Les polynômes - Page personnelle de Maxime Bailleul

ECE 1
TD 14 : Les polynômes
Exercice 1. On considère le polynôme P défini par P (x) = 3x3 − x − 2.
1. Montrer que 1 est une racine de P et déterminer le polynôme Q tel que pour tout x ∈ R, P (x) = (x − 1)Q(x).
2. Étudier le signe de P .
Exercice 2. Soit P le polynôme défini, pour tout réel x, par P (x) = x3 + 4x2 + x − 6.
1. Trouver une racine évidente de P .
2. Résoudre alors l’équation P (x) = 0.
3. Résoudre l’équation x6 + 4x4 + x2 − 6 = 0.
Exercice 3. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1. (2x − 1)2 = (6x + 5)2
x3 − 5x + 4
2.
=0
x2 − 4
3. (x + 5)(2x − 1) 6 (3x − 7)(2x − 1)
x+5
x−4
4.
<
x−2
x+3
Exercice 4. Pour tout n ∈ N, on pose An = (X −2)n −(X +5)n . Déterminer les degrés et les coefficients dominants
de A0 , A1 , A2 , A3 et An pour n ≥ 2.
Exercice 5.
1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout entier k supérieur à 2,
1
a
b
=
+
k(k − 1)
k−1 k
2. En déduire pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, une expression plus simple de
n
X
k=2
1
·
k(k − 1)
Exercice 6. Déterminer l’ensemble des polynômes de degré 3 tels que P (1) = 4, P (2) = 0 et P 0 (1) = 2.
Exercice 7. Soit P le polynôme défini par P (x) = x3 − 2x2 − 5x + 6.
1. (a) Montrer qu’il existe un polynôme Q de degré 2 tel que pour tout réel x, P (x) = (x + 2)Q(x).
(b) Déterminer Q.
(c) En déduire toutes les racines de P .
2. Résoudre l’équation ln(x)3 − 2 ln(x)2 − 5 ln(x) + 6 = 0.
3. Résoudre l’inéquation −e2x + 2ex − 6e−x + 5 < 0.
Exercice 8. Effectuer la division euclidienne de A par B dans les cas suivants : pour tout x ∈ R,
1. A(x) = x4 + 2x3 + 2x2 + 4x + 1 et B(x) = x2 + x + 1.
2. A(x) = 3x5 + 4x2 + 1 et B(x) = x2 + 2x + 3.
Exercice 9. Soient n ∈ N et Pn le polynôme défini par Pn (X) = X n .
1. Donner les racines de X 2 − 3X + 2.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de Pn par X 2 − 3X + 2.
Exercice 10. On cherche dans cet exercice à déterminer les polynômes P tels que P (X 2 ) = (X 2 + 1)P (X).
1. Quel est le degré d’un polynôme solution ?
2. Résoudre le problème posé.
Lycée Jean Calvin, Noyon
2016/2017
Les polynômes
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