Exercice 1 4 points Exercice 2 4 points - Lycée Saint

Bac blanc
mars 2007
Lycée Saint- Sernin
Mathématiques - Série S
Les exercices 1, 2, 4 et 5 sont communs à tous les candidats, pas l’exercice 3.
Exercice 1
4 points
u0=0
1. Soit u la suite définie par u = 1 pour tout entier naturel n
 n+1 2−un
a. Calculer u1, u2 et u3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible.
b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie
n
dans É par wn =
n+1
c. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n, un =wn .
n 
2. Soit v la suite de terme général vn défini dans É* par vn =ln
 où ln désigne la fonction logarithme
 n+1 
népérien.
a. Montrer que v1+v2+v3=-ln 4
b. Soit Sn la somme définie pour tout entier naturel non nul n par : Sn =v1+v2+…+vn
Exprimer Sn en fonction de n.
Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.
Exercice 2
4 points
QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point aux quatre premières questions et 1 point à la cinquième, chaque
erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la
note est ramenée à 0.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.
a 0 solution
b 1 solution
1. L’équation e 2x − 3e x − 4 = 0 admet dans Ë
c 2 solutions
d plus de 2 solutions
a n’est jamais négative
b est toujours négative
2. L’expression − e − x
c n’est négative que si x est positif
d n’est négative que si x est négatif
a -0,5
x
b 1
2e − 1
3. lim x
x →+∞ e + 2
c 2
d +∞
a x→ke 2x −1 avec k∈ Ë
b x→ke 2x +1 avec k∈ Ë
4. L’équation différentielle y′=2y−1 a pour ensemble des
solutions
5. Si la fonction h, définie sur Ë, est solution de
(E)
y′-3y=sin(x),
alors une autre solution de (E), définie sur Ë, est
c
x
x→ke 2 −1 avec k∈ Ë
d x→ke 2x +0,5 avec k∈ Ë
a x→ ke 3x − h(x) avec k∈ Ë
3
b x→ ke - 3x +h(x) avec k∈ Ë
c x→ ke 3x +h(x)
d x→ke - 3x − h(x)
3
avec k∈ Ë
avec k∈ Ë
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Bac blanc
mars 2007
Exercice 3
Lycée Saint- Sernin
Mathématiques - Série S
5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O,Å
u ,Å
v ). On prendra pour unité graphique 1 cm.
Pré-requis
- On suppose connues toutes les opérations sur les modules et les arguments des nombres complexes.
- On rappelle que
“ si A et B sont deux points d’affixes respectives a et b, alors l’affixe du vecteur Ä
AB est b−a ”.
Å) ”.
“ pour tout vecteur w non nul, d’affixe z, on a |z |= w et arg(z)=(Å
u ,w
1.
2.
3.
4.
Question de cours
Soient M, N et P trois points du plan d’affixes respectives m, n et p tels que mýn et mýp.
a. Démontrer que arg  p−m =(Ä
MN,Ä
MP)
 n−m 
b. Interprétez géométriquement le nombre  p−m .
 n−m 
On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives
zA =4+i, zB =1+i,
zC =5i,
zD =-3−i
Placer ces points sur une figure.
Soit f l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z′ tel
que :
z′=(1+2i)z−2−4i.
a. Précisez les images des points A et B par f
b. Montrer que f admet un unique point invariant Ω dont on précisera l’affixe ω.
a. Montrer que pour tout nombre complexe z, on a
z′−z=-2i(2−i−z).
b. En déduire pour tout point M différent du point Ω, la valeur MM′ et une mesure en radians de
MΩ
Ä
l’angle (Ä
MΩ,MM′).
c. Quelle est la nature du triangle ΩMM’ ?
d. Soit E le point d’affixe zE =-1−i 3 . Ecrire zE sous forme exponentielle puis placer le point E sur la
figure. Réaliser ensuite la construction du point E’ associé à E.
Exercice 3 bis
5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.
1.
Restitution Organisée des Connaissances :
n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, a et b sont deux entiers relatifs, on rappelle que a est congru à
b modulo n si et seulement si (a−b) est un multiple de n.
a. Démontrer que si a est congru à b modulo n et a′ est congru à b′ modulo n alors aa′ est congru à bb′
modulo n.
b. p est un entier naturel non nul, démontrer que si a est congru à b modulo n alors a p est congru à b p
modulo n.
2.
Etude de congruences modulo 7 :
a. Déterminer le reste de la division euclidienne de 32 2007 par 7.
b. Soit p un entier naturel, montrer que 10 p ≡ 0[7] ⇒ p ≡ 0[7] .
c. Soit m un entier naturel dont l’écriture décimale contient au moins trois chiffres. Il existe donc un
entier naturel d et un entier u, le chiffre des unités, tels que m =10 d + u . On pose m1 = d − 2u .
Démontrer que m ≡ 0[7] ⇔ m1 ≡ 0[7] .
d. En utilisant autant de fois que possible le résultat du c. et sans utiliser la calculatrice, montrer que
l’étude de la divisibilité par 7 du nombre 28 022 007 se ramène à l’étude de la divisibilité par 7 d’un
nombre à deux chiffres que vous déterminerez. Vous pouvez recopier le tableau de la page suivante en
rajoutant autant de lignes que nécessaire.
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Bac blanc
mars 2007
Lycée Saint- Sernin
m
Étape 1
Étape 2
…
28 022 007
2 802 186
u
7
d
Mathématiques - Série S
m1
Conclure quant à la divisibilité de 28 022 007 par 7.
Exercice 4 (exercice à prise d’initiative)
2 points
L'équation sin( x )=ln x  admet-elle des solutions ? Si oui, combien ? Donner, alors, une valeur approchée au
2
centième des éventuelles solutions.
Dans ce type d’exercice, toute tentative argumentée (quand même !) est la bienvenue.
Exercice 5
5 points
On désigne par f une fonction deux fois dérivable sur Ë, par f ′ sa fonction dérivée et par f ″ la dérivée de sa
dérivée, qui vérifient les propriétés suivantes :
2
2
(1) pour tout nombre réel x, f ′( x ) =1+ f ( x )
(2) f ′(0)=1
L’objet de l’exercice est de déterminer toutes les fonctions deux fois dérivables qui vérifient ces deux
conditions.
Partie A
Supposons qu’une telle fonction f existe.
1.
a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f ′( x ) ý 0
b. Calculer f (0).
2.
En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), démontrer que :
pour tout nombre réel x, f ″( x )= f ( x ) où f ″ désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f .
3.
On pose : u = f ’+ f et v = f ’ − f .
a. Calculer u (0) et v (0)
b. Démontrer que u ′= u et v ′=− v .
c. En déduire les fonctions u et v.
x
-x
d. Montrer alors que, pour tout réel x, f ( x )= e − e .
2
Partie B
Réciproque
4.
a. Justifier que la fonction trouvée à la question précédente vérifie les conditions (1) et (2). Conclure par
rapport à l’objet de l’exercice.
b. Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞.
c. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
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