Autour des projecteurs orthogonaux

2A - Approfondissement en maths
Année 2014–2015
Autour des projecteurs orthogonaux
1 Définition des projecteurs et propriétés
Soient Eun K-espace vectoriel (où K=Rou C), Fet Gdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires
dans E:E=F⊕G. Pour tout xde E, il existe (x′, x′′)∈F×Gunique tel que x=x′+x′′.
1. Montrer que l’application p:E→E
x7→ x′est un endomorphisme de E. L’application pest appelée le
projecteur sur Fparallèlement à G.
2. Montrer que :
(a) p◦p=p,
(b) Im(p) = F, et
(c) Ker(p) = G.
3. Établir une réciproque.
4. Exercice : Soient Eun K-espace vectoriel (où K=Rou C), pet qdeux projecteurs de E. Montrer que
p+qest un projecteur si et seulement si : p◦q=q◦p= 0.
2 Projecteurs orthogonaux
Soit (E, < ·,·>)un espace vectoriel euclidien de dimension n>1. Pour tout sous-espace vectoriel Fde
E, on appelle projecteur orthogonal sur Fle projecteur sur Fparallèlement à F⊥et on le note pF.
1. Soit x∈E. Montrer que l’application F→R
y7→ ∥x−y∥admet une borne inférieure et que celle-ci
est atteinte en pF(x)seulement.
2. Soit (e1, . . . , ep)une base orthonormée de F. Montrer que :
∀x∈E, pF(x) =
p
∑
i=1
< ei, x > ei.
3. Soit pun projecteur de E. Montrer que pest un projecteur orthogonal si et seulement si pest symétrique.
4. Soit pun projecteur orthogonal de E. Montrer qu’il existe une base orthonormée Bde Etelle que
MatB(p) = (Ir0
0 0 ), où r= rg(p).
5. Exercice : Soit pune projection d’un espace vectoriel eucliden E. Montrer que la projection pest ortho-
gonale si et seulement si ∀x∈E,∥p(x)∥6∥x∥.
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3 Matrice d’une projection orthogonale
Soient Eun espace vectoriel euclidien de dimension 3 muni d’une base orthonormée Bet pun endomor-
phisme déterminé par MatB(p) = 1
6
5−2 1
−2 2 2
1 2 5 
. Montrer que pest une projection orthogonale sur un
plan dont on précisera une équation.
4 Espace de Hilbert et projection orthogonale
Un espace préhilbertien est un espace vectoriel E (de dimension finie ou infinie) muni d’un produit scalaire
(forme bilinéaire symétrique définie positive) noté <·,·>.
Exemples : L’espace euclidien Rn, l’ensemble des suites infinies de nombres réels, tous nuls sauf un nombre
fini, ... sont des espaces préhilbertiens.
A partir du produit scalaire <·,·>, on définit naturellement :
– la norme d’un vecteur x∈E:∥x∥=√< x, x >, et
– la distance entre deux vecteurs x, y ∈E:d(x, y) = ∥x−y∥.
Une suite de vecteurs (xn)n∈Zde Econverge vers un vecteur xde Esi : ∀ε, ∃N(ε),∀n > N(ε), d(xn, x)6
ε. Une suite de vecteurs (xn)n∈Zd’un espace vectoriel muni d’une norme forme une suite de Cauchy si :
∀ε, ∃N(ε),∀m, n > N(ε), d(xm, xn)6ε.
Toute suite convergente est une suite de Cauchy mais la réciproque n’est pas toujours vraie. Un espace
vectoriel normé complet est un espace dans lequel toute suite de Cauchy converge.
Exemples : Rnet Cnsont des espaces complets MAIS Qne l’est pas (√2n’est pas un nombre rationnel
mais est pourtant la limite d’une suite de Cauchy de rationnels).
Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet.
Exemples : Rnet tout espace vectoriel de dimension finie sont des espaces de Hilbert. L’espace noté ℓ2(N)
des suites de carrés sommables est un espace de Hilbert. L’espace L2(Ω,A,P)muni du produit scalaire <
X, Y >= Cov(X, Y ) = E[(X−E(X))(Y−E(Y))] est un espace de Hilbert.
Etablir les propriétés de la projection orthogonale dans le cadre des espaces de Hilbert, propriétés similaires
à celles des espaces vectoriels euclidiens (de dimension finie).
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