TD 2: Structure euclidienne et topologie en dimension d

TD 2: Structure euclidienne et topologie en dimension d
Dans toute la feuille, d ∈ N∗ .
Exercice 1 (D’autres normes).
1. Pour tout x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd , on note :
kxk1 :=
d
X
|xi |,
i=1
kxk∞ :=
max
i∈{1,...,d}
|xi |.
Montrer que ces formules définissent des normes d’espace vectoriel sur Rd .
2. Comme pour la norme euclidienne, pour tout x ∈ Rd et tout R > 0, on définit la boule de centre x et
de rayon R de la façon suivante :
B1 (x, R) := {y ∈ Rd | kxk1 < R},
B∞ (x, R) := {y ∈ Rd | kxk∞ < R}.
Dessiner dans R2 les boules de centre 0 et de rayon 1 pour ces deux normes.
Exercice 2 (Projection orthogonale). Soit E un sous-espace vectoriel de Rd de dimension p ≥ 1. On a vu
dans le cours que E ⊥ était un supplémentaire de E. On peut donc définir la projection orthogonale sur E,
notée pE , comme la projection sur E parallèlement à E ⊥ . En d’autres termes, si x ∈ Rd , par définition des
supplémentaires, il existe un unique couple (y, z) ∈ (Rd )2 avec y ∈ E, z ∈ E ⊥ et x = y + z, et on définit :
pE (x) := y.
1. Se rappeler que cette procédure permet de définir un endomorphisme de Rd et qu’il vérifie pE ◦pE = pE .
Quel est son noyau ? Son image ? Montrer que pE + pE ⊥ = Id.
2. Montrer que pour tout x ∈ Rd :
kx − pE (x)k = min ky − xk.
y∈E
La projection orthogonale de x sur E est donc le point de E à plus petite distance de x.
3. Montrer que pour tout x et y dans E :
hpE (x), yi = hx, pE (y)i = hpE (x), pE (y)i.
4. Soit (e1 , . . . , ep ) une base orthonormale de E. Montrer que pour tout x ∈ Rd :
pE (x) =
p
X
hei , xiei .
i=1
1
5. Déterminer la matrice dans la base canonique de R3 de la projection orthogonale sur le plan défini par
l’équation :
P:
x1 + x2 + x3 = 0.
On pourra commencer par déterminer l’orthogonal de P, donner la matrice de la projection orthogonale
sur cet orthogonal et utiliser la question 1.
Exercice 3 (Isométrie). On dit que l’application f de Rd dans Rd est une isométrie si elle est linéaire et si
pour tout x ∈ Rd :
kf (x)k = kxk.
Montrer que si f est une isométrie alors pour tout x et y dans Rd :
hf (x), f (y)i = hx, yi.
En fait, le sens réciproque est aussi vrai, même sans supposer que f est linéaire, mais c’est un peu plus dur.
Exercice 4 (Ensemble dense). Soit E un sous-ensemble de Rd . On dit que E est dense dans Rd si pour tout
x ∈ Rd , il existe (un )n∈N une suite d’élément de E qui converge vers x.
1. Montrer que Q est dense dans R.
2. Montrer que si E est un sous ensemble fermé et dense de Rd , alors E = Rd .
Exercice 5. Pour chacun des sous-ensembles suivants de R2 , indiquer s’il est ouvert, fermé, les deux ou
aucun :
1. {(x, y) | − 1 < x < 1, y = 0},
2. {(x, y) | x et y sont des entiers naturels},
3. {(x, y) | x et y sont des rationnels},
4. {(x, y) | x + y = 1},
5. {(x, y) | x + y < 1},
6. {(x, y) | x = 0 ou y = 0}.
Exercice 6 (Distance à un ensemble). Soit E un sous-ensemble de Rd . Pour tout x ∈ Rd , on définit la
distance de x à E de la façon suivante :
d(x, E) := inf ky − xk.
y∈E
1. Montrer que si E est compact, alors pour tout x ∈ Rd , il existe y ∈ E tel que :
d(x, E) = ky − xk.
2. En considérant E ∩ B(x, R) avec R suffisamment grand, montrer que le même énoncé est encore vrai
si E est seulement fermé.
3. Montrer que si E est fermé et convexe, alors le y en question est unique.
Exercice 7. Soit f la fonction de R∗+ à valeurs dans R définie pour tout x ∈ R∗+ par :
1
f (x) = sin
.
x
On note E son graphe, c’est à dire :
E := {(x, f (x)), x ∈ R∗+ } ⊂ R2 .
Déterminer l’adhérence de E.
2