Autour des projecteurs orthogonaux

2A - Approfondissement en maths
Année 2014–2015
Autour des projecteurs orthogonaux
1 Définition des projecteurs et propriétés
Soient E un K-espace vectoriel (où K = R ou C), F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
dans E : E = F ⊕ G. Pour tout x de E, il existe (x′ , x′′ ) ∈ F × G unique tel que x = x′ + x′′ .
E →
x 7→
projecteur sur F parallèlement à G.
1. Montrer que l’application p :
E
est un endomorphisme de E. L’application p est appelée le
x′
2. Montrer que :
(a) p ◦ p = p,
(b) Im(p) = F , et
(c) Ker(p) = G.
3. Établir une réciproque.
4. Exercice : Soient E un K-espace vectoriel (où K = R ou C), p et q deux projecteurs de E. Montrer que
p + q est un projecteur si et seulement si : p ◦ q = q ◦ p = 0.
2 Projecteurs orthogonaux
Soit (E, < ·, · >) un espace vectoriel euclidien de dimension n > 1. Pour tout sous-espace vectoriel F de
E, on appelle projecteur orthogonal sur F le projecteur sur F parallèlement à F ⊥ et on le note pF .
1. Soit x ∈ E. Montrer que l’application
F
y
→
7
→
R
admet une borne inférieure et que celle-ci
∥x − y∥
est atteinte en pF (x) seulement.
2. Soit (e1 , . . . , ep ) une base orthonormée de F . Montrer que :
∀x ∈ E, pF (x) =
p
∑
< ei , x > ei .
i=1
3. Soit p un projecteur de E. Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si p est symétrique.
4. Soit p un projecteur
orthogonal
de E. Montrer qu’il existe une base orthonormée B de E telle que
(
)
Ir 0
MatB (p) =
, où r = rg(p).
0 0
5. Exercice : Soit p une projection d’un espace vectoriel eucliden E. Montrer que la projection p est orthogonale si et seulement si ∀x ∈ E, ∥p(x)∥ 6 ∥x∥.
1
3 Matrice d’une projection orthogonale
Soient E un espace vectoriel euclidien
de dimension

 3 muni d’une base orthonormée B et p un endomor5 −2 1


phisme déterminé par MatB (p) = 16  −2 2 2 . Montrer que p est une projection orthogonale sur un
1
2 5
plan dont on précisera une équation.
4 Espace de Hilbert et projection orthogonale
Un espace préhilbertien est un espace vectoriel E (de dimension finie ou infinie) muni d’un produit scalaire
(forme bilinéaire symétrique définie positive) noté < ·, · >.
Exemples : L’espace euclidien Rn , l’ensemble des suites infinies de nombres réels, tous nuls sauf un nombre
fini, ... sont des espaces préhilbertiens.
A partir du produit scalaire < ·, · >, on définit naturellement :
√
– la norme d’un vecteur x ∈ E : ∥x∥ = < x, x >, et
– la distance entre deux vecteurs x, y ∈ E : d(x, y) = ∥x − y∥.
Une suite de vecteurs (xn )n∈Z de E converge vers un vecteur x de E si : ∀ε, ∃N (ε), ∀n > N (ε), d(xn , x) 6
ε. Une suite de vecteurs (xn )n∈Z d’un espace vectoriel muni d’une norme forme une suite de Cauchy si :
∀ε, ∃N (ε), ∀m, n > N (ε), d(xm , xn ) 6 ε.
Toute suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque n’est pas toujours vraie. Un espace
vectoriel normé complet est un espace dans lequel toute suite de Cauchy converge.
√
Exemples : Rn et Cn sont des espaces complets MAIS Q ne l’est pas ( 2 n’est pas un nombre rationnel
mais est pourtant la limite d’une suite de Cauchy de rationnels).
Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet.
Exemples : Rn et tout espace vectoriel de dimension finie sont des espaces de Hilbert. L’espace noté ℓ2 (N)
des suites de carrés sommables est un espace de Hilbert. L’espace L2 (Ω, A, P) muni du produit scalaire <
X, Y >= Cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] est un espace de Hilbert.
Etablir les propriétés de la projection orthogonale dans le cadre des espaces de Hilbert, propriétés similaires
à celles des espaces vectoriels euclidiens (de dimension finie).
2