Feuille 2 - IMJ-PRG

LM360 Math´ematiques 2008
TD de topologie et calcul diff´erentiel– Feuille 2:
Continuit´e, suites, parties denses.
Groupe de TD 5
Exercice 1. Soit χA:E→ {0,1}la fonction caract´eristique de A⊂E:χA(x)=1
si x∈A,χA(x) = 0 sinon.
a) On munit {0,1}de la topologie discr`ete. Montrer que χAest continue en x
si et seulement si x /∈fr A.
b) Donner une condition pour que χAsoit continue sur Eet un exemple o`u χA
n’est continue en aucun point de E.
Exercice 2. Soient Xet Ydes espaces topologiques et une application f:X→Y.
Montrer que fest continue si et seulement si pour toute partie Ade X, on a
fA⊂f(A).
Exercice 3. Soient fet gdeux fonctions continues sur un espace topologique X
et `a valeurs dans un espace topologique s´epar´e Y. V´erifier que l’ensemble
{x∈X/ f(x) = g(x)}
est un ferm´e de X.
Exercice 4. Soient fet gdeux fonctions continues sur un espace topologique X
et `a valeurs dans R.
1Montrer que l’ensemble A={x∈X|1< f(x)<2}est fouvert.
2Montrer que l’ensemble B={x∈X|f(x)≤g(x)}est ferm´e.
Exercice 5. Soit f:X→Yune application.
1On suppose que Yest un espace topologique. D´eterminer la topologie la plus
grossi`ere sur Xtelle que fsoit continue (on montrera en particulier, qu’elle
existe !).
2On suppose maintenant que Xest un espace topologique. D´eterminer la topologie
la plus fine sur Yqui rende fcontinue.
Exercice 6. Montrer que les projections πEet πFde E×Fsur Eet Frespec-
tivement sont continues. Montrer qu’une application f:G→E×Fest continue
ssi ses composantes πE◦fet πF◦fle sont.
En application, soient fune fonction continue de Edans Ret gune fonction
continue de Fdans R. Montrer que h(x, y) = sin(f2(x)g3(y)) est une fonction
continue de E×Fdans R.
Exercice 7. On consid`ere le plan R2muni de la topologie usuelle et le cercle unit´e
S1={(x, y)/ x2+y2= 1}muni de la topologie trace. Montrer que l’application
p:R→S1, α →(cos α, sin α)
est continue. Soit Eun espace topologique. Montrer qu’une application f:S1→E
est continue si et seulement si f◦pl’est aussi.
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Exercice 8. Soit f:X→Yune fonction d´efinie sur un espace topologique X`a
valeurs dans un espace topologique s´epar´e Y. On appelle graphe de la fonction fle
sous-ensemble de X×Y:
Gf={(x, f(x))/ x ∈E}.
Montrer que si fest continue, son graphe est ferm´e dans X×Y. La r´eciproque
est-elle vraie ?
Exercice 9. Montrer qu’une partie Ad’un espace topologique Eest dense ssi tout
ouvert non vide de Erencontre A
Exercice 10. Montrer que l’ensemble des matrices inversibles de taille n×nest
un ouvert dense de l’ensemble des matrices de taille n×n.
Exercice 11. Soient E, F deux espaces topologiques, F´etant s´epar´e. fet g´etant
deux fonctions continues de Edans F, et Aun sous-ensemble dense dans E, montrer
l’´equivalence :
(f(x) = g(x),∀x∈E)⇐⇒ (f(x) = g(x),∀x∈A)
Exercice 12. A quelle condition une suite converge-t-elle vers un point isol´e d’un
espace topologique ?
Exercice 13. Soit Eun espace topologique et (an)nune suite de E. On pose
An={am:m≥n}.
Montrer que l’ensemble des valeurs d’adh´erence de la suite (an) est \
n≥0
An. En
d´eduire que cet ensemble est ferm´e.
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