Liste 4 : Axiomes de séparation


J.
Topologie générale
P.
Raskin
Mathonet
Liste 4 : Axiomes de séparation
(i) Montrer que tout sous-espace fermé d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf.
Q
(ii) Déduire du point précédent que si α∈A Xα est de Lindelöf et si Xα est accessible pour
tout α ∈ A 1 , alors Xα est de Lindelöf pour tout α ∈ A.
Exercice 1.
Un espace est de Kolmogoro si, pour tout couple de points distincts, l'un possède
un voisinage qui ne contient pas l'autre 2 .
(i) Démontrer que cela équivaut à
Exercice 2.
6 {y}.
x 6= y ⇒ {x} =
6 {y} ⇔ (x ∈
/ {y} ou y ∈
/ {x}).
Suggestion. Montrer que {x} =
(ii) Montrer que R, muni de la topologie engendrée par {]a, +∞[ | a ∈ R}, est de Kolmogoro.
Exercice 3.
Montrer que la topologie conie est la moins ne des topologies accessibles.
(i) Montrer que si f : Y → X est une application continue injective et si X est
accessible (resp. séparé), alors Y est accessible (resp. séparé).
(ii) En déduire que tout sous-espace d'un espace accessible (resp. séparé) est séparé.
(iii) En déduire que si (X, T ) est accessible (resp. séparé) et si T ≤ T 0 , alors (X, T ) est accessible
(resp. séparé).
Exercice 4.
Exercice 5. Montrer que si (X, T ) est séparé, alors les limites des suites convergentes sont uniques.
De plus, montrer que la réciproque est vraie si (X, T ) est un espace à base dénombrable de
voisinages.
Exercice 6.
Montrer que tout espace métrique est accessible, séparé et régulier.
Soient (X, T ) un espace topologique, (Y, T ) un espace topologique séparé et f, g :
X → Y des applications continues telles que f |D = g|D . Montrer que f = g . 3
Exercice 7.
Exercice 8.
On considère la sphère S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1} et l'application
p : S 2 → R : (x, y, z) 7→ x.
On munit R de la topologie euclidienne et S 2 de la topologie initiale T relative à p. Démontrer
que l'espace (S 2 , T ) n'est ni accessible, ni séparé, mais qu'il est régulier.
Exercice 9.
Démontrer que si X est régulier et f : X → Y est continue, ouverte et fermée, alors
f (X) est régulier.
Soient X un ensemble et (Y, T ) un espace topologique séparé. Soit f : X → Y une
application. On munit X de la topologie T initiale relative à f . Démontrer que (X, T ) est séparé
si et seulement si f est injectif.
Exercice 10.
Soit (X, T ) un espace topologique. On appelle rétracte de (X, T ) une partie Y de
X telle qu'il existe une application continue f : X → Y vériant f |Y = idY . Montrer que tout
Exercice 11.
rétracte d'un espace normal est normal.
1. Cette hypothèse est-elle nécessaire ?
2. Méditer sur la diérence avec accessible.
3. Si X et Y sont des espaces métriques, si D est dense dans X , si Y est complet et si f : D → Y est une
application uniformément continue, alors il existe une unique application f˜ : X → Y telle que f˜|D = f .
1
Exercice 12.
Considérons l'ensemble 4 R t R muni de la topologie
{(ω × {0}) ∪ (ω 0 × {1}) | ω, ω 0 ∈ E}.
Dénissons sur cet espace la relation ∼ par
(x, i) ∼ (y, j) ⇔ x = y et (i = j ou x 6= 0).
Montrer que (R t R)/∼ est accessible mais pas séparé, et qu'il est localement homéomorphe à R
(i.e. tout point a un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de R).
4. On pose A t B = (A × {0}) ∪ (B × {1}). Plus généralement,
2
F
α∈A
Bα =
S
α∈A (Bα
× {α}).