TD 2: Structure euclidienne et topologie en dimension d

TD 2: Structure euclidienne et topologie en dimension d
Dans toute la feuille, d∈N∗.
Exercice 1 (D’autres normes).
1. Pour tout x= (x1, . . . , xd)∈Rd, on note :
kxk1:=
d
X
i=1
|xi|,
kxk∞:= max
i∈{1,...,d}|xi|.
Montrer que ces formules définissent des normes d’espace vectoriel sur Rd.
2. Comme pour la norme euclidienne, pour tout x∈Rdet tout R > 0, on définit la boule de centre xet
de rayon Rde la façon suivante :
B1(x, R) := {y∈Rd| kxk1< R},
B∞(x, R) := {y∈Rd| kxk∞< R}.
Dessiner dans R2les boules de centre 0et de rayon 1pour ces deux normes.
Exercice 2 (Projection orthogonale).Soit Eun sous-espace vectoriel de Rdde dimension p≥1. On a vu
dans le cours que E⊥était un supplémentaire de E. On peut donc définir la projection orthogonale sur E,
notée pE, comme la projection sur Eparallèlement à E⊥. En d’autres termes, si x∈Rd, par définition des
supplémentaires, il existe un unique couple (y, z)∈(Rd)2avec y∈E,z∈E⊥et x=y+z, et on définit :
pE(x) := y.
1. Se rappeler que cette procédure permet de définir un endomorphisme de Rdet qu’il vérifie pE◦pE=pE.
Quel est son noyau ? Son image ? Montrer que pE+pE⊥= Id.
2. Montrer que pour tout x∈Rd:
kx−pE(x)k= min
y∈Eky−xk.
La projection orthogonale de xsur Eest donc le point de Eà plus petite distance de x.
3. Montrer que pour tout xet ydans E:
hpE(x), yi=hx, pE(y)i=hpE(x), pE(y)i.
4. Soit (e1, . . . , ep)une base orthonormale de E. Montrer que pour tout x∈Rd:
pE(x) =
p
X
i=1
hei, xiei.
1

5. Déterminer la matrice dans la base canonique de R3de la projection orthogonale sur le plan défini par
l’équation :
P:x1+x2+x3= 0.
On pourra commencer par déterminer l’orthogonal de P, donner la matrice de la projection orthogonale
sur cet orthogonal et utiliser la question 1.
Exercice 3 (Isométrie).On dit que l’application fde Rddans Rdest une isométrie si elle est linéaire et si
pour tout x∈Rd:
kf(x)k=kxk.
Montrer que si fest une isométrie alors pour tout xet ydans Rd:
hf(x), f(y)i=hx, yi.
En fait, le sens réciproque est aussi vrai, même sans supposer que fest linéaire, mais c’est un peu plus dur.
Exercice 4 (Ensemble dense).Soit Eun sous-ensemble de Rd. On dit que Eest dense dans Rdsi pour tout
x∈Rd, il existe (un)n∈Nune suite d’élément de Equi converge vers x.
1. Montrer que Qest dense dans R.
2. Montrer que si Eest un sous ensemble fermé et dense de Rd, alors E=Rd.
Exercice 5. Pour chacun des sous-ensembles suivants de R2, indiquer s’il est ouvert, fermé, les deux ou
aucun :
1. {(x, y)| − 1<x<1, y = 0},
2. {(x, y)|xet ysont des entiers naturels},
3. {(x, y)|xet ysont des rationnels},
4. {(x, y)|x+y= 1},
5. {(x, y)|x+y < 1},
6. {(x, y)|x= 0 ou y= 0}.
Exercice 6 (Distance à un ensemble).Soit Eun sous-ensemble de Rd. Pour tout x∈Rd, on définit la
distance de xàEde la façon suivante :
d(x, E) := inf
y∈Eky−xk.
1. Montrer que si Eest compact, alors pour tout x∈Rd, il existe y∈Etel que :
d(x, E) = ky−xk.
2. En considérant E∩B(x, R)avec Rsuffisamment grand, montrer que le même énoncé est encore vrai
si Eest seulement fermé.
3. Montrer que si Eest fermé et convexe, alors le yen question est unique.
Exercice 7. Soit fla fonction de R∗
+à valeurs dans Rdéfinie pour tout x∈R∗ +par :
f(x) = sin 1
x.
On note Eson graphe, c’est à dire :
E:= {(x, f(x)), x ∈R∗
+} ⊂ R2.
Déterminer l’adhérence de E.
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