l`inverse de la matrice de Cauchy - Jean-François Burnol

Un Ne calcul de « l’inverse de la matrice de Cauchy »
Jean-François Burnol, janvier 2017.
Soient a i et b j , 1 É i , j É n, des nombres complexes. On veut calculer l’inverse de la matrice
1
)
M = det (
1Éi , j Én a i − b j
On suppose que les a i sont distincts, que les b j sont distincts, et que les a i sont distincts des
b j , bref que les 2n nombres complexes a i , b j sont distincts deux à deux.
Je reprends les notations de la fiche précédente
http://jf.burnol.free.fr/agreg170116DetCauchy.pdf
On y avait noté V = C[X ]n−1 l’espace vectoriel de dimension n des polynômes complexes
de degrés au plus n − 1 et A = (A 1 , . . . , A n ) et B = (B 1 , . . . , B n ) les deux bases formées par les
polynômes interpolateurs de Lagrange :
A i (X ) =
A(X )
(X − a i )A ′ (a i )
B j (X ) =
B (X )
(X − b j )B ′ (b j )
Il est bien connu en effet que pour tout polynôme K ∈ V on a les écritures :
∑
∑
K = K (a i )A i = K (b j )B j
i
j
La matrice M (A : B) qui exprime les vecteurs de la base B dans la base A a pour coefficients :
B (a i )
M (A : B)i j = B j (a i ) =
(a i − b j )B ′ (b j )
ce qui se traduit par l’identité matricielle :
M (A : B) = Vu · M · V −1
avec Vu la matrice diagonale formée par les B (a i ) et V la matrice diagonale formée par les
B ′ (b j ).
De même :
A(b i )
M (B : A )i j = A j (b i ) =
(b i − a j )A ′ (a j )
ce qui se traduit par l’identité matricielle :
M (B : A ) = U v · (−t M ) ·U −1
avec U v la matrice diagonale formée par les A(b i ) et U la matrice diagonale formée par les
A ′ (a j ).
Or M (A : B)M (B : A ) = Idn . C’est à dire :
Vu · M · V −1 ·U v · (−t M ) ·U −1 = Idn
M · V −1 ·U v · (−t M ) ·U −1 = Vu−1
M · V −1 ·U v · (−t M ) ·U −1 · Vu = Idn
=⇒ M −1 = V −1 ·U v · (−t M ) ·U −1 · Vu
1
On peut alors passer aux coefficients :
1
A ′ (a j )−1 B (a j )
bi − a j
∏
∏
k (b i − a k ) · k (a j − b k )
=∏
∏
k̸=i (b i − b k ) · (b i − a j ) · k̸= j (a j − a k )
(M −1 )i j = B ′ (b i )−1 A(b i )
On va distinguer i = j et i ̸= j . D’abord le cas i ̸= j :
∏
∏
(b i − a j )(b i − a i ) k̸=i , j (b i − a k ) · (a j − b i )(a j − b j ) k̸=i , j (a j − b k )
−1
(M )i j =
∏
∏
(b i − b j ) k̸=i , j (b i − b k ) · (b i − a j ) · (a j − a i ) k̸=i , j (a j − a k )
(b i − a i )(a j − b j ) ∏ (b i − a k )(a j − b k )
= (a j − b i )
(b i − b j )(a j − a i ) k̸=i , j (b i − b k )(a j − a k )
Je rappelle la notion de birapport :
(α − γ)
[α, β, γ, δ] =
(α − δ)
Ainsi :
/
(M −1 )i j = (a j − b i )[b i , a j , a i , b j ]
(β − γ)
(β − δ)
∏
k̸=i , j
Maintenant pour i = j :
∏
− a k ) · k (a i − b k )
∏
k̸=i (b i − b k ) · (b i − a i ) · k̸=i (a i − a k )
∏
= (a i − b i ) [b i , a i , a k , b k ]
(M −1 )i i = ∏
∏
[b i , a j , a k , b k ]
k (b i
k̸=i
Bon faudra relire, il était peut-être plus simple de laisser la formule sous la forme quasiinitiale :
1
(M −1 )i j = B ′ (b i )−1 A(b i )
A ′ (a j )−1 B (a j ) = (a j − b i )A j (b i )B i (a j )
bi − a j
avec les polynômes interpolateurs de Lagrange.
Et puis, bien sûr il y a une approche complètement différente, que certains jugeront plus
simple, qui est de passer par la co-matrice. En effet les coefficients de celles-ci sont euxmêmes des déterminants du type Cauchy donc on peut calculer la co-matrice et en obtenir
l’inverse.
Faisons-le avec N = (1/(a i +b j )). Ah zut il ne reste pas beaucoup de place, bon, non, je ne
fais pas (1/(a i + b j ))−1 par la co-matrice, je laisse en exercice...
Par contre je profite de la place pour expliquer un lien de la fiche précédente avec les matrices
de Vandermonde. Si l’on note W = (1, X , . . . , X n−1 ), alors M (A : W ) est la matrice de Vandermonde
V (a 1 , . . . , a n ). Donc le quotient detV (a i )/ detV (b j ) est det M (A : B) que nous avions évalué en utili∏
∏
sant la base intermédiaire C comme valant j >i (a j −a i )/ j >i (b j −b i ). Ce qui montre que detV (a i ) =
∏
c(n) j >i (a j − a i ) avec une constante c(n). On peut montrer c(n) = 1 par récurrence (en considérant
l’expression comme un polynôme en a n par exemple). Ce qui au final nous ramène aux approches
usuelles plus directes, donc disons qu’on fait ici juste une vérification de cohérence.
Avec comme bonus l’inverse de la matrice de Vandermonde ! En effet V (a 1 , . . . , a n )−1 = M (A :
−1
W ) = M (W : A ), autrement dit la matrice dont la j e colonne est formée par les coefficients du j e
polynôme interpolateur de Lagrange A j . . . joli, non ?
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