L3 - Intégration 2 - Probabilités 2013

L3 - Intégration 2 - Probabilités 2013-2014 : TD 1
Transformée de Fourier
Exercice 1.— Premiers exemples de transformées de Fourier
Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes :
f=[a,b]et 1:x7→ exp(−cx)R+(x),
où les réels a,bet cvérifient a<bet c>0.
Exercice 2.— Des séries de Fourier à la transformée de Fourier...
On rappelle que le n-ième coefficient de Fourier d’une fonction T-périodique f, intégrable
sur sa période, est défini par
cn(f) :=1
TZT/2
−T/2
f(x)e−i2πnx
Tdx.
Soit f∈L1(R). À T >0, on associe la fonction T-périodique fTqui coïncide avec fsur
]−T/2,T/2]. Montrer que pour tout λ∈R, on a
TcbλTc(fT)−→
T→∞
ˆ
f(−2πλ).
Exercice 3.— Transformée de Fourier d’une fonction radiale
Soit f∈L1(Rd) une fonction radiale, au sens où il existe une fonction mesurable 1de R+
dans Rtelle que
∀x∈Rd,f(x)=1(|x|),
où |x|désigne la norme euclidienne de x. Montrer que sa transformée de Fourier ˆ fest
également radiale.
Exercice 4.— Autre preuve de Riemann-Lebesgue
Le théorème de Riemann-Lebesgue affirme que pour toute fonction f∈L1(Rd), sa
transformée de Fourier ˆ f(ξ) tend vers 0 lorsque |ξ|→∞.
1. Montrer que le théorème est valide pour ffonction indicatrice d’un pavé de Rd.
Ici, un pavé désigne un produit de segments.
2. En déduire le théorème pour toute f∈L1(Rd) par linéarité de la transformée de
Fourier et densité dans L1(Rd) des fonctions combinaisons linéaires d’indicatrices
de pavés. On détaillera bien l’argument.
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Exercice 5.— Espace de Schwartz
L’espace de Schwartz est défini par
S:=f∈C∞(Rd),∀k∈N,∀αmulti-indice, |x|kDαf(x)−→
|x|→∞ 0,
où Dαfdésigne la dérivée partielle de fpar rapport au multi-indice α. Montrer que
l’espace de Schwartz est stable par la transformée de Fourier, au sens où
ˆ
S:={ˆ f,f∈ S} ⊂ S.
Montrer qu’on a en fait ˆ S=S.
Remarque : Cette remarquable propriété de stabilité fait de cet espace de Schwartz un espace de
travail souvent très agréable à manipuler.
Exercice 6.— Convolution dans différents espaces Lp
Soient p,q, et rdans [1,+∞] vérifiant 1/p+1/q−1/r=1. On cherche à montrer que le
produit de convolution de f∈Lp(R) avec 1∈Lq(R) est bien défini dans Lr(R), et vérifie
l’inégalité suivante due à Young :
kf∗1kr≤ k fkpk1kq.(1)
1. Préliminaires
(a) Montrer l’inégalité d’Hölder à trois paramètres : si f∈La(R), 1∈Lb(R) et
h∈Lc(R), avec 1/a+1/b+1/c=1, alors f1h∈L1(R) et
kf1hk1≤ k fkak1kbkhkc.
(b) Montrer que l’on peut se ramener au cas où les fonctions fet 1sont à valeurs
positives. Alors la convolée f∗1est bien définie comme fonction mesurable
à valeurs dans R+∪ {+∞}, et l’on doit juste montrer que (1) est bien vérifiée.
C’est ce qu’on démontre dans la question 2.
2. On suppose fet 1positives.
(a) Montrer que l’on a
kf∗1kr
r="R2(f∗1)r−1(x)f(y)1(x−y)dxdy.
(b) En observant que les exposants conjugués p0=p/(p−1) et q0=q/(q−1)
vérifient 1/p0+1/q0+1/r=1 et en écrivant
(f∗1)r−1=(f∗1)r(1/p0+1/q0),
f=fp(1/q0+1/r),
1=1q(1/p0+1/r),
prouver que l’on a
kf∗1kr
r≤ k f∗1kr−1 rkfkpk1kq.
(c) Conclure.
Remarque : Ce cas recouvre les cas de convolution Lp−Lp0ainsi que L1−Lp... Noter toutefois
qu’en général, il faut avoir 1/p+1/q≥1pour que le produit de convolution soit bien défini.
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L3 - Intégration 2 - Probabilités 2013-2014 : TD 2
Transformée de Fourier (bis)
Exercice 1.— Calculs d’intégrales
Dans le premier TD, ont été calculées les transformées de Fourier des fonctions suivantes :
f=[a,b]et 1(x)=exp(−cx)R+(x),
où les réels a,bet cvérifient a<bet c>0. Déduire de ces calculs les valeurs des intégrales
suivantes : ZR
sin2(x)
x2dxet ZR
1
1+x2dx.
Exercice 2.— Uniforme continuité d’une transformée de Fourier
Soit µune mesure signée sur R. Démontrer que la transformée de Fourier de µest
uniformément continue.
Exercice 3.— Algèbres associatives unifères ?
L’espace L1(R) est une algèbre pour la convolution. Il en est de même pour l’espace des
mesures signées. Ces algèbres sont-elles associatives ? Admettent-elles une unité ?
Exercice 4.— Formule sommatoire de Poisson
Soit f:R→Cde classe C1. On suppose qu’il existe C tel que
∀x∈R,|f(x)|+|f0(x)| ≤ C
1+x2.
1. Montrer que les séries Pn∈Zf(n) et Pn∈Zˆ f(2πn) sont absolument convergentes et
de même somme. (On pourra justifier l’existence de x7→ Pn∈Zf(x+n) et utiliser la
théorie des séries de Fourier.)
2. Application : Pour x>0, montrer l’égalité suivante,
X
n∈Z
1
x2+n2=π xX
n∈Z
e−2π|n|x=π
x
1+e−2πx
1−e−2πx,
et en déduire la valeur de Pn≥11/n2.
Exercice 5.— Résolution d’une équation différentielle
On rappelle que l’espace de Schwartz sur Rest défini par
S:=f∈C∞(R) : ∀k,l∈N,|x|kf(l)(x)−→
|x|→∞ 0
Soit f∈ S. Démontrer qu’il existe une unique solution udans Sà l’équation
u00 −u=f
et l’exprimer comme produit de convolution d’une fonction explicite et de f.
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Exercice 6.— Moments et dérivées
Soit µune mesure de probabilité sur R.
1. Montrer que ˆ µest deux fois dérivable en 0 si et seulement si l’intégrale RRx2dµ(x)
est finie.
2. Pour tout entier positif pair k, montrer que ˆ µest kfois dérivable en 0 si et seulement
si l’intégrale RRxkdµ(x) est finie.
Remarque : Par contre, ˆ µdérivable en 0 n’implique pas que l’intégrale RR|x|dµ(x)est finie.
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L3 - Intégration 2 - Probabilités 2013-2014 : TD 3
Espaces de probabilité
Exercice 1.— Votre premier couplage
Soit p∈[0,1]. Soit X et Y deux variables aléatoires de Bernoulli de paramètre pdéfinies sur
le même espace probabilisé. Que peut être la loi de la variable aléatoire Z :=max(X,Y) ?
Exercice 2.— Modélisation
Un magicien vous présente un chapeau contenant deux cartes. L’une de ces cartes est
noire des deux côtés, l’autre a un côté noir et un côté rouge. Vous tirez une carte et
observez seulement son recto. Il est noir. Quelle est la probabilité que le verso de la carte
soit rouge ?
Exercice 3.— Les mains au poker
En tirant cinq cartes dans un jeu de cinquante-deux, quelle est la probabilité d’obtenir :
(a) . . . un brelan ?
(b) . . . une et une seule paire ?
(c) . . . deux paires ?
(d) . . . une suite ?
On tire toujours cinq cartes dans un jeu de cinquante-deux. On désigne par A l’événement
“avoir une suite” et B celui “avoir une couleur”. Comparer P[A|B] et P[A].
Exercice 4.— Perte de mémoire et loi exponentielle
On rappelle que, si λ∈R?
+, une variable aléatoire est dite exponentielle de paramètre λ
si elle a pour loi
λexp(−λx)R+(x)dx.
Une variable aléatoire est dite exponentielle s’il existe un paramètre λ∈R?
+pour lequel
elle est exponentielle de paramètre λ.
1. Soit X une variable aléatoire exponentielle. Démontrer que, pour tous set tréels
positifs, P[X >t+s|X>t]=P[X >s]. Expliquer en quoi il s’agit d’une propriété
de “perte de mémoire” de l’exponentielle.
2. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R?
+. On suppose que, pour tous set
tréels positifs, P[X >t+s|X>t]=P[X >s]. Démontrer que X est une variable
exponentielle.
3. Soit f:R?
+→R? +une fonction mesurable d’intégrale 1. Soit X de loi f(x)dx. Pour
xréel, on note F(x) :=P[X ≤x]. Enfin, pour tpositif, on note At:=Rt
0
f(x)
1−F(x)dx. On
va étudier les propriétés de la variable aléatoire AX.
(a) Calculer f(x)
1−F(x)dans le cas où fest la densité d’une variable exponentielle.
(b) Dans le cas où fest continue, montrer que, pour tout x∈R+,
ε−1P[X <x+ε|X>x]−→
ε→0+
f(x)
1−F(x).
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