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Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014
Cours de mathématiques
Partie III – Algèbre
MPSI 4
Alain TROESCH
Version du:
18 juin 2014

Table des matières
1 Équations 5
I Equations, ou les origines de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2 Equations de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II Inéquations (dans Runiquement, pas dans C!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III Systèmes linéaires de néquations à pinconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III.1 Introduction de la méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III.2 Recherche d’une solution particulière par la méthode du pivot . . . . . . . . . . . . 12
III.3 Recherche de la solution générale de l’équation homogène associée . . . . . . . . . 14
2 Structures algébriques 17
I Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.2 Propriétés d’une loi de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.3 Ensembles munies de plusieurs lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.4 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
II.2 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II.3 Catégories (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.1 Axiomatique de la structure groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
III.2 Exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
III.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III.4 Congruences modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.5 Ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV.1 Axiomatiques des structures d’anneaux et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV.2 Sous-anneaux, sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
IV.3 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
IV.4 Éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
IV.5 Idéaux (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Table des matières
3 Arithmétique des entiers 37
I Divisibilité, nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.1 Notion de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.2 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
I.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II Arithmétique d’un couple d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.1 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II.2 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.3 Fonction indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.1 Décomposition primaire et valuations p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III.2 Décomposition primaire, pgcd et ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
III.3 Un peu de cryptographie, HP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Polynômes et fractions rationnelles 51
I Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
I.1 Polynômes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
I.2 Opérations arithmétiques sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
I.3 Indéterminée formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
I.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
I.5 Degré et valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
II Arithmétique dans K[X]..................................... 57
II.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II.2 Idéaux de K[X]...................................... 58
II.3 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
II.4 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
II.5 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II.6 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
III Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III.1 Spécialisation, évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
III.2 Racines et multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III.3 Majoration du nombre de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
III.4 Polynômes scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
IV Polynômes irréductibles dans C[X]et R[X].......................... 67
IV.1 Factorisations dans C[X]................................ 68
IV.2 Facteurs irréductibles dans R[X]............................ 68
V Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
V.1 Définition des fractions rationnelles formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
V.2 Degré, racines, pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
V.3 Décomposition en éléments simples dans C(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
V.4 Décomposition en éléments simples dans R[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Espaces vectoriels 75
I Notion d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
I.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
I.3 Un exemple important : espace de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
I.4 Produits d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
I.5 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
I.6 Intersections de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
I.7 Sous-espace vectoriel engendré par un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
I.8 Sommes de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Table des matières 3
I.9 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
II Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
II.1 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
II.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
II.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
III Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
III.1 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
III.2 Dimension, liberté et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
III.3 Dimension de sous-espaces et de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Applications linéaires 89
I Généralités sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
I.1 Définitions et propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
I.2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
I.3 Endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
I.4 Automorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
I.5 Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
II Applications linéaires et familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
II.1 Détermination d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
II.2 Caractérisations de l’injectivité et de la surjectivité par l’image de bases . . . . . . 99
II.3 Recollements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
III Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
III.1 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
III.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
IV Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
IV.1 Formes linéaires, espace dual, hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
IV.2 Qu’est-ce que le principe de dualité ? (hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Matrices 107
I Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
I.1 Définition et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
I.2 Combinaisons linéaires de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
I.3 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
I.4 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
I.5 Matrices carrées de type particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
I.6 Noyau, image, rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
I.7 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
I.8 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
I.9 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
II Écriture d’une AL dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
II.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
II.2 Changements de base, matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
II.3 Matrice d’un endomorphisme, matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
III Produit matriciel par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8 Groupe symétrique et déterminants 135
I Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
I.1 Notations liées à des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
I.2 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
I.3 Décomposition cyclique d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
I.4 Cycles et signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
II Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141