l`inverse de la matrice de Cauchy - Jean-François Burnol

Un Necalcul de « l’inverse de la matrice de Cauchy »
Jean-François Burnol, janvier 2017.
Soient aiet bj, 1 Éi,jÉn, des nombres complexes. On veut calculer l’inverse de la ma-
trice
M=det
1Éi,jÉn(1
ai−bj
)
On suppose que les aisont distincts, que les bjsont distincts, et que les aisont distincts des
bj, bref que les 2nnombres complexes ai,bjsont distincts deux à deux.
Je reprends les notations de la fiche précédente
http://jf.burnol.free.fr/agreg170116DetCauchy.pdf
On y avait noté V=C[X]n−1l’espace vectoriel de dimension ndes polynômes complexes
de degrés au plus n−1 et A=(A1,..., An) et B=(B1,...,Bn) les deux bases formées par les
polynômes interpolateurs de Lagrange :
Ai(X)=A(X)
(X−ai)A′(ai)Bj(X)=B(X) (X−bj)B′(bj)
Il est bien connu en effet que pour tout polynôme K∈Von a les écritures :
K=
i
K(ai)Ai=
j
K(bj)Bj
La matrice M(A:B) qui exprime les vecteurs de la base Bdans la base Aa pour coeffi-
cients :
M(A:B)i j =Bj(ai)=B(ai)
(ai−bj)B′(bj)
ce qui se traduit par l’identité matricielle :
M(A:B)=Vu·M·V−1
avec Vula matrice diagonale formée par les B(ai) et Vla matrice diagonale formée par les
B′(bj).
De même :
M(B:A)i j =Aj(bi)=A(bi)
(bi−aj)A′(aj)
ce qui se traduit par l’identité matricielle :
M(B:A)=Uv·(−tM)·U−1
avec Uvla matrice diagonale formée par les A(bi) et Ula matrice diagonale formée par les
A′(aj).
Or M(A:B)M(B:A)=Idn. C’est à dire :
Vu·M·V−1·Uv·(−tM)·U−1=Idn
M·V−1·Uv·(−tM)·U−1=V−1
u
M·V−1·Uv·(−tM)·U−1·Vu=Idn
=⇒ M−1=V−1·Uv·(−tM)·U−1·Vu
1

On peut alors passer aux coefficients :
(M−1)i j =B′(bi)−1A(bi)1
bi−aj
A′(aj)−1B(aj)
=k(bi−ak)·k(aj−bk)
k̸=i(bi−bk)·(bi−aj)·k̸= j(aj−ak)
On va distinguer i=jet i̸= j. D’abord le cas i̸= j:
(M−1)i j =(bi−aj)(bi−ai)k̸=i,j(bi−ak)·(aj−bi)(aj−bj)k̸=i,j(aj−bk)
(bi−bj)k̸=i,j(bi−bk)·(bi−aj)·(aj−ai)k̸=i,j(aj−ak)
=(aj−bi)(bi−ai)(aj−bj)
(bi−bj)(aj−ai)
k̸=i,j
(bi−ak)(aj−bk)
(bi−bk)(aj−ak)
Je rappelle la notion de birapport :
[α,β,γ,δ]=(α−γ)
(α−δ)(β−γ) (β−δ)
Ainsi :
(M−1)i j =(aj−bi)[bi,aj,ai,bj]
k̸=i,j
[bi,aj,ak,bk]
Maintenant pour i=j:
(M−1)ii =k(bi−ak)·k(ai−bk)
k̸=i(bi−bk)·(bi−ai)·k̸=i(ai−ak)
=(ai−bi)
k̸=i
[bi,ai,ak,bk]
Bon faudra relire, il était peut-être plus simple de laisser la formule sous la forme quasi-
initiale :
(M−1)i j =B′(bi)−1A(bi)1
bi−aj
A′(aj)−1B(aj)=(aj−bi)Aj(bi)Bi(aj)
avec les polynômes interpolateurs de Lagrange.
Et puis, bien sûr il y a une approche complètement différente, que certains jugeront plus
simple, qui est de passer par la co-matrice. En effet les coefficients de celles-ci sont eux-
mêmes des déterminants du type Cauchy donc on peut calculer la co-matrice et en obtenir
l’inverse.
Faisons-le avec N=(1/(ai+bj)). Ah zut il ne reste pas beaucoup de place, bon, non, je ne
fais pas (1/(ai+bj))−1par la co-matrice, je laisse en exercice...
Par contre je profite de la place pour expliquer un lien de la fiche précédente avec les matrices
de Vandermonde. Si l’on note W=(1, X,...,Xn−1), alors M(A:W) est la matrice de Vandermonde
V(a1,...,an). Donc le quotient detV(ai)/detV(bj) est det M(A:B) que nous avions évalué en utili-
sant la base intermédiaire Ccomme valant j>i(aj−ai)/j>i(bj−bi). Ce qui montre que detV(ai)=
c(n)j>i(aj−ai) avec une constante c(n). On peut montrer c(n)=1 par récurrence (en considérant
l’expression comme un polynôme en anpar exemple). Ce qui au final nous ramène aux approches
usuelles plus directes, donc disons qu’on fait ici juste une vérification de cohérence.
Avec comme bonus l’inverse de la matrice de Vandermonde! En effet V(a1,...,an)−1=M(A:
W)−1=M(W:A), autrement dit la matrice dont la jecolonne est formée par les coefficients du je
polynôme interpolateur de Lagrange Aj. . . joli, non ?
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