Université BORDEAUX 1 L2/2015 Topologie des espaces métriques Liste d’exercices no 1 (Espaces topologiques) Exercice 1 Soit E = {1, 2, 3, 4, 5}. Lesquelles des familles suivantes définissent des topologies sur E ? T1 = {∅, {1}}, T2 = {∅, {1}{1, 2, 3, 4, 5}}, T3 = {∅, {1}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}}, T4 = {∅, {1, 2}, {2, 4}, {1, 2, 3, 4, 5}}. Exercice 2 Donner toutes les topologies sur un ensemble à 3 éléments. Exercice 3 Soit R muni de la topologie usuelle. 1. Trouver les intérieurs et adhérences des ensembles suivants. Lesquels sont ouverts ? fermés ? (a) R (b) ]0, 1[∪]1, 3[; (c)[0, 3[; (d) {6}; (e) { n1 : n ∈ (Z+ )∗ }. 2. Soit A = { n1 : n ∈ (Z+ )∗ }∪]1, 2[∪]2, 3[∪{4} ∪ (Q∩]7, 8]). Déterminer les points limites et les points isolés du sous-ensemble A. Déterminer les parties suivantes : ◦ ◦ ◦ ◦ A, A, A, A, ◦ ◦ A, A. Exercice 4 (espace topologique séparé) Soit (X, T ) un espace topologique. On dit que T est séparée, (ou que l’espace (X, T ) est séparé) si pour tout (x, y) ∈ X 2 , x 6= y, il existe deux ouverts U, V ∈ T tels que U ∩ V = ∅, x ∈ U et y ∈ V . 1. Montrer que la topologie usuelle sur R est séparée. 2. Montrer que la topologie discrète sur ensemble X est toujours séparée. À quelle condition la topologie grossière sur X est-elle séparée ? 3. Parmi les topologies trouvées à l’exercice 2, lesquelles sont séparées ? 4. Pouver qu’un espace topologique est séparé si et seulement si l’intersection des voisinages fermés d’un point arbitraire est réduite à ce point. Exercice 5 (topologie des compléments finis) Soit X un ensemble. On pose T = {U ⊂ X; U = ∅ ou X \ U fini}. 1. Montrer que T est une topologie sur X. 2. Décrire T pour X fini. 3. Prouver que T est séparée si et seulement si X est fini. Exercice 6 On considère l’ensemble des entiers naturels N muni de la topologie des compléments finis (cf exercice 5) notée T1 . 1. Soient A1 = {1, 4}, A2 = {2n : n ∈ N} Trouver les points intérieurs et les points adhérents de A1 et A2 dans T1 . En déduire leurs adhérences et leurs intérieurs. 2. Soit T2 = {∅, {n : n ≥ k}∞ k=1 , N}. Montrer que T2 définit une topologie sur N et trouver les adhérences et les intérieurs de A1 et A2 dans (E, T2 ). Exercice 7 Soit (X, ≤) un ensemble ordonné. Si a ∈ X, on pose [a, → [= {x ∈ X; a ≤ x} et ] ←, a] = {x ∈ X; x ≤ a}. On note S ⊂ P(X) l’ensemble des réunions de parties de la forme [a, → [. 1. Soient a, b ∈ X. Si x ∈ [a, → [∩[b, → [, vérifier que [x, → [ est inclus dans [a, → [∩[b, → [. En déduire que [a, → [∩[b, → [∈ S, puis que T = S ∪ {∅} ⊂ P(X) est une topologie sur X. 2. Dans cette question, on prend X = N muni de l’ordre usuel. Comparer T avec T2 (cf exercice 6). 3. Si x ∈] / ←, a] (a, x ∈ X), vérifier que [x, → [∩] ←, a] = ∅. En déduire que ] ←, a] est fermé. 4. Prouver que l’adhérence (pour T ) d’un point a ∈ X (c’est-à-dire de {a}) vaut ] ←, a]. 5. Si a et b sont deux points distincts de X, montrer qu’il existe un voisinage (pour T ) de l’un ne comprenant pas l’autre. [on distinguera deux cas, suivant que a et b sont comparables ou non] 6. Expliciter T quand X est l’ensemble des parties d’un ensemble à deux éléments, ordonné par l’inclusion.