Décomposition de Dunford

Sandrine C ARUSO
Décomposition de Dunford
Référence : Oraux X-ENS, Francinou-Ginanella-Nicolas, algèbre 2, p 112
Théorème. Soit K un corps, E un K-espace vectoriel de dimension finie, et u un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est scindé. Alors il existe un unique
couple (d, n) d’endomorphismes de E tels que
1. u = d + n,
2. d est diagonalisable,
3. n est nilpotent,
4. d et n commutent.
De plus, d et n sont des polynômes en u.
Existence. Écrivons sous forme factorisée le polynôme caractéristique de u :
χu = (X − λ1 )m1 · · · (X − λr )mr
avec les λi deux à deux distincts et mi > 1. Notons Fi = ker(u − λi )mi . D’après le
théorème de décomposition des noyaux,
r
M
Fi = ker(χu (u)) = E.
i=1
D’après le lemme chinois, il existe un polynôme P tel que pour tout i, P ≡ λi (mod (X−
λi )mi ). On définit alors d = P (u). Par construction, d est un polynôme en u. Soit x ∈ Fi .
Il existe un polynôme Q tel que d(x) = P (u)(x) = (λi + Q × (X − λi )mi )(u)(x) =
λi x+Q(u)◦(u−λi id)mi (x) = λi x car x ∈ ker(u−λi id)mi . Ainsi, d est diagonalisable,
de valeurs propres les λi et de sous-espaces propres les Fi . Posons n = u − d ; n est
bien sûr aussi un polynôme en u, et par conséquent, il commute avec d. Montrons que
n est nilpotent. Notons ui , di et ni les endomorphismes induits par, respectivement, u,
i
d et n sur Fi . On a ni = ui − di = ui − λi idFi , et par définition de Fi , nm
= 0. Par
i
m
conséquent, n = 0 avec m = max mi . Donc n est nilpotent.
Unicité. Considérons d et n construits comme précédemment, et soit (d0 , n0 ) un autre
couple d’endomorphismes vérifiant les propriétés 1 à 4 du théorème. L’endomorphisme
d0 commute avec n0 , donc avec u = d0 + n0 . Par conséquent, il commute avec tout
polynôme en u. Or, on a montré que d était un polynôme en u, donc d0 commute avec
d. De même, n commute avec n0 .
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Comme d et d0 sont diagonalisables et commutent, ils sont simultanément diagonalisables. En particulier, d − d0 est diagonalisable.
Soient p tel que np = 0 et q tel que n0q = 0. Comme n et n0 commutent, la formule
du binôme donne
p+q X
p + q 0k p+q−k
0
p+q
n n
(−1)p+q−k .
(n − n)
=
k
k=0
Cette somme est nulle, car soit k > q, et n0k = 0, soit p + q − k > p, et np+q−k = 0.
Donc n0 − n est nilpotent.
Or, n0 − n = d − d0 . Le seul endomorphisme diagonalisable et nilpotent est 0, donc
n = n0 et d = d0 .
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