X - ULB

Modélisation et Simulation
G. Bontempi
Département d’Informatique
Boulevard de Triomphe - CP 212
http://www.ulb.ac.be/di
Cours de modélisation et simulation – p. 1/69

Ensembles infinis
•La fois passée nous nous sommes occupés des automates, c.-à-d.
systèmes dynamiques où le temps est discret e les ensembles U,Xet Y
sont finis.
•Ici nous allons considérer le cas où le temps est continu et les
ensembles U,Xet Ysont infinis mais avec une dimensionnalité finie.
•C’est le cas des espaces vectoriels où chaque composant de l’espace
est décrit comme un vecteur et chaque vecteur peut être représenté
comme combinaisons linéaire d’un nombre fini de vecteurs de base.
•Par exemple l’ensemble des réels Rest un espace vectoriel
unidimensionnel.
Cours de modélisation et simulation – p. 2/69

Dimensionnalité d’un espace vectoriel
•Un espaces vectoriel est un ensemble d’éléments (appelés vecteurs)
pour lesquelles les opérations de somme et de produit par un scalaire
sont définies.
•La dimensionnalité d’un espace vectoriel V est le cardinal (c.-à-d. le
nombre de vecteurs) d’une base de V.
•La base d’un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs telle que
1. tout vecteur de l’espace peut être representé comme combinaison
linéaire des vecteurs de la base
2. aucun element de la base ne peut être representé comme
combinaison linéaire des autres.
Cours de modélisation et simulation – p. 3/69

Systèmes à dimensionnalité finie
Maintenant nous allons nous occuper de systèmes à temps continus où les
ensembles U,X,Y
•sont continus
•sont des espaces vectoriels à dimensionnalité finie
•et pour lesquels il est possible de définir une distance entre deux
éléments
Définition. Un système est dit à dimensionnalité finie si U,Xet Ysont des espaces vectoriels
à dimensionnalité finie.
Le réservoir et le système masse-ressort sont deux exemples de systèmes à
dimensionnalité finie.
Cours de modélisation et simulation – p. 4/69

Systèmes réguliers
Définition. Un système continu est dit régulier si
•les ensembles U,Ω,X,Yet Γsont des espaces vectoriels avec norme.
•la fonction de transition est continue par rapport à tous ses arguments
•la dérivée d
dt ϕ(t, t0, x, u(·)) existe et elle est continue par rapport à tpour toutes les
valeurs où uest continue.
•la transformation ηest continue par rapport à tous ses arguments
Cours de modélisation et simulation – p. 5/69