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Université BORDEAUX 1 L2/2015 Topologie des espaces métriques
Liste d’exercices no1
(Espaces topologiques)
Exercice 1
Soit E={1,2,3,4,5}.Lesquelles des familles suivantes définissent des topologies sur E?
T1={∅,{1}},T2={∅,{1}{1,2,3,4,5}},T3={∅,{1},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}},
T4={∅,{1,2},{2,4},{1,2,3,4,5}}.
Exercice 2
Donner toutes les topologies sur un ensemble à 3 éléments.
Exercice 3
Soit Rmuni de la topologie usuelle.
1. Trouver les intérieurs et adhérences des ensembles suivants. Lesquels sont ouverts ? fermés ?
(a) R(b) ]0,1[∪]1,3[; (c)[0,3[; (d) {6};(e) {1
n:n∈(Z+)∗}.
2. Soit A={1
n:n∈(Z+)∗}∪]1,2[∪]2,3[∪{4} ∪ (Q∩]7,8]).Déterminer les points limites et les points
isolés du sous-ensemble A. Déterminer les parties suivantes :
◦
A,
◦
A,
◦
◦
A, A,
◦
A,
◦
A.
Exercice 4 (espace topologique séparé)
Soit (X, T)un espace topologique. On dit que Test séparée, (ou que l’espace (X, T)est séparé) si
pour tout (x, y)∈X2,x6=y, il existe deux ouverts U, V ∈ T tels que U∩V=∅,x∈Uet y∈V.
1. Montrer que la topologie usuelle sur Rest séparée.
2. Montrer que la topologie discrète sur ensemble Xest toujours séparée. À quelle condition la
topologie grossière sur Xest-elle séparée ?
3. Parmi les topologies trouvées à l’exercice 2, lesquelles sont séparées ?
4. Pouver qu’un espace topologique est séparé si et seulement si l’intersection des voisinages fermés
d’un point arbitraire est réduite à ce point.
Exercice 5 (topologie des compléments finis)
Soit Xun ensemble. On pose T={U⊂X;U=∅ou X\Ufini}.
1. Montrer que Test une topologie sur X.
2. Décrire Tpour Xfini.
3. Prouver que Test séparée si et seulement si Xest fini.
Exercice 6
On considère l’ensemble des entiers naturels Nmuni de la topologie des compléments finis (cf exer-
cice 5) notée T1.
1. Soient A1={1,4}, A2={2n:n∈N}
Trouver les points intérieurs et les points adhérents de A1et A2dans T1. En déduire leurs adhérences et
leurs intérieurs.
2. Soit T2={∅,{n:n≥k}∞
k=1,N}.Montrer que T2définit une topologie sur Net trouver les
adhérences et les intérieurs de A1et A2dans (E, T2).
Exercice 7
Soit (X, ≤)un ensemble ordonné. Si a∈X, on pose
[a, →[= {x∈X;a≤x}et ] ←, a] = {x∈X;x≤a}.
On note S ⊂ P(X)l’ensemble des réunions de parties de la forme [a, →[.
1. Soient a, b ∈X. Si x∈[a, →[∩[b, →[, vérifier que [x, →[est inclus dans [a, →[∩[b, →[. En
déduire que [a, →[∩[b, →[∈ S, puis que T=S ∪ {∅} ⊂ P(X)est une topologie sur X.
2. Dans cette question, on prend X=Nmuni de l’ordre usuel. Comparer Tavec T2(cf exercice 6).
3. Si x /∈]←, a](a, x ∈X), vérifier que [x, →[∩]←, a] = ∅. En déduire que ]←, a]est fermé.
4. Prouver que l’adhérence (pour T) d’un point a∈X(c’est-à-dire de {a}) vaut ]←, a].
5. Si aet bsont deux points distincts de X, montrer qu’il existe un voisinage (pour T) de l’un ne
comprenant pas l’autre. [on distinguera deux cas, suivant que aet bsont comparables ou non]
6. Expliciter Tquand Xest l’ensemble des parties d’un ensemble à deux éléments, ordonné par
l’inclusion.