x)⊥x pour tout x ∈ E, et u est symétrique, alors u est l’endomorphisme nul.
2) Montrer que Ker u = (Im ut )⊥ et Ker ut = (Im u)⊥ .
3) On suppose qu’il existe un sous-espace vectoriel M de E tel que ku(x)k = kxk pour tout x ∈ M ,
et v(x) = 0E pour tout x ∈ M ⊥ . Montrer que Ker v = M ⊥ .
Exercice 16. (Diagonalisation des endomorphismes symétriques)
On considère dans l’espace vectoriel euclidien R4 l’endomorphisme u dont la matrice dans la base
canonique est
!
2
A=
a
ab
ac
ad
ab
b2
bc
bd
ac
bc
c2
cd
ad
bd
dc
d2
,
où a, b, c, d sont des réels non tous nuls.
1) Montrer que u est symétrique. Déterminer la signature de la forme quadratique q de R4 de
matrice A dans la base canonique.
2) Montrer que 0 est valeur propre triple de u et déterminer le sous-espace propre associé. Soit λ
l’autre valeur propre de u; déterminer le sous-espace propre associé, et calculer λ.
Exercice 17. (Diagonalisation des endomorphismes symétriques)
1) On considère dans le plan vectoriel euclidien R2 la forme quadratique définie par rapport à la
base canonique par q(x, y) = 5x2 − 6xy + 5y 2 . Déterminer une base orthonormale de R2 qui soit
orthogonale pour q; donner l’expression de q dans cette nouvelle base.
−ı , →
− ) la
2) On considère dans le plan affine euclidien E rapporté à un repère orthonormé (O, →
conique (C) d’équation 5x2 − 6xy + 5y 2 − 22x + 26y + 35 = 0. Déterminer un repère orthonormé
−ı , →
− ) dans lequel une équation de (C) soit de la forme q(x0 , y 0 ) = r, où r est un réel que l’on
(O0 , →
déterminera. Quelle est la nature de (C) ?
Exercice 18. (Racine carré d’une matrice symétrique définie positive)
Soit un f un endomorphisme symétrique d’un espace vectoriel euclidien E. On note λ1 , . . . , λr
les valeurs propres distinctes de f , E1 , . . . , Er les sous-espaces propres associés, et d1 , . . . , dr leurs
dimensions respectives.
1) On suppose qu’il existe un endomorphisme symétrique défini positif g de E tel que g 2 = f .
Montrer que g ◦ f = f ◦ g ; en déduire que g laisse stable chacun des sous-espaces Ei , que la
restriction gi de g à Ei est diagonalisable, et que ses valeurs propres µ1 , . . . , µdi sont strictement
√
positives.√Montrer que, pour tout 1 ≤ i ≤ r, gi2 = idEi , en déduire que µ1 = · · · = µdi = λi , puis
que gi = λi idEi . Conclure que g est unique.
2) Utiliser la question précédente pour montrer qu’il existe un endomorphisme symétrique défini
positif g de E tel que g 2 = f .
3) Montrer que, pour toute matrice carrée à coefficients dans R définie positive A, il existe une
matrice carrée à coefficients dans R définie positive S telle que A = S 2 .
Exercice 19. (Décomposition polaire d’une matrice inversible)
Soit M une matrice de GL(n, R).
1) Montrer que la matrice S = M t M est symétrique définie positive. Montrer que la matrice
O = (M −1 )t S est orthogonale.
2) Supposons qu’il existe deux matrices symétriques définies positives S, S 0 et deux matrices orthogonales O, O0 telles que M = OS = O0 S 0 . Calculer M t M de deux façon différentes pour conclure
que S = S 0 , puis que O = O0 .
3) En déduire que M s’écrit de façon unique comme le produit d’une matrice orthogonale par une
matrice symétrique définie positive.
Exercice 20. (Projections orthogonales dans un espace vectoriel euclidien)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n; notons b son produit scalaire, et N la norme
euclidienne associée. Soit F un sous-espace de E de dimension m ≤ n.
1) Montrer qu’il existe p ∈ End E unique tel que p(x) ∈ F et x − p(x) ∈ F ⊥ pour tout x ∈ E.
Vérifier que: p ◦ p = p, Im p = F et Ker p = F ⊥ . Montrer que l’on a aussi b(p(x), y) = b(x, p(y))
pour tous x, y ∈ E. L’endomorphisme p est appelé la projection orthogonale de E sur F .
2) Soit B = {e1 , . . . , em } une base orthogonale de F . Montrer que:
m
X
b(x, ei )
p(x) =
ei pour tout x ∈ E.
b(ei , ei )
i=1
3) Soit x un vecteur de E. On appelle distance de x à F le réel d(x, F ) = N (x − p(x)). Montrer
que d(x, F ) est le plus petit élément de l’ensemble { N (x − z) ; z ∈ F }.
Application: soient E = R3 muni du produit scalaire canonique, a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ E, et Q un plan
d’équation b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = 0 pour b = (b1 , b2 , b3 ) non-nul dans E. Calculer d(a, Q).
Exercice 21. (Plus petite et plus grande valeur propre d’une matrice symétrique)
Soit A ∈ Mn (R) symétrique. Soit u l’endomorphisme de E = Rn dont A est la matrice par rapport à
la base canonique B. On note · le produit scalaire canonique de E. Pour tout x ∈ E, et en désignant
par X la matrice colonne des coordonnées de x par rapport à B, on a donc: u(x) · x = t XAX.
1
1) On considère l’application (de Rayleigh) r : E \ {0E } → R définie par r(x) = kxk
2 (u(x) · x).
Montrer que r(E \{0E }) = r(Sn ) où Sn est la sphère unité de E. En déduire qu’il existe xm , xM ∈ E
non-nuls tels que r(xm ) = inf{r(x) ; x ∈ E \ {0E }} et r(xM ) = sup{r(x) ; x ∈ E \ {0E }.
2) Montrer que la plus petite valeur propre λm de A et la plus grande λM sont données par:
t XAX
t XAX
et λM = sup t
, avec r(E \ {0E }) = [λm , λM ].
λm = inf t
X6=0 XX
X6=0 XX
Produits hermitiens, endomorphismes autoadjoints
Exercice 22. (Endomorphismes autoadjoints, endomorphismes normaux)
Soit E un espace hermitien. Montrer que tout endomorphisme u de E s’écrit de façon unique
u = u1 + u2 où u1 est autoadjoint et u2 est anti-autoadjoint (i.e. u∗2 = −u2 ). Montrer qu’alors u est
normal si et seulement si u1 et u2 commutent.
Exercice 23. (Endomorphismes autoadjoints)
Soit E un espace hermitien ; on note h , i son produit hermitien. Soit u un endomorphisme de E.
1) On suppose que u(x)⊥x pour tout x ∈ E. Montrer qu’alors u est l’endomorphisme nul (indication: appliquer l’hypothèse à x + y et x + iy pour x, y ∈ E quelconques). Montrer que le résultat
ne subsiste pas dans le cas réel (penser aux rotations dans le plan euclidien).
2) En déduire que u est autoadjoint si et seulement si hu(x), xi ∈ R pour tout x ∈ E.
Exercice 24. (Valeurs propres des endomorphismes autoadjoints)
On rappelle le théorème fondamental suivant (réétudier sa démonstration): Un endomorphisme
autoadjoint d’un espace vectoriel euclidien ou hermitien est diagonalisable, ses valeurs propres sont
réelles, et on peut trouver une base orthonormée de E formée de vecteurs propres de E.
Soit E = Mn (C) le C-espace vectoriel des matrices carrées n × n à coefficients complexes. On
considère l’application h : E × E → C définie par h(A, B) = tr(AB ∗ ) pour tous A, B ∈ E.
1) Montrer que h est un produit scalaire hermitien.
2) On note N la norme associée à h (norme de Frobenius-Schur) ; pour toute matrice A ∈ E
supposée hermitienne, calculer N (A) en fonctions des valeurs propres de A.
Exercice 25. (Valeurs propres des endomorphismes normaux)
Soit E un espace vectoriel hermitien. Rappelons qu’un endomorphisme u de E est dit normal
lorsqu’il commute avec son adjoint u∗ . Montrer que: un endomorphisme de E est diagonalisable
dans une base orthonormée si et seulement s’il est normal. (Indication: on procède par récurrence
sur la dimension de E ; soit λ une valeur propre de u, vérifier que Eλ⊥ est stable par u∗ et par u,
conclure en considérant les restrictions appropriées). Que peut-on dire des valeurs propres d’un
endomorphisme normal dans le cas autoadjoint ? anti-autoadjoint ? unitaire ?
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 5 : nombres complexes et géométrie
E est un plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct fixé R = (O, B), où
B est une base orthonormée directe de l’espace vectoriel E dirigeant E. Les affixes des points de E
(respectivement des vecteurs de E) sont relatifs au repère R (respectivement à la base B).
Exercice 1. (Equations complexes de droites et de cercles)
−
−
a) Soient →
u,→
u 0 ∈ E non-nuls, d’affixes respectifs z, z 0 ∈ C∗ . Montrer que:
0
→
−
→
−
• u et u 0 sont colinéaires si et seulement zz ∈ R ;
0
→
−
→
−
• u et u 0 sont orthogonaux si et seulement zz ∈ iR ;
→
− →
−
• u · u 0 = 12 (zz 0 + zz 0 ).
b) Montrer que, pour tout u ∈ C∗ et tout γ ∈ R, l’ensemble des points M ∈ E dont l’affixe z est
solution de l’équation:
uz + uz + γ = 0
est une droite (dont un vecteur normal admet u pour affixe). Montrer que réciproquement toute
équation complexe de droite est de ce type. Montrer que, si A, B sont deux points distincts de E
d’affixes a, b une équation de (AB) est : (a − b)z − (a − b)z + ab − ab = 0.
c) Montrer que, pour tout c ∈ C et tout γ ∈ R tels que |c|2 − γ ≥ 0, l’ensemble des points M ∈ E
dont l’affixe z est solution de l’équation:
zz − cz − cz + γ = 0
p
est un cercle (dont le centre admet c pour affixe, et dont le rayon est R = |c|2 − γ). Montrer que
réciproquement toute équation complexe de cercle est de ce type.
Exercice 2. (Racines de l’unité)
En utilisant les propriétés des racines cinquièmes de l’unité dans C, indiquer comment construire
un pentagone régulier à la règle et au compas.
Exercice 3. (Racines de l’unité)
On fixe n un entier naturel non multiple de 3. On note Un le groupe des racines n-ièmes de l’unité
dans C et l’on introduit la fonction polynomiale f : C → C définie par:
Q 2
f (z) =
(z + ζz + ζ 2 ).
ζ∈Un
1) Calculer f (0).
2) Vérifier qu’il existe des entiers a, b tels que an + 3b = 1. En déduire que, si z ∈ Un vérifie z 3 = 1,
alors z = 1. Conclure que z 7→ z 3 définit une bijection de Un − {1} sur Un − {1}, de bijection
réciproque z 7→ z b .
3) Déduire de la question précédente que f (1) = 3.
4) Montrer que, pour tout β ∈ Un , l’application z 7→ z/β définit une bijection de Un sur Un . En
déduire que f (β) = 3.
5) En écrivant z n − 1 comme produit de polynômes de degré 1, en déduire une expression simple
de f (z) comme une somme de trois monômes.
6) On note C le cercle de centre O de rayon 1, P l’ensemble des points de C dont les affixes sont
les éléments de Un , P1 l’image de P par la rotation de centre O et d’angle 2π/3, et P2 l’image de
P par la rotation de centre O et d’angle −2π/3. Pour tout point M de C, on note:
Q
F (M ) = Ω∈P1 ∪P2 ΩM .
Vérifier que P1 et P2 sont disjoints. Montrer que, pour tout point M de C d’affixe z, on a f (M ) =
|f (z)|. En déduire que F (M ) ≤ 3 et déterminer l’ensemble de points M de C tels que F (M ) = 3.
Exercice 4. (Rotations, homothéties)
Pour tout a ∈ C∗ , on note ha la bijection de E sur E dont la détermination complexe est définie
par z 7→ az.
a) Caractériser géométriquement ha lorsque a ∈ R∗ , lorsque |a| = 1, lorsque a ∈ C∗ quelconque.
b) Soient M, N, P ∈ E d’affixes respectifs m, n, p, formant un triangle (M N P ) dans le sens direct.
Montrer que (M N P ) est équilatéral si et seulement si m + jn + j 2 p = 0.
Montrer que (M N P ) est isocèle rectangle en M si et seulement si m = p i+1
− n i−1
2
2 .
c) Montrer que toute bijection ha multiplie les distances par |a| et conserve les angles orientés.
d) Montrer que toute bijection ha transforme une droite en une droite, un cercle en un cercle, une
conique en une conique de même excentricité.
Exercice 5. (Similitudes directes)
Pour tous a ∈ C∗ , b ∈ C, on note sa,b la bijection de E sur E dont la détermination complexe est
définie par z 7→ az + b. Une telle bijection est appelée une similitude directe.
a) Montrer que sa,b = ha ◦ tb/a = tb ◦ ha , où ha = sa,0 est définie comme dans l’exercice précédent,
−−→
et tb = s1,b désigne la translation de vecteur OB avec B le point de E d’affixe b.
En déduire que sa,b est la composée de la translation dont le vecteur a pour affixe b, de la rotation
de centre O dont l’angle est arg a (modulo 2π), et de l’homothétie de centre O dont le rapport est
|a|. Comment s’interprètent ces résultats en termes de sous-groupes du groupe affine de E.
b
b) On suppose a 6= 1 et on note Ω le point de E d’affixe 1−a
. Montrer que sa,b est la composée de
la rotation de centre Ω d’angle arg a (modulo 2π) et de l’homothétie de centre Ω et de rapport |a|.
c) Détermination par deux couples de points homologues: soient (M, N ) et (M 0 , N 0 ) deux couples
de points de E tels que M 6= N et M 0 6= N 0 . Montrer qu’il existe une unique similitude s telle que
s(M ) = M 0 et s(N ) = N 0 . Déterminer ses éléments caractéristiques (rapport, angle, centre) avec
les affixes m, n, m0 , n0 des quatre points de départ.
d) Triangles directement semblables: montrer que deux triangles (M N P ) et (M 0 N 0 P 0 ) sont dim0 −n0
rectement semblables si et seulement si les affixes des sommets vérifient m−n
m−p = m0 −p0 .
Exercice 6 (Autour d’un théorème dit “de Napoléon”)
Soit (ABC) un triangle quelconque.
1) Montrer qu’il existe des points M, N, P uniques situés à l’extérieur du triangle (ABC) tels que
les trois triangles (ACN ), (BAP ) et (CBM ) soient directement semblables.
Montrer qu’alors les triangles (ABC) et (M N P ) ont le même isobarycentre.
Peut-on réciproquement reconstruire (ABC) connaissant (M N P ) ?
2) Si les trois triangles extérieurs sont équilatéraux, montrer que les segments [AM ], [BN ] et [CP ]
sont de même longueur. Quel angle forment-ils entre eux ?
Montrer que les isobarycentres respectifs I, J, K des triangles (ACN ), (BAP ) et (CBM ) forment
un triangle équilatéral.
3) Si les trois triangles extérieurs sont isocèles rectangles (en M , N , P respectivement), Montrer
que les segments [BN ] et [M P ] sont de même longueur et orthogonaux.
Montrer que les droites (AM ), (BN ) et (CP ) sont concourantes.
Exercice 7 (Suite des images itérées d’un point par une similitude directe)
Soit s la similitude de détermination complexe z 0 = 1+i
z. Déterminer son centre et son rapport.
2
−zn
On pose A0 le point d’affixe 1 et An+1 = s(An ) pour tout n ∈ N. En calculant zn+1
zn+1 , déterminer
la nature du triangle OAn An+1 ; en déduire une construction géométrique de An+1 à partir de An .
Comparer les longueurs Ai+1 Ai+2 et Ai Ai+1 pour tout i ∈ N.
n
P
On note Ln =
Ai Ai+1 ; calculer Ln en fonction de n et déterminer sa limite.
i=0
Exercice 8 (Cocyclicité, birapport)
a) Soient A, B deux points distincts de E, d’affixes
respectifs
a, b. Pour tout k ∈ R, on note Xk
z−a l’ensemble des points de E dont l’affixe z vérifie z−b = k.
Déterminer Xk suivant que k < 0, k = 0, k = 1, ou k > 0 avec k 6= 1 (dans le dernier cas, montrer
que Xk est le cercle de diamètre [IJ] où I = Bar{(A, 1), (B, −k)} et J = Bar{(A, 1), (B, k)} ).
b) Soient A, B deux points distincts de E, d’affixesrespectifs
a, b. Pour tout k ∈ R, on note Yk
z−a
l’ensemble des points de E dont l’affixe z vérifie arg z−b = k modulo π.
Montrer que Yk est égal à la droite (AB) (privée des deux points A et B) lorsque k ∈ πZ, et à un
cercle passant pas A et B (privé des deux points A et B) lorsque k ∈
/ πZ.
c) Soient A, B, C, D quatre points de E deux à deux distincts, d’affixes respectifs a, b, c, d. Montrer
b−c
que A, B, C, D sont cocycliques ou alignés si et seulement si le birapport a−c
× a−d
b−d est un nombre
réel.
Exercice 9 (Théorème de Ptolémée)
Montrer qu’un quadrilatère convexe (ABCD) est inscriptible dans un cercle si et seulement si
le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés, c’est-à-dire si et
seulement si AC × BD = AD × BC + AB × DC.
Exercice 10 (Homographies)
Soit I le point de E d’affixe 1. Pour tout a, b ∈ C avec a 6= b, on note A, B les deux points distincts
de E d’affixes a, b, et fa,b la bijection de E \ {B} sur E \ {I} dont la détermination complexe est
z−a
.
définie par z 7→
z−b
a) Montrer que : fa,b = t1 ◦ hb−a ◦ ω ◦ t−b , où:
−→
t1 est la translation de vecteur OI,
−−→
t−b est la restriction à E \ {B} de la translation de vecteur −OB,
hb−a est une similitude définie comme dans l’exercice 2,
ω est la bijection de E \ {O} sur E \ {O} dont la détermination complexe est définie par z 7→ z1 .
b) En déduire que fa,b conserve le birapport de quatre points, deux à deux distincts et différents
de B. Conclure que fa,b transforme quatre points (distincts de B) cocycliques ou alignés en quatre
points (distincts de I) cocycliques ou alignés.
c) Montrer plus précisément que fa,b transforme:
•
•
•
•
une droite passant par B (privée de B) en une droite passant par I (privée de I),
un cercle ne passant pas par B en un cercle ne passant pas par I,
une droite ne passant pas par B en un cercle passant par I (privé de I),
un cercle passant par B (privé de B) en une droite ne passant pas par I.
Indication : on pourra avec la question a) se ramener au seul cas de ω avec I = B = O, et utiliser
les équations complexes de cercle et de droites (exercice 1).
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 6 : angles
Exercice 1. (Le groupe othogonal en dimension 2)
On fixe un R-espace vectoriel euclidien E de dimension 2. Rappeler tout d’abord une démonstration
du fait, pour tout endomorphisme f de E, les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) f est une isométrie vectorielle de E,
(ii) il existe une base orthonormée B de E telle que la matrice de f dans la base B est orthogonale,
(iii) pour toute base orthonormée B de E, la matrice de f dans la base B est orthogonale,
et que, pour toute isométrie vectorielle f de E, on a det f = 1 ou det f = −1.
Les isométries vectorielles de déterminant 1 sont dites directes, ou positives ; elles forment un sousgroupe de O(E), appelé groupe spécial orthogonal et noté SO(E) ou O+ (E). Les isométries vectorielles
de déterminant -1 sont dites indirectes, ou négatives ; elles forment un sous-ensemble de O(E) noté
O− (E) (ce n’est pas un groupe).
On rappelle que, si D est une droite de E, on appelle réflexion vectorielle d’axe D la symétrie
orthogonale par rapport à D, et qu’on définit une rotation vectorielle comme la composée de deux
réflexions vectorielles.
a) Montrer qu’une réflexion est une isométrie vectorielle, que la bijection réciproque d’une réflexion
sD est s−1
D = sD , et que l’ensemble des vecteurs fixés par sD est égal à la droite D.
b) Montrer qu’une rotation est une isométrie vectorielle, que la bijection réciproque d’une rotation
r = sD0 ◦ sD est la rotation r−1 = sD ◦ sD0 , et que l’ensemble des vecteurs fixés par r est réduit à
{0} dès lors que D 6= D0 .
c) Soit B une base orthonormée de E. Soit f un endomorphisme de E. Montrer que:
• f est une réflexion si et seulement s’il existe deux réels a et b vérifiant a2 + b2 = 1 tels que la
b ,
matrice de f relativement à la base B soit égale à ab −a
• f est une rotation si et seulement s’il existe deux réels a et b vérifiant a2 + b2 = 1 tels que la
.
matrice de f relativement à la base B soit égale à ab −b
a
d) Déduire des questions précédentes que : les isométries directes du plan vectoriel E sont les
rotations vectorielles ; les isométries indirectes du plan vectoriel E sont les réflexions vectorielles.
e) Montrer que le groupe O+ (E) des rotations vectorielles du plan E est abélien, isomorphe au
groupe quotient R/2πZ, donc au groupe des nombres complexes de module 1.
f ) (Non-unicité de l’écriture d’une rotation comme composée de deux réflexions) : montrer que,
si r est une rotation vectorielle de E, alors, pour toute droite D, il existe une droite D0 telle que
r = sD ◦ sD0 et une droite D00 telle que r = sD00 ◦ sD .
−
−
g) (Propriété fondamentale pour la définition des angles) : montrer que, si →
u et →
v sont deux
−
−
vecteurs non-nuls de même norme dans E, il existe une unique rotation r de E telle que r(→
u) =→
v.
Exercice 2 (Angles de vecteurs)
−
E est toujours un R-espace vectoriel euclidien E de dimension deux. Pour tout →
u ∈ E non-nul,
→= 1 →
−
→
−
on convient de noter −
u
u
le
normalisé
unitaire
de
u
.
On
note
U
l’ensemble
des couples
−
→
1
kuk
de vecteurs unitaires de E. On rappelle qu’un angle est une classe d’équivalence pour la relation
−
−
−
−
−
−
∼ définie dans U par : (→
u,→
v ) ∼ (→
u 0, →
v 0 ) s’il existe une rotation r de E telle que →
u 0 = r(→
u)
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
0
\
et v = r( v ). On note ( u , v ) l’angle d’un couple de vecteurs ( u , v ) ∈ U, et l’on définit par
−
−
→
→
−
→
− →
−
\
\
(→
u,→
v ) = (−
u
1 , v1 ) l’angle d’un couple de vecteurs quelconques non-nuls ( u , v ) de E.
On note A l’ensemble des angles de vecteurs.
−
−
−
−
a) Montrer que, pour tous couples (→
u,→
v ) et (→
u 0, →
v 0 ) de U, les assertions suivantes sont équivalentes:
−
- l’unique rotation qui envoie →
u sur
→
- l’unique rotation qui envoie −
u sur
→
−
→
−
→
−
→
−
\
\
0
0
- les angles ( u , v ) et ( u , v ) sont
→
−
−
−
u 0 est égale à l’unique rotation qui envoie →
v sur →
v 0,
→
−
→
−
→
−
0
v est égale à l’unique rotation qui envoie u sur v 0 ,
égaux.
−
−
\
b) On considère l’application ψ : A → O+ (E) qui, à tout (→
u,→
v ) ∈ A, associe l’unique rotation
−
→
→
−
+
f ∈ O (E) telle que f (u1 ) = v1 . Montrer que ψ est bien définie (indépendamment des représentants
choisis pour l’angle), et qu’elle est bijective de A sur O+ (E).
−
−
−
−
−
−
−
−
\
\
0, →
0, →
c) On définit la somme de deux angles par: (→
u,→
v ) + (→
u\
v 0 ) = ψ −1 [ψ (→
u,→
v ) ◦ ψ (→
u\
v 0 )].
Montrer que A est un groupe abélien pour cette addition, et que ψ est un isomorphisme de groupes.
−
−
−
−
−
−
−
−
−
\
\
\
Montrer que l’on a la relation de Chasles: (→
u,→
v ) + (→
v ,→
w ) = (→
u,→
w ) quels que soient →
u,→
v ,→
w
non-nuls dans E.
Exercice 3. (Quelques résultats élémentaires pour mettre en pratique les définitions précédentes)
Soit E un R-espace affine euclidien de dimension 2, d’espace vectoriel associé E.
1) Montrer que toute réflexion de E transforme un angle de vecteurs en son opposé. [Indication:
−
−
pour une réflexion sD d’axe D et deux vecteurs unitaires →
u,→
v distincts, considérer la rotation
→
−
→
−
0
⊥
sD ◦ sD0 où D = ( u − v ) ].
2) Soient A, B, C trois points distincts de E. Montrer que:
−−→
−→
−−→
−−→
−→
−−→
\
\
\
(AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) est l’angle plat.
3) Soit C un point de la médiatrice d’un segment [A, B] dans E. Montrer que:
−−→
−→
−−→
−−→
\
\
(AB, AC) = (BC, BA).
4) Prouver le théorème de l’angle inscrit: si A, B, C sont trois points distincts d’un cercle de centre
O dans E, on a:
−→
−−→
−→
−−→
\
\
(OA, OB) = 2(CA, CB).
Exercice 4. (Orientation du plan, mesures d’angles de vecteurs)
On suppose ici que le R-espace vectoriel euclidien de dimension deux E est orienté (on rappellera
avec précision ce qui cela signifie).
a) Soit r ∈ O+ (E) une rotation vectorielle. Montrer qu’il existe θ ∈ R tel que la matrice de r dans
θ − sin θ .
toute base orthonormée directe de E soit égale à Rθ = cos
sin θ
cos θ
Montrer que la matrice de r dans toute base orthonormée indirecte de E est alors égale à R−θ .
b) Pour tout réel θ, notons rθ l’unique rotation dont la matrice par rapport à toute base orthonormée
directe est la matrice Rθ . Montrer que l’application r : R → O+ (E) définie par θ 7→ rθ est un
morphisme de groupes, surjectif, de noyau 2πZ.
→
→
\
On rappelle qu’on appelle mesure d’un angle de vecteurs (−
u,−
v ) tout réel θ (non unique mais défini
→
→= 1 −
u sur le vecteur unitaire
modulo 2π) tel que l’unique rotation qui envoie le vecteur unitaire −
u
−
1
k→
uk
−
→
→
1 −
v1 = k→
v soit la rotation rθ définie ci-dessus.
−
vk
c) Montrer que l’application qui, à un angle de vecteurs, associe la classe modulo 2πZ de ses mesures
définit un isomorphisme de groupes additifs de A dans R/2πZ.
d) Montrer que l’on peut définir sans ambiguı̈té le cosinus et le sinus d’un angle de vecteurs comme
le cosinus et le sinus de l’une quelconque de ses mesures. Montrer qu’avec cette définition, on a:
→
→
−
→
→
[−
u ,−
v]
−
−
−
−
u ·−
v
\
\
cos (→
u,→
v)= −
et sin (→
u,→
v)= −
→ −
→
→ −
→ ,
kukk v k
kukk v k
−
−
−
−
où →
u ·→
v et [→
u,→
v ] désignent respectivement le produit scalaire et le produit mixte.
Exercice 5. (Quelques résultats élémentaires pour mettre en pratique les définitions précédentes)
Soit E un R-espace affine euclidien de dimension 2 orienté. Soient A, B, C trois points non-alignés
de E. On note a = BC, b = CA et c = AB les longueurs des côtés, et α, β, γ les mesures respectives
−−→
−→ −−→
−−→
−→
−−→
\
\
\
des angles (AB, AC), (BC, BA) et (CA, CB). On pose aussi p = 12 (a + b + c) le demi périmètre
du triangle ABC et S son aire. On désigne enfin par R le rayon du cercle circonscrit au triangle
ABC. Montrer les relations suivantes:
p
a
b
c
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α,
2R =
=
=
,
S = p(p − a)(p − b)(p − c).
sin α
sin β
sin γ
Exercice 6. (Angles de droites).
Soit E un R-espace vectoriel euclidien de dimension 2. On reprend les notations de l’exercice 2.
1) Montrer que la relation ≈ définie dans U par:
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(→
u,→
v ) ≈ (→
u 0, →
v 0 ) si et seulement (→
u,→
v ) ∼ (→
u 0, →
v 0 ) ou (→
u,→
v ) ∼ (−→
u 0, →
v 0)
est une relation d’équivalence dans U.
\
2) On rappelle que, si D et ∆ sont deux droites vectorielles dans E, l’angle de droites (D,
∆) est
→
−
→
−
→
−
→
−
défini comme la classe déquivalence de ( u , v ) pour la relation ≈, où u et v sont des vecteurs
directeurs unitaires de D et ∆ respectivement.
−
−
−
−
Montrer que: si D, ∆, D0 , ∆0 sont des droites de E de vecteurs unitaires respectifs →
u,→
v ,→
u 0, →
v 0,
on a:
−
−
−
−
\
0, →
0 , ∆0 )
\
\
si et seulement 2(→
u,→
v ) = 2(→
u\
v 0 ).
(D,
∆) = (D
|
{z
}
{z
}
|
angles de droites
Vérifier que les angles de droites forment un groupe
sous-groupe d’ordre 2 engendré par l’angle plat.
angles de vecteurs
A0
isomorphe au groupe quotient de A par le
3) Indiquer comment, lorsque E est supposé orienté, on peut définir modulo π la notion de mesure
d’un angle de droites, et en déduire un isomorphisme de groupes de A0 dans R/πZ.
4) Rappeler comment sont définies les bissectrice d’une paire de droites {D, D0 } distinctes dans E.
\
\
Montrer que, si ∆ est une bissectrice de D et D0 , on a l’égalité d’angles de droites (D,
∆) = (∆,
D0 ).
Exercice 7. (Quelques résultats élémentaires pour mettre en pratique les définitions précédentes)
Soit E un R-espace affine euclidien de dimension 2.
1) (Condition limite du théorème de l’angle inscrit). Montrer que, si A et B sont deux points
distincts d’un cercle de centre O dans E et si T est la tangente en B au cercle, on a l’égalité:
−→
−−→
\
\T ).
(OA, OB) = 2((AB),
2) (Condition de cocyclicité). Soient A, B, C trois points non alignés de E. Un point D de E est
sur le cercle qu’ils déterminent si et seulement si on a l’égalité d’angles de droites:
\
\
((CA),
(CB)) et ((DA),
(DB)).
En déduire que quatre points A, B, C, D de E sont cocycliques ou alignés si et seulement si les
\
\
angles de droites ((CA),
(CB)) et ((DA),
(DB)) sont égaux.
Exercice 8. (Angles géométriques et bissectrice intérieure)
Soit E un espace affine euclidien de dimension 2, d’espace vectoriel directeur E.
−
−
Rappelons que le terme d’angle géométrique de deux vecteurs →
u et →
v est utilisé lorsque l’on
→
−
→
−
→
−
→
−
\
\
identifie les angles opposés ( u , v ) et ( v , u ) en ne retenant que celui des deux dont la mesure
est dans [0, π]. Elle est usuellement confondue avec celle de secteur angulaire défini par deux-demi
droites.
Soient d et d0 deux demi-droites de E d’origine A. Soient D et D0 les deux droites vectorielles de
−
−
E supportant d et d0 respectivement. Soient →
u et →
v des vecteurs directeurs respectifs de d et d0 .
0
Soit S l’enveloppe convexe de la réunion d ∪ d .
1) Donner des vecteurs directeurs des bissectrices des droites D et D0 ?
2) Montrer qu’une seule de ces deux bissectrices intersecte S en un autre point que A.
3) En déduire que, dans un triangle non aplati ABC, une seule des deux bissectrices de l’angle en
A (comment est-il défini ?) intersecte le segment B, C]. On l’appelle la bissectrice intérieure de cet
angle.
Exercice 9. (Le groupe orthogonal en dimension 3)
On fixe un R-espace vectoriel euclidien E de dimension 3. On note O(E) le groupe des isométries
vectorielles de E, O+ (E) le sous-groupe des isométries directes, O− (E) le sous-ensemble des
isométries indirectes.
a) Soit u ∈ O+ (E) tel que u 6= idE . Montrer que D = {x ∈ E ; u(x) = x} est une droite vectorielle.
Montrer que P = D⊥ est un plan vectoriel stable par u, et que la restriction u0 de u à P est une
rotation plane. Ecrire la matrice de u dans une base orthonormée {v1 , v2 , v3 } telle que v1 , v2 ∈ P
et v3 ∈ D. Montrer que l’angle θ de u0 vérifie cos θ = 21 (Tru − 1). On dit que u est la rotation de
E, d’axe D et d’angle θ.
b) Soit u ∈ O− (E) tel que u 6= − idE . Montrer que D = {x ∈ E ; u(x) = −x} est une droite
vectorielle. Montrer que P = D⊥ est un plan vectoriel stable par u, et que la restriction u0 de
u à P est une rotation plane. Ecrire la matrice de u dans une base orthonormée {v1 , v2 , v3 } telle
que v1 , v2 ∈ P et v3 ∈ D. Montrer que l’angle θ de u0 vérifie cos θ = 21 (Tru + 1). Ainsi, u est la
composée s ◦ ρ de la symétrie orthogonale s par rapport au plan P et de la rotation ρ ∈ O+ (E)
d’axe D et d’angle θ.
c) Déterminer géométriquement les isométries dont la matrice par rapport à la base canonique de
E = R3 est:
0 0 −1 −2 1 1 −2
−2 1 −2
−1 0 0
et
3
0 1 0
1 −2 −2
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 7 : espaces affines, barycentres
Exercice 1. Soit E un espace affine euclidien de dimension n ≥ 2. On fixe un réel a > 0. On
considère dans E trois points distincts non alignés A, B, C tels que AB = 3a, AC = 4a et BC = 5a.
On note ψ l’application E → R définie par ψ(M ) = −5M A2 + 4M B 2 + 3M C 2 pour tout M ∈ E.
a) Soit G le barycentre de {(A, −5), (B, 4), (C, 3)}. Exprimer les coordonnées de G dans le repère
−−→ −→
orthogonal (A ; AB, AC) du plan (ABC). En déduire la valeur de ψ(G) en fonction de a, puis pour
tout point M ∈ E l’expression de ψ(M ) en fonction de a et de M G.
b) Déterminer pour tout k ∈ R l’ensemble Sk des points M ∈ E vérifiant ψ(M ) = ka2 .
Exercice 2. Soit E un espace affine de dimension 3 sur R. On fixe quatre points non coplanaires
−−→ −→ −−→
A, B, C, D dans E. On note R le repère cartésien (A ; AB, AC, AD) de E. On introduit les
points: E le barycentre de {(A, 1), (B, a)}, F le barycentre de {(B, 1), (C, b)}, G le barycentre
de {(C, 1), (D, c)} et H le barycentre de {(D, 1), (A, d)}, où a, b, c, d ∈ R différents de −1.
a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c, d pour que les quatre points
E, F, G, H soient coplanaires.
b) Expliciter une équation cartésienne par rapport à R de chacun des plans (ECD), (F DA),
(GAB) et (HBC). En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c, d pour que
ces quatre plans aient un point commun.
Exercice 3. Soit E un espace affine euclidien de dimension 2. On fixe un repère orthonormé R de
E (toutes les coordonnées considérées sont par rapport à ce repère). On considère trois réels b > 0,
c > 0 et k 6= −1, ainsi que les points B(b, 0) et C(0, c). On note M le barycentre de {(B, 1), (C, k)}.
a) Calculer les coordonnées de M et la distance OM en fonction de b, c, k.
b) Déterminer la valeur de k et de OM : (i) lorsque (OM ) est la médiane issue de O du triangle
(OBC), (ii) lorsque (OM ) est la hauteur issue de O du triangle (OBC), (iii) lorsque (OM ) est la
bissectrice intérieure issue de O du triangle (OBC).
c) Calculer les coordonnées des points E et D tels que (BCDE) soit un carré (attention, il y a
plusieurs solutions).
d) Soient N et P les projetés orthogonaux de M sur les (OB) et (OC) respectivement. Exprimer
l’aire A du rectangle (ON M P ) en fonction de b, c, k ; pour quelle valeur de k est-elle maximale ?
Exercice 4. Soient A, B, C trois points non aligné d’un plan affine E, et a, b, c trois réels tels que
a + b 6= 0, b + c 6= 0 et a + c 6= 0. On considère : A0 le barycentre de {(B, b), (C, c)}, B 0 le barycentre
de {(A, a), (C, c)} et C 0 le barycentre de {(A, a), (B, b)}.
a) Soient α, β, γ trois réels de somme non-nulle, et M le barycentre de {(A, α), (B, β), (C, γ)}.
Montrer que M ∈ (AA0 ) si et seulement si cβ = bγ.
b) Montrer que: (i) si a + b + c 6= 0, alors les trois droites (AA0 ), (BB 0 ) et (CC 0 ) sont concourantes;
(ii) si a + b + c = 0, alors les trois droites (AA0 ), (BB 0 ) et (CC 0 ) sont parallèles.
Exercice 5. Soient C1 et C2 deux parties convexes d’un espace affine E. Montrer que l’ensemble C
formé de tous les points M ∈ E pour lesquels il existe M1 ∈ C1 et M2 ∈ C2 tels que M soit le milieu
de (M1 , M2 ) est convexe.
Application : en prenant E de dimension 2, C1 = [A, B] et C2 = [C, D] avec A, B, C, D ∈ E,
déterminer C (et faire un dessin !) dans chacun des cas suivants:
−−→ −−→
(i)
AB = CD
(ii) milieu de (A, B) = milieu de (C, D)
(iii) C = milieu de (A, B) et D ∈
/ (AB)
(iv) D = A et C ∈
/ (AB)
Exercice 6. Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. On fixe un repère orthonormé R
de E (toutes les coordonnées de points et équations de sous-espaces considérées sont par rapport à
ce repère). On fixe a ∈ R, a 6= 0. On considère les quatre plans Fi , pour 1 ≤ i ≤ 4, d’équations
respectives:
F1 : x + y + z = 3a
F2 : x − y + z = 7a
F3 : x + y − z = a
F4 : −x + y + z = a.
a) Montrer que F2 ∩ F3 ∩ F4 est un singleton {A} et déterminer les coordonnées de A. Déterminer
de même F1 ∩ F3 ∩ F4 = {B}, F1 ∩ F2 ∩ F4 = {C} et F1 ∩ F2 ∩ F3 = {D}. Montrer que A, B, C, D
ne sont pas coplanaires.
b) Déterminer une équation de chacun des trois plans H, H0 , H00 , plans médiateurs respectifs des
bipoints (A, B), (A, C) et (A, D). Déterminer le centre Ω et le rayon de la sphère circonscrite au
tétraèdre ABCD.
c) On note A0 le projeté orthogonal de A sur F1 . Donner une représentation paramétrique de
la droite (AA0 ) et montrer qu’elle passe par Ω ; déterminer les coordonnées de A0 et calculer la
distance d(Ω, F1 ). Calculer de même d(Ω, Fi ) pour i = 2, 3, 4.
d) Déterminer l’isobarycentre des points A, B, C, D.
Exercice 7. Soit ABC un triangle d’un plan affine E. On fixe un réel p ∈ 0, 12 et on considère
−−→
−−→
−−→ −−→
−−→
−→
les points A0 , B 0 , C 0 de E définis par AC 0 = pAB, BA0 = pBC et CB 0 = pCA. Les droites (AA0 )
et (BB 0 ) se coupent en un point K, les droites (BB 0 ) et (CC 0 ) en un point I, les droites (AA0 ) et
(CC 0 ) en un point J. Le but de l’exercice est de comparer les aires des triangles IJK et ABC.
a) Ecrire les points A0 , B 0 , C 0 comme barycentres des points A, B, C. Montrer que le point I est
p2
barycentre de A, B, C affectés des coefficients respectifs p, 1−p
et 1 − p. Exprimer de même J et
K comme des barycentres de A, B, C.
b) Montrer que I est le barycentre des deux points C et J affectés des coefficients respectifs 1 − 2p
et p. Exprimer de même J comme barycentre de A et K, et K comme barycentre de B et I.
c) On note A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 les aires respectives des triangles ABC, ABJ, AJI, IJK,
BJK, BCK, CIK et ACI. Montrer que A2 /A7 = IJ/CI = (A3 + A4 )/(A5 + A6 ). En posant
λ = IJ/CI, écrire quatre autres égalités du même type pour en déduire A3 /A0 en fonction de λ.
2
Vérifier que λ = 1−2p
et conclure que: Aire (IJK)/Aire (ABC) = p(1−2p)
2 −p+1 .
p
Que devient ce rapport lorsque p = 0 ? p = 21 ? p = 13 ?
Exercice 8 (Cercle des neuf points)
Soient A, B, C trois points non alignés d’un plan affine euclidien E. On note A1 , B1 , C1 les projetés
orthogonaux respectifs de A, B, C sur les droites (BC), (CA), (AB). On note A0 , B 0 , C 0 les milieux
respectifs des (B, C), (A, C), (A, B). On note G l’isobarycentre de (ABC), O le centre du cercle
circonscrit à (ABC) et Ω le centre du cercle circonscrit à (A0 B 0 C 0 ).
a) Montrer qu’il existe A00 , B 00 , C 00 ∈ E tels que A, B, C sont les milieux respectifs de (B 00 , C 00 ),
(A00 , C 00 ) et (A00 , B 00 ). Montrer que les hauteurs (AA1 ), (BB1 ), (CC1 ) de (ABC) sont les médiatrices
des côtés du triangle (A00 B 00 C 00 ); en déduire qu’elles sont concourantes en un point H (l’orthocentre).
b) Soit η l’homothétie de centre G et de rapport −1/2. Montrer que η(A) = A0 , η(B) = B 0 , η(C) =
C 0 , d’où η(O) = Ω. Montrer que G est l’isobarycentre de (A00 B 00 C 00 ), d’où η(H) = O. Conclure
que G, H, O, Ω sont alignés et que Ω est le milieu de (O, H).
c) Soit π la projection orthogonale sur (BC). Montrer que π(H) = A1 , π(O) = A0 , d’où ΩA1 = ΩA0 .
−−→
−→ −−→ −→
d) Montrer que ΩA + ΩH = OA = 2A0 Ω ; en déduire que, si A2 désigne le milieu de (A, H), alors
Ω est le milieu de (A0 , A2 ).
e) Conclure que, pour tout triangle ABC, il existe un cercle (dit cercle des neuf points du triangle) passant par les milieux A0 , B 0 , C 0 des côtés, les pieds A1 , B1 , C1 des hauteurs, et les milieux
A2 , B2 , C2 des bipoints (A, H), (B, H), (C, H), où H est l’orthocentre.
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 8 : applications affines
Exercices préliminaires. Reprendre, lorsqu’elles sont mal connues, les preuves des
résultats des sections 9 à 12 du polycopié de résumé sur les notions de base de la
géométrie affine.
Exercice 1 (translations, homothéties). Soit E un espace affine sur R.
a) Soient A, B deux points distincts de E sur R, et a, b, c des réels fixés tels que a + b + c 6= 0.
Pour tout M ∈ E, on note ϕ(M ) le barycentre de {(A, a), (B, b), (M, c)}. Montrer que l’application
ϕ : E → E ainsi définie est soit une homothétie (déterminer son centre et son rapport) soit une
translation (déterminer son vecteur). Faire un dession illustrant le résultat précédent lorsque E est
de dimension 2 pour (a, b, c) = (1, 2, 3) puis pour (a, b, c) = (1, −1, 2).
b) Soient O, A1 , A2 , . . . , An des points distincts de E sur R, et α1 , α2 , . . . , αn des réels fixés tels que
−−−→ P
P
−−−→
σ = ni=1 αi 6= 0. Pour tout M ∈ E, on note ϕ(M ) le point M 0 défini par OM 0 = ni=1 αi Ai M .
Montrer que l’application ϕ : E → E ainsi définie est soit une homothétie (déterminer son centre et
son rapport) soit une translation (déterminer son vecteur).
Exercice 2 (composée d’homothéties et théorème de Ménélaüs). Soit A, B, C trois points non
alignés d’un plan affine. Soient A0 ∈ (BC), B 0 ∈ (AC) et C 0 ∈ (AB) tels que soient définis les réels:
α=
A0 B
A0 C
β=
B0C
B0A
C0A
.
C0B
0
0
0
A , B , C et
et
On note η1 , η2 , η3 les homothéties de centres respectifs
γ=
de rapports respectifs α, β, γ.
a) On pose ϕ = η1 ◦ η2 ◦ η3 . Vérifier que ϕ(A0 ) ∈ (A0 B). Montrer que, si A0 , B 0 , C 0 sont alignés sur
une même droite D, alors ϕ(D) = D. En déduire qu’alors ϕ(A0 ) = A0 et calculer αβγ.
b) Supposons que αβγ = 1. Montrer que η2 ◦ η3 est une homothétie dont le centre appartient à
(B 0 C 0 ). En déduire que A0 ∈ (B 0 C 0 ).
c) Conclure que A0 , B 0 , C 0 sont alignés si et seulement si αβγ = 1.
Exercice 3 (projections affines, homothéties, théorème de Thalès, théorème de Pappus).
a) Soient D et D0 deux droites d’un plan affine E, sécantes en un point C. Soient A, B deux points
de D, et A0 , B 0 deux points de D0 . Montrer qu’il existe deux homothéties ϑ et ϑ0 de même centre
C telles que ϑ(A) = B et ϑ0 (A0 ) = B 0 ; quels sont leurs rapports ? En introduisant la projection
affine π sur D0 parallèlement à la droite (AA0 ), démontrer que les trois assertions suivantes sont
équivalentes:
AC
A0 C
(i) (AA0 ) // (BB 0 )
(ii) BC
=B
(iii) ϑ = ϑ0
0C
b) Soient D et D0 deux droites distinctes du plan affine E. Soient A, B, C trois points de D et
A0 , B 0 , C 0 trois point de D0 . Montrer que si (AB 0 ) // (BA0 ) et (BC 0 ) // (CB 0 ), alors (AC 0 ) // (CA0 ).
Exercice 4 (Homothéties, translations, théorème de Desargues).
Soient ABC et A0 B 0 C 0 deux triangles sans sommet commun dont les côtés sont deux à deux
strictement parallèles [avec (AB) // (A0 B 0 ), (BC) // (B 0 C 0 ) et (CA) // (C 0 A0 )]. Montrer que les
trois droites (AA0 ), (BB 0 ) et (CC 0 ) sont concourrantes ou parallèles.
Indication: Si (AA0 ) et (BB 0 ) se coupent en un point O, montrer qu’il existe une homothétie ϑ de
centre O telle que ϑ(A) = A0 et ϑ(B) = B 0 . Vérifier qu’alors ϑ(C) = C 0 et conclure que (AA0 ),
(BB 0 ) et (CC 0 ) sont concourrantes. Si (AA0 ) // (BB 0 ), reprendre un raisonnement de même nature
avec des translations au lieu d’homothéties.
Exercice 5 (applications affines et alignement). Soit E un plan affine sur R (supposé de plus
euclidien pour la dernière question).
a) Montrer qu’une application affine conserve l’alignement. Montrer que, E étant rapporté à un
repère cartésien, l’application M (x, y) 7→ M 0 (x3 , 0) conserve l’alignement mais n’est pas affine.
b) Soient A et B deux points distincts fixés de E. Montrer qu’il existe une application affine de E
dans E qui envoie tout point M non aligné avec A et B sur le centre de gravité du triangle (ABM ).
c) Soient A et B deux points distincts fixés de E. Montrer qu’il n’existe pas d’application affine
de E dans E qui envoie tout point M non aligné avec A et B sur l’orthocentre du triangle (ABM )
(construire un contre-exemple).
Exercice 6 (projections affines). Soit E un espace affine de dimension 3 sur R. Soit E son espace
vectoriel directeur. Soit ϕ une application affine de E dans E telle que ϕ n’est pas constante mais
ϕ2 = ϕ ◦ ϕ est constante sur E. On note A le point tel que ϕ2 (M ) = A pour tout M ∈ E.
a) Montrer que l’application linéaire f associée à ϕ vérifie f 6= O et f 2 = O dans End E. Montrer
que Im f ⊂ Ker f avec dim Im f = 1 et dim Ker f = 2.
b) Déterminer l’ensemble des points de E invariants de ϕ. Montrer qu’il existe au moins un point
B dont l’image C = ϕ(B) est différente de A. Montrer que les trois points A, B, C sont non-alignés.
Montrer que l’image par ϕ de l’espace E est égale à la droite (AC).
c) Soit P l’ensemble des points M ∈ E tels que ϕ(M ) = A. Montrer que P est un sous-espace
affine de E et déterminer son sous-espace vectoriel directeur. En déduire que P est un plan affine
contenant la droite (AC) et ne contenant pas le point B.
d) Soit π la projection affine sur la droite (AB) parallèlement au plan P, et soit π 0 la projection
affine sur le plan P parallèlement à la droite (BC). Démontrer que ϕ = π 0 ◦ π.
Exercice 7 (affinités). Soit E un espace affine de dimension 3 sur R, d’espace vectoriel directeur
E. On fixe une base B de E, un point O de E, et l’on considère le repère (O, B) de E. Toutes les
coordonnées et équations de sous-espaces sont relatives à ce repère. On note ϕ l’application de E
dans E qui, à tout point M (x, y, z) associe M 0 = ϕ(M ) dont les coordonnées (x0 , y 0 , z 0 ) sont:
 0
x = 3x + 4y + 2z − 4
y 0 = −2x − 3y − 2z + 4 .
 0
z = 4x + 8y + 5z − 8
a) Montrer que l’ensemble des points de E invariants par ϕ est un plan affine P. Montrer qu’il
−−−−−→
existe une droite vectorielle ∆ de E que l’on déterminera telle que M ϕ(M ) ∈ ∆ pour tout M ∈ E.
−−−−−→
−−−−−→
b) On note π la projection affine sur P parallèlement à ∆. Montrer que M π(M ) = − 21 M ϕ(M ).
c) En déduire qu’il existe un unique réel λ, que l’on déterminera, tel que l’on ait pour tout point
−−−−−−−−→
−−−−−→
M ∈ E l’égalité: π(M )ϕ(M ) = λ π(M )M . Qu’en conclure pour ϕ ?
Exercice 8 (centre du groupe affine). Soit E un espace affine sur R. On note GA(E) le groupe
affine de E et T (E) le sous-groupe abélien des translations.
−1 ◦ τ−
→
→
a) Montrer que, pour toute translation τ−
u de E et toute ϕ ∈ GA(E), la conjuguée ϕ
u ◦ϕ
→
est une translation τ−
v . Que signifie cette propriété en termes de théorie des groupes ? Dans le cas
−
−
où ϕ est une homothétie (de centre A et de rapport λ ∈ R∗ ), exprimer →
v en fonction de →
u et λ.
Déterminer le centralisateur dans GA(E) du sous-groupe T (E) [i.e. par définition le sous-groupe des
applications ϕ ∈ GA(E) telles que ϕ ◦ τ = τ ◦ ϕ pour toute τ ∈ T (E)].
b) Soit η une homothétie (de centre A et de rapport λ ∈ R∗ ). Pour toute ϕ ∈ GA(E), déterminer
la conjuguée ϕ−1 ◦ η ◦ ϕ. Déterminer le centre Z du groupe GA(E).
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 9 : isométries affines
I. Isométries affines du plan
Exercices préliminaires. Reprendre les preuves de tous les résultats des sections 3 à
6 du polycopié de résumé sur les isométries du plan, en particulier ceux relatifs
- à la description des translations, rotations, réflexions et symétries glissées,
- à la composition de ces différents types,
- à la classification par les ensembles de points fixes,
- à l’engendrement du groupe des isométries par les réflexions.
Exercice 1. (Détermination d’une isométrie par l’image d’une base affine)
a) Soit E un plan affine euclidien. Soient ABC un triangle non aplati de E. Soient A0 , B 0 , C 0 trois
points de E tels que A0 B 0 = AB, B 0 C 0 = BC et C 0 A0 = CA. Montrer que A0 B 0 C 0 est un triangle
non aplati et qu’il existe une unique isométrie de E qui envoie A sur A0 , B sur B 0 et C sur C 0 .
b) Soit E un espace affine euclidien de dimension finie n. Soient (A0 , A1 , . . . , An ) une base affine
de E. Soient (B0 , B1 , . . . , Bn ) une famille de n + 1 points de E telle que Ai Aj = Bi Bj pour tous
0 ≤ i, j ≤ n. Montrer que (B0 , B1 , . . . , Bn ) est une base affine de E et qu’il existe une unique
isométrie affine de E qui envoie Ai sur Bi pour tout 0 ≤ i ≤ n.
Exercice 2. (Forme réduite d’une isométrie)
a) Soit E un plan affine euclidien. En utilisant la classification des isométries de E, vérifier que
toute isométrie affine ϕ de E s’écrit de façon unique sous la forme ϕ = τ ◦ ϕ0 = ϕ0 ◦ τ où ϕ0 est
une isométrie admettant des points fixes et τ est une translation de E. Vérifier que le vecteur de τ
appartient au sous-espace vectoriel directeur du sous-espace affine des points fixes de ϕ0 .
b) Soit E un espace affine euclidien de dimension finie n, d’espace vectoriel directeur E. Soient ϕ
une isométrie affine de E, et f l’isométrie vectorielle de E associée. Montrer que V = Ker(f − idE )
−−−−→ − →
et W = Im(f − idE ) sont supplémentaires dans E. Fixons A ∈ E et décomposons Aϕ(A) = →
u +−
w
→
−
→
−
→
−
−1
avec u ∈ V et w ∈ W ; notons τ la translation de E de vecteur u et posons ϕ0 = τ ◦ ϕ. Montrer
−−−−−→
que τ ◦ ϕ0 = ϕ0 ◦ τ . Montrer que Aϕ0 (A) ∈ W ; en déduire qu’il existe un unique point B ∈ E tel
−−−−−→
−−→
−−→
que Aϕ0 (A) = f (BA) − BA. Montrer que B est un point fixe de E.
Conclure que: toute isométrie affine ϕ de E s’écrit de façon unique sous la forme ϕ = τ ◦ ϕ0 = ϕ0 ◦ τ
où ϕ0 est une isométrie admettant des points fixes et τ est une translation de E ; en outre, le vecteur
de τ appartient au sous-espace vectoriel directeur du sous-espace affine des points fixes de ϕ0 .
Exercice 3. (Groupes d’isométries laissant globalement invariante une partie du plan)
a) Pour toute partie X du plan affine euclidien E, montrer que l’ensemble GX des isométries affines
+
de E laissant X globalement invariante est un sous-groupe de Is(E). En notant G+
X = GX ∩ Is (E)
−
+
−
−
et GX = GX ∩ Is (E), montrer que GX est un sous-groupe de GX , et que l’ensemble GX est soit
vide, soit en bijection avec G+
X.
b) Montrer que si X est fini, alors l’isobarycentre des points de X est un point fixe de toute isométrie
appartenant à GX .
c) Déterminer GX lorsque : (i) X est un singleton formé d’un point de E, (ii) X est une droite
affine D de E, (iii) X est la réunion de deux droites sécantes dans E (distinguer suivant qu’elles
sont ou non perpendiculaires), (iv) X est la réunion de deux droites strictement parallèles dans E
d) Déterminer GX lorsque X est un parallélogramme (distinguer suivant que c’est ou non un
losange, un rectangle, un carré).
e) Déterminer GX lorsque X est un polygone régulier à n sommets (avec n ≥ 3).
Exercice 4. (Sous-groupes finis du groupe des isométries du plan)
On se propose de montrer que : tout sous-groupe fini du groupe Is(E) des isométries d’un plan
affine euclidien est cyclique ou diédral.
Plus explicitement, cela signifie que, pour tout groupe fini G de Is(E), il existe un entier n tel que
G ' Cn (auquel cas n = |G|) ou G ' Dn (auquel cas |G| est pair et n = |G|/2).
a) Soit G un sous-groupe fini de Is(E), d’ordre n, que l’on suppose ici inclus dans Is+ (E). Montrer que G est cyclique engendrée par la rotation de centre O et d’angle 2π/n, où O désigne
l’isobarycentre de l’ensemble fini XA = {ϕ(A) ; ϕ ∈ G} pour A ∈ E arbitrairement choisi.
b) Soit G un sous-groupe fini de Is(E) tel que G− = G ∩ Is− (E) contienne au moins un élément σ.
Montrer que, si l’on note n l’ordre de G+ = G ∩ Is+ (E), alors il existe un point O et une droite
affine D passant par O tels que G+ est cyclique engendré par la rotation ρ de centre O et d’angle
2π/n, et G est engendré par ρ et σ.
Exercice 5. (Conservation de la distance et applications affines)
Soit E un espace affine euclidien, d’espace vectoriel directeur E. Soit ϕ une application de E dans
E conservant la distance. Fixons A ∈ E et considérons l’application f : E → E qui à tout vecteur
−−−−−−−→
−−→ −
→
−
−
u associe f (→
u ) := ϕ(A)ϕ(M ), où M désigne le point de E tel que AM = →
u.
→
−
→
−
→
−
−
−
−
Montrer que l’application f ainsi construite vérifie f ( 0 ) = 0 et kf ( u ) − f (→
v )k = k→
u −→
v k pour
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
tous u , v ∈ E, puis f ( u ) · f ( v ) = u · v ; en déduire que f est linéaire.
Conclure que, s’il est d’usage de définir une isométrie affine de E comme une application affine de
E dans E conservant la distance, on peut dans cette définition omettre le mot “affine”.
Exercice 6. (Points fixes communs à un sous-groupe d’isométries)
Soient E un espace affine euclidien, G un sous-groupe de Is(E) et G+ = G ∩ Is+ (E). On considère
les trois assertions: (i) tout élément de G admet (au moins) un point fixe ; (ii) il existe (au moins)
un point fixe commun à tous les élements de G ; (iii) il existe (au moins) un point fixe commun à
tous les éléments de G+ . Il est clair que (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i).
a) On suppose que l’on a (ii) ; on note V l’ensemble des points fixes communs à tous les éléments de
G+ . Montrer que V est un sous-espace affine de E. Vérifier que, pour tous ϕ ∈ G+ et ψ ∈ G \ G+ ,
on a ψ −1 ◦ ϕ ◦ ψ ∈ G+ , et en déduire que V est stable par ψ. En déduire que toute isométrie
θ ∈ G stabilise V et se restreint en une isométrie θ0 ∈ Is(V) de V. Montrer que, si ψ et η sont
deux isométries dans G \ G+ , alors η = ψ ◦ ϕ pour un certain ϕ ∈ G+ ; vérifier qu’alors η 0 = ψ 0 et
ψ ◦ ψ 0 = idV ; en déduire que ψ admet des points fixes dans V. Conclure que (ii) ⇒ (iii).
b) On suppose que l’on a (i) et que E est de dimension 2. Vérifier que, pour toutes ρ1 , ρ2 ∈ G+ ,
−1
+
l’isométrie τ = ρ1 ◦ ρ2 ◦ ρ−1
1 ◦ ρ2 est une translation. En déduire que G est abélien. En déduire
que le centre de toute rotation ρ1 ∈ G+ distincte de idE est un point fixe de toute autre rotation
ρ2 ∈ G+ . Conclure que, en dimension 2, (i) ⇒ (ii).
Exercice 7. (Similutudes)
Soit E un plan affine euclidien de plan vectoriel directeur E. On généralise la notion d’isométrie
en appelant similitude de E toute application affine ϕ de E dans E pour laquelle il existe un réel
k > 0 tel que ϕ multiplie les distances par k [i.e. ϕ(M )ϕ(N ) = k M N pour tous M, N ∈ E]. Une
similitude est directe si le déterminant de son application linéaire associée est positif.
a) Montrer que l’ensemble Sim(E) des similitudes de E est un sous-groupe du groupe affine GA(E)
contenant Is(E) et l’ensemble Sim+ (E) des similitudes directes de E comme sous-groupes normaux.
b) Soit ϕ une similitude directe de E qui n’est pas une isométrie (i.e. de rapport k 6= 1). Montrer
que ϕ s’écrit de façon unique ϕ = ρ ◦ ϑ = ϑ ◦ ρ où ϑ et ρ sont respectivement une homothétie de
rapport k et une rotation, de même centre.
c) Montrer que la détermination complexe d’une similitude directe est de la forme z 7→ az + b avec
a, b ∈ C, a 6= 0 et reprendre en détail les exercices 3 et 4 de la série d’exercices n◦ 6.
II. Isométries affines de l’espace
Exercice 8 (Déplacement). Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3, d’espace
vectoriel associé E. On fixe un repère orthonormé direct R. Soit ϕ l’application E → E qui, à tout
point M de coordonnés (x0 , y 0 , z 0 ) associe ϕ(M ) = M 0 dont les coordonnées (x0 , y 0 , z 0 ) sont:
x0 = −z − 2,
y 0 = −x + 1,
z 0 = y + 1.
1) Montrer que ϕ est un endomorphisme affine sans points fixes, dont l’application linéaire associée
f ∈ End E est une rotation vectorielle de E dont on déterminera l’axe ∆ et l’angle θ (moyennant
le choix d’une orientation de ∆). En déduire que ϕ ∈ Is+ (E).
−−−−−→
−
2) Déterminer l’ensemble D des points M ∈ E tels que M ϕ(M ) ∈ ∆. Montrer qu’il existe →
u ∈∆
−−−−−→
→
−
→
−
tel que M ϕ(M ) = u pour tout M ∈ D. En notant τ la translation de vecteur u dans E et
ρ = τ −1 ◦ ϕ, montrer que ρ est la rotation affine d’axe D et d’angle θ; conclure que ϕ est un vissage.
Exercice 9 (Déplacement). Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3, d’espace
vectoriel associé E. On fixe un repère orthonormé direct R. Soit ϕ l’application E → E qui, à tout
point M de coordonnés (x0 , y 0 , z 0 ) associe ϕ(M ) = M 0 dont les coordonnées (x0 , y 0 , z 0 ) sont :
x0 = −x + 2,
y 0 = z + 1,
z 0 = y + 1.
1) Montrer que ϕ est un endomorphisme affine sans points fixes. Exprimer pour tout point M ∈ E
la distance M ϕ(M ) en fonction des coordonnées de M , déterminer l’ensemble D des points M pour
lesquels cette distance est minimale, et montrer que D est un sous-espace affine de E stable par ϕ.
−−−−−→ −
−
2) Déterminer →
u ∈ E tel que M ϕ(M ) = →
u pour tout M ∈ D. Conclure que ϕ est un vissage.
Exercice 10 (Déplacement). Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3, d’espace
vectoriel associé E. On fixe un repère orthonormé direct R. Soit ϕ l’application E → E qui, à tout
point M de coordonnés (x0 , y 0 , z 0 ) associe ϕ(M ) = M 0 dont les coordonnées (x0 , y 0 , z 0 ) sont :
x0 = 31 (−2x − 2y + z + 1),
y 0 = 13 (−2x + y − 2z + 2),
z 0 = 13 (x − 2y − 2z + 1).
Montrer que ϕ est un vissage dont on déterminera l’axe, l’angle, le vecteur.
Exercice 11 (Antidéplacement). Soit E un espace affine euclidien de dimension 3, d’espace vectoriel
−
−ı , →
− , →
associé E. On fixe un repère orthonormé R = (O, B) avec B = (→
k ).
1) Pour tous a, b ∈ R, on considère fa,b ∈ End E dont la matrice par rapport à B est:
3a+b −4a 0 Ma,b = −4a −3a+b 0
0
b
1
1) Pour quelles valeurs de a et b a-t-on fa,b ∈ GL(E) ? fa,b ∈ O(E) ? Pour a = 15 et b = 0, montrer
que f1/5,0 est une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel F de E.
2) Soit ϕ l’application E → E qui, à tout point M de coordonnés (x0 , y 0 , z 0 ) par rapport à R associe
ϕ(M ) = M 0 dont les coordonnées (x0 , y 0 , z 0 ) sont définies par:
x0 = 53 x − 45 y + 4,
y 0 = − 45 x − 53 y − 3,
z 0 = z.
[a] Montrer que ϕ ∈ Is− (E).
[b] Soit P le plan affine passant par O et dirigé par le plan
−ı , →
− ) ; montrer que P est globalement invariant par ϕ. On note ψ la restriction
vectoriel de base (→
−
de ϕ à P. Déterminer l’unique droite affine D de P et l’unique vecteur non-nul →
v de la droite
→
−
→
vectorielle ∆ dirigeant D tels que ψ = ψ0 ◦ τ−
=
τ
◦
ψ
où
ψ
désigne
la
symétrie
orthogonale
0
0
v
v
par rapport à D dans P.
[c] Soit F le plan affine contenant la droite D et dirigé par le plan
→
−
−
−
→
→
vectoriel F de base (→
v , k ). Déterminer l’unique vecteur →
u ∈ F tel que ϕ = σF ◦ τ−
u = τ−
u ◦ σF
où σF désigne la symétrie orthogonale par rapport à F dans E.
Exercice 12 (Groupe du tétraèdre). Dans un espace affine euclidien E de dimension 3, on considère
l’ensemble X = {A1 , A2 , A3 , A4 } des sommets d’un tétraèdre régulier. On note O l’isobarycentre
des points de X . Pour tout 1 ≤ i ≤ 4, la droite (OAi ) coupe la face opposée au sommet Ai en son
centre de gravité (pourquoi ?) et on note ρi la rotation d’axe (OAi ) et d’angle 2π/3. Notons par
ailleurs α, β, γ les demi-tours (rotations d’angle π) d’axes respectifs la droite D passant par les
milieux de [A1 A2 ] et [A3 A4 ], la droite D0 passant par les milieux de [A1 A3 ] et [A2 A4 ], et la droite
D00 passant par les milieux de [A1 A4 ] et [A2 A3 ].
1) Montrer que l’ensemble G des isométries de E laissant stable (globalement) l’ensemble X est un
sous-groupe de Is(E). En déduire que G+ = G ∩ Is+ (E) en est un sous-groupe, et que G+ est en
bijection avec l’ensemble G− = Is− ∩ Is(E).
2) Montrer que G+ contient le sous-ensemble H des 12 isométries α, β, γ, ρ1 , ρ21 , ρ2 , ρ22 , ρ3 , ρ23 , ρ4 , ρ24
et idE . En déduire que |G| ≥ 24.
3) Soit g : G → S4 l’application définie par la restriction de toute isométrie ϕ ∈ G à la permutation
qu’elle induit entre les 4 sommets A1 , A2 , A3 , A4 . Montrer que g un morphisme de groupes injectif.
En déduire que G est isomorphe au groupe symétrique S4 et que G+ = H est isomorphe au groupe
alterné A4 . Décrire géométriquement chacune des isométries g −1 (σ) lorsque σ décrit S4 .
Exercice 13. Soit E un espace affine euclidien orienté de dimension 3, d’espace vectoriel directeur
−
−
E. On fixe →
w ∈ E non-nul et on note τ la translation de E de vecteur →
w . On considère l’ensemble
+
A des déplacements ϕ ∈ Is (E) tels que ϕ = τ ◦ ϕ ◦ τ .
−
−
1) Montrer que ϕ ∈ A si et seulement l’application linéaire f associée à ϕ vérifie f (→
w ) = −→
w.
→
−
→
−
+
2) Montrer qu’une application f ∈ O (E) vérifie f ( w ) = − w si et seulement si f est une rotation
−
d’angle π et d’axe ∆ inclus dans le plan Vect{→
w }⊥ . En déduire l’ensemble A.
Exercice 14 (Décomposition d’un déplacement en produit de symétries par rapport à des droites).
Soient E un espace affine euclidien de dimension 3, d’espace vectoriel associé E, R = (O, B) avec
−
−ı , →
− , →
B = (→
k ) un repère orthonormé direct. Soient D1 la droite passant par O de vecteur directeur
→
−ı et D la droite passant par A(0, 0, a) de vecteur directeur →
−
−ı + sin α→
− , où a, α ∈ R
u = cos α→
2
fixés. Soient ϕ1 , ϕ2 les symétries orthogonales par rapport aux droites D1 et D2 , et f1 , f2 ∈ O(E)
leurs applications linéaires associées. On pose ϕ = ϕ2 ◦ϕ1 et f ∈ O(E) l’application linéaire associée.
−
−ı + cos α→
− , montrer que
1) Ecrire la matrice M1 de f1 dans la base B. En posant →
v = − sin α→
→
−
→
−
→
−
B 0 = ( u , v , k ) est une base orthonormée directe de E ; écrire la matrice de f2 dans la base B 0 ,
puis la matrice M2 de f2 dans la base B. En déduire la matrice M de f dans la base B. Pour quels
α ∈ R a-t-on M = I3 ? Quelle est alors la nature de ϕ ? Montrer que lorsque M 6= I3 , f est une
→
−
rotation d’axe la droite vectorielle ∆ engendrée (et orientée) par k et d’angle 2α. Quel est dans
ce cas la nature de ϕ ?
2) Montrer que ϕ(O) a pour coordonnées (0, 0, 2a). En déduire les coordonnées (x0 , y 0 , z 0 ) de ϕ(M )
en fonction des coordonnées (x, y, z) de M . Montrer que, si α ∈ πZ, alors ϕ est une translation
(déterminer son vecteur). Montrer que, si α ∈
/ πZ, alors ϕ est un vissage (déterminer son axe, son
angle, son vecteur) ; dans quel cas est-ce une rotation ?
3) Déduire des questions précédentes que tout déplacement ϕ ∈ Is+ (E) est la composée de deux
symétries orthogonales par rapport à des droites, en indiquant comment choisir ces droites en
fonction de la nature de ϕ.
Exercice 15 (Isométries échangeant deux droites non coplanaires). Soient D1 et D2 deux droites
non coplanaires d’un espace affine euclidien E de dimension 3, d’espace vectoriel associé E. Soit D
la droite de E perpendiculaire à D1 et D2 ; on note {A1 } = D1 ∩ D et {A2 } = D2 ∩ D.
Soit ϕ ∈ Is(E) telle que ϕ(D1 ) = D2 et ϕ(D2 ) = D1 . Soit f ∈ O(E) son application linéaire associée.
Montrer que ϕ(D) = D, ϕ(A1 ) = A2 et ϕ(A2 ) = A1 . En déduire que ϕ admet un point fixe O.
Déterminer ϕ, en distinguant suivant que D1 et D2 sont ou non orthogonales.
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 10 : Courbes paramétrées du plan
Exercice 1. (Un exemple introductif ). Etudier la courbe définie par les équations paramétriques :
et
t et
x(t) =
,
y(t) =
.
t+1
t+1
On montrera en particulier qu’elle admet un point limite, une asymptote et une branche parabolique
que l’on déterminera. On précisera les tangentes aux points obtenus pour les valeurs 0 et 1 du
paramètre, et on précisera la position de la courbe par rapport à ces tangentes. La courbe admetelle un point d’inflexion ?
Exercice 2. (Etude locale en un point). Pour chacune des quatre courbes suivantes, déterminer si
le point M0 correspondant à la valeur t0 donnée du paramètre est un point réculier ou singulier, et
déterminer la position de la courbe par rapport à la tangente au voisinage de M0 :
a) étude locale en t0 = 0 pour x(t) = t3 + t4 et y(t) = t6 ;
b) étude locale en t0 = 0 pour x(t) = et − t et y(t) = cos t −
t3
6
;
c) étude locale en t0 = 1 pour x(t) = t − t2 et y(t) = t3 ;
d) étude locale en t0 = 0 pour x(t) =
t2
t−1
et y(t) =
t3
t−1 .
Exercice 3. (Détermination de points doubles). Montrer que la courbe plane paramétrée par:
1
x(t) = t + 1 + t−1
,
y(t) = t2 + 1 + 1t ,
admet un unique point double, que l’on déterminera.
Exercice 4. (Quelques exemples classiques). Etudier et tracer les courbes paramétrées suivantes:
a) Cardioı̈de: x(t) = (1 + cos t) cos t, y(t) = (1 + cos t) sin t.
b) Astroı̈de: x(t) = a cos3 t, y(t) = a sin3 t, avec a > 0 fixé.
c) Strophoı̈de droite: x(t) =
1−t2
,
1+t2
d) Lemniscate de Bernouilli: x(t) =
e) Folium de Descartes : x(t) =
2
y(t) = t 1−t
.
1+t2
t
,
1+t4
1
,
1+t3
y(t) =
y(t) =
t3
.
1+t4
t2
.
1+t3
Exercice 5. (Longueur d’un arc de courbe). Dans chacun des deux cas suivants, montrer que l’arc
de courbe considéré est rectifiable et calculer sa longueur.
a) Astroı̈de (voir ci-dessus) pour t ∈ [0, π].
b) Arche de cycloı̈de, paramétrée par: x(t) = R(t − sin t), y(t) = R(1 − cos t) pour x ∈ [0, 2π].
Exercice 6. (Courbes en coordonnées polaires). Dans chacun des cas suivants, étudier (intervalle
d’étude, points limites et branches infinies, points multiples, études locales éventuelles,...) et tracer
les courbes données par leur représentation en coordonnées polaires:
a) Cardioı̈de : ρ = a(1 + cos θ), avec a > 0 réel fixé. Calculer de plus la longueur de la courbe.
b) Spirale logarithmique: ρ = aeλθ , avec a ∈ R∗+ et λ ∈ R fixés.
c) Courbe d’équation polaire: ρ =
2 cos θ+1
2 sin θ+1 .
d) Courbe d’équation polaire: ρ = 1+2 cos 3θ. Calculer de plus l’aire de la portion de plan comprise
entre une petite boucle et une grande boucle de la courbe.
Université Blaise Pascal,
M2, Master Enseignement des Mathématiques,
année 2011-2012
Algèbre et Géométrie II
série d’exercices n◦ 11 : Coniques
On se place dans tous les exercices dans un plan affine euclidien orienté E.
Exercice 1. (Paraboles semblables, paraboles isométriques).
1) Soit P une parabole, de foyer F et de directrice D. On note p = d(F, D) son paramètre et S
son sommet. Montrer que, pour toute similitude σ du plan, σ(P) est la parabole de foyer σ(F ) et
de directrice σ(D) ; montrer que son sommet est σ(S) et que son paramètre est λp où λ désigne le
rapport de la similitude σ.
2) Montrer que deux paraboles quelconques sont semblables. Indication : on montrera plus
précisément que, si P et P1 sont deux paraboles quelconques, il existe exactement deux similitudes (l’une directe, l’autre indirecte) transformant P en P1 , que si σ désigne l’une d’elles, l’autre
est σ ◦ s avec s la réflexion par rapport à l’axe de P, et que les deux similitudes sont de même
rapport λ = p1 p−1 (rapport des paramètres des deux paraboles).
3) En déduire que deux paraboles sont isométriques si et seulement si elles ont le même paramètre,
et que le groupe des isométries du plan conservant une parabole donnée se réduit à idE et la réflexion
s par rapport à son axe.
Exercice 2. (Tangentes à une parabole)
On fixe une parabole P de foyer F et de directrice D. On note K le projeté orthogonal de F sur D,
S le sommet de P (milieu de (K, F )), p = F K le paramètre de P, A l’axe focal (droite orthogonale
en K à D, passant donc par S et F ).
−ı , →
− ) le repère orthonormé direct de E dont l’origine est S, tel que →
−ı dirige A avec
Soit R = (S, →
p
p
− dirige D, de sorte qu’une équation de D dans R est x = − .
F ( 2 , 0), et tel que →
2
Rappeler la forme d’une équation cartésienne de P dans le repère R, ainsi qu’une paramétrisation
naturelle de P (les deux pourront être utilise suivant les cas dans les questions qui suivent).
1) (Tangente et normale en un point). Montrer que, en tout point M (α, β) de P, la parabole P
admet une tangente TM qui est la droite d’équation px − βy + pα = 0, et une unique normale NM
qui est la droite d’équation βx + py − pβ − βα = 0.
2) (Description géométrique de la tangente). Montrer que, pour tout point M ∈ P, la tangente TM
est la médiatrice de (F, M 0 ), où M 0 est le projeté orthogonal de M sur D. Montrer que de plus, si
M 6= S, la tangente TM est la bissectrice intérieure en M du triangle isocèle M 0 M F . Montrer que,
si l’on appelle T le point d’intersection de D et TM , alors le triangle M F T est rectangle en F .
3) En déduire que l’ensemble des images de F par toutes les réflexions par rapport aux tangentes
à P est la droite D, et que l’ensemble des images de F par toutes les projections orthogonales sur
les tangentes à P est la droite parallèle à D passant par S.
4) (Tangentes passant par un point donné du plan). Soit M (x, y) un point de P. Montrer que, si
M est intérieur à P (i.e. y 2 < 2px) , il n’existe aucune tangente à P passant par M . Montrer que,
si M est sur P (i.e. y 2 = 2px), la droite TM est l’unique tangente à P passant par M . Montrer que,
si M est extérieur à P (i.e. y 2 > 2px) , il existe exactement deux tangentes à P passant par M .
5) (Intersection de l’axe focal avec la tangente et la normale en un point). Soit M un point de P
−−→ −−−→
distinct de S. Montrer que la normale NM coupe l’axe focal A en le point N tel que F N = M 0 M
(où M 0 désigne toujours le projeté orthogonal de M sur D). Montrer que TM coupe A en le point
−→ −−−→
L tel que LF = M 0 M . En déduire que M 0 M N F est un parallélogramme et que M 0 M F L est un
losange. Montrer que F est le milieu de (L, N ) et que M appartient au cercle de diamètre [L, N ].
Exercice 3. (Equation réduite de l’hyperbole).
On fixe une droite D, un point F n’appartenant pas à D, un réel e > 1. On considère l’hyperbole
H = {M ∈ E ; M F = e d(M, D)}
de foyer F , de directrice associée D, et d’excentricité e.
On note K le projeté orthogonal de F sur D, p = e F K = e d(F, D) le paramètre de H, et
A = Bar{(F, 1), (K, e)} et A0 = Bar{(F, 1), (K, −e)} les sommets de H. On note ∆ = (AA0 ).
1) Construction géométrique “point par point”. Soit H un point quelconque de D. Soient B et B 0
les projetés respectifs de A et A0 sur la droite (F H) parallèlement à D. Soient M et M 0 les points
d’intersection du cercle de diamètre [B, B 0 ] avec la parallèle à ∆ passant par H. Montrer que M
et M 0 sont les points de H se projetant en H orthogonalement sur D.
2) Equation réduite. On pose:
p
p
p
a= 2
, b= √
et c = ea = a2 + b2 .
e −1
e2 − 1
−→ −−→
−ı , →
− ) un repère orthonormé tel que →
−ı = 1 −
→
−
a) Soit R = (O, →
KF KF et OF = c ı . Montrer que H est
x2 y 2
l’ensemble des points dont les coordonnées (x, y) par rapport au repère R vérifient: 2 − 2 = 1.
a
b
b) En déduire les coordonnées de F et des sommets A et A0 ; montrer que O est le milieu de (A, A0 );
donner des équations dans R de D.
c) Montrer que, si l’on appelle s la symétrie centrale de centre O, alors H est encore égale à
l’hyperbole de foyer F 0 = s(F ) et de directrice associée D0 = s(D).
d) Montrer que H = {M ∈ E ; |M F − M F 0 | = 2a} (définition bifocale).
e) Montrer que H = H1 ∪ H2 , où H1 et H2 sont les intersections respectives de H avec le demiplan E1 de frontière D contenant F et le demi-plan E2 de frontière D0 contenant F 0 . Monter que
t 7→ (a ch t, b sh t) définit lorsque t décrit R un paramétrage bijectif de H1 . Donner un paramétrage
analogue pour H2 .
f ) Montrer que H admet deux asymptotes dont on déterminera les
√ équations dans R, et que ces
dernières sont orthogonales si et seulement si l’excentricité e vaut 2 (hyperbole équilatère).
−
−ı − b →
−
→
−
−
−
a→
b→
On pose →
u = ac →
c  et v = c ı + c  . Montrer qu’une équation de H dans le repère
2
→
−
→
−
R0 = (O, u , v ) est: XY = c .
4
Exercice 4. (Ellipse déduite de cercles par affinité)
−ı , →
− ) un repère orthonormé du plan. Soient a > b > 0 deux réels fixés. Soient ϕ
Soient R = (0, →
−ı ) et de rapport b , et ψ l’affinité orthogonale d’axe (O, →
− ) et de
l’affinité orthogonale d’axe (O, →
a
rapport ab .
a) Pour tout point M de coordonnées (x, y) dans R, calculer les coordonnées de ϕ(M ) et ψ(M ).
2
2
b) On note C l’ellipse d’équation xa2 + yb2 = 1 dans R. Soient C1 son cercle principal et C2 son cercle
secondaire de C (même centre O, rayons respectifs a et b). Montrer que C = ϕ(C1 ) = ψ(C2 ).
c) Pour tout M1 ∈ C1 , soient T1 la tangente en M1 au cercle C1 et T la tangente en M = ϕ(M1 ) à
l’ellipse C. Montrer que que T et T1 sont parallèles ou sécantes en un point de l’axe des abscisses.
Montrer de même que pour tout M2 ∈ C2 , la tangente T2 en M2 à C2 et la tangente T en M = ψ(M2 )
à C sont parallèles ou sécantes en un point de l’axe des ordonnées.
d) Application au tracé de l’ellipse par la méthode dite “de la bande de papier”. On fixe un segment
[U, V ] de longueur a + b contenant un point M tel que M V = a et M U = b. Montrer que, lorsque
les extrémités U et V décrivent respectivement l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées, alors M
décrit l’ellipse C. Indication: on pourra montrer que le point P défini par le fait que OP M V soit
un parallélogramme décrit le cercle principal C1 .

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