1 Exercice 1: Propagation dans un milieu diélectrique 2 Problème 1

Examen d'Electromagnétisme, M1 PSI 15 décembre 2008
Sans documents ni calculatrices. Durée: 2 heures
a
Les vecteurs seront notés en caractères gras. On notera
vecteur
1
a.
On désignera par
R = (x, y, z)
et
b = a/a
a
la norme et la direction d'un
le vecteur position dans un repère Cartésien (Oxyz).
Exercice 1: Propagation dans un milieu diélectrique
On considère un milieu diélectrique parfait, linéaire, homogène, isotrope, non-magnétique. On notera
ε
et
εr
les permittivités électriques absolues et relatives de ce milieu, et
n=
√
εr
l'indice du milieu.
1. Dénir chacun des termes en italique.
2. Ecrire les équations de Maxwell temporelles, puis harmoniques (convention
champs macroscopiques
E, D, B, H
e−iωt ) pour les quatre
dans le milieu, ainsi que les équations constitutives.
3. Montrer que les champs harmoniques
E
et
H
satisfont l'équation de Helmholtz dans toute région
sans sources:
∆E(R) + K 2 E(R) = 0,
où
K
est une constante que l'on nommera et explicitera.
4. Montrer que les ondes planes
E(R) = eiK·R E 0
et
B(R) = eiK·R B 0
sont des solutions élémen-
taires de l'équation de Helmholtz, puis des équations de Maxwell harmoniques, si les vecteurs
(K, E 0 , B 0 ) satisfont certaines conditions que l'on explicitera.
5. A quelle(s) condition(s) sur
E0
l'onde est t'elle de polarisation rectiligne ? circulaire ?
6. Deux milieux diélectrique du type précédent, d'indices respectifs
une interface plane
y = 0.
n1
et
n2 ,
sont séparés par
Une onde plane se propage dans le milieu 1 (y>0) vers l'interface
en incidence normale. Ecrire la forme des champs électriques incidents, transmis, rééchis, et
dénir les coecients de réexion
r
et de transmission
t
de Fresnel, que l'on ne demande pas de
calculer.
7. On suppose maintenant le milieu inférieur à pertes et d'indice complexe
n002
> 0.
n2 = n02 + in002 ,
avec
Montrer que le champ transmis est atténué lors de sa propagation. Dénir et exprimer
la profondeur de pénétration dans ce milieu en fonction de la longueur d'onde du vide (λ) et
2
n002 .
Problème 1: Formule des antennes
On se propose de retrouver de manière simple la formule des antennes donnant le rayonnement d'une
source en champ lointain.
1. Rappeler les équations de Maxwell satisfaites par les champs
E
et
B
dans le vide, en présence
de charges et de courants. On précisera la signication de tous les termes intervenant dans ces
équations.
2. Justier et dénir les potentiels scalaire
V
et vecteur
A reliés aux champs E
et
B.
Ces potentiels
sont-ils uniques ?
3. On adopte la condition de jauge de Lorentz:
div A +
Montrer qu'alors le potentiel vecteur
1 ∂V
= 0.
c2 ∂t
(2.1)
A satisfait l'équation d'onde, avec un second membre dépen-
dant uniquement des sources, que l'on spéciera.
1
4. On suppose une dépendance harmonique en temps (e
−iωt ) de tous les champs.
Montrer que
l'équation précédente se ramène à une équation de Helmholtz pour les champs harmoniques,
∆A(R) + K02 A(R) = −µ0 j(R),
où
j
K0
est la densité de courant volumique et
(2.2)
une constante que l'on précisera.
5. On rappelle que la solution physique de l'équation précédente est donnée par:
Z
A(R) = −µ0
où
G
est la fonction de Green scalaire
dR0 G(R − R0 )j(R0 ),
G(R) = G(R) = −eiK0 R /(4πR).
(2.3)
Pouvez-vous justier ce
résultat ?
6. On suppose maintenant que les sources sont localisées autour de l'origine dans une région
R0 < D
et on étudie la solution précédente en champ lointain, i.e. pour un point d'observation tel que
R >> D.
Montrer qu'en champ lointain
b
A(R) ' −µ0 G(R)J (R),
où
Z
b =
J (R)
et
b = R/R
R
(2.4)
0
dR0 e−iK0 R·R j(R0 )
b
(2.5)
est le vecteur unitaire dans la direction d'observation.
b sont d'un
R
b ∼ 1/R et rot (R
b × J (R))
b ∼ 1/R. En utilisant la
ordre ∼ 1/R, en particulier rot (J (R))
formule rot (GJ ) = Grot (J ) + ∇G × J , établir l'expression des champs lointains, électrique et
7. On admettra que les variations
de quantités
dépendant
uniquement de la direction
magnétique:
b × J (R)
b
B(R) ' −iµ0 K0 G(R) R
(2.6)
b × [R
b × J (R)],
b
E(R) ' iωµ0 G(R)R
(2.7)
et
Ces expressions sont connues sous le nom de formule des antennes.
Que peut-on dire de la
direction des champs par rapport à la direction d'observation ?
8. Pour une source de petite dimension devant la longueur d'onde, montrer que l'on peut faire
l'approximation dipolaire:
b ' −iωp,
J (R)
où
p
(2.8)
est le moment dipolaire de la source.
Indication: On utilisera l'identité
R
R
Rdiv j(R)dR = − j(R)dR
9. Dénir et calculer le vecteur de Poynting complexe
P (R)
puissance rayonnée par unité d'angle solide dans la direction
et l'équation de continuité.
associé à ces champs. On dénit la
b par P(R)
b = R2 P (R)· R
b.
R
Montrer
que:
2
b = αK 2 b
P(R)
0 R × J (R) ,
où
α
(2.9)
est une constante que l'on précisera.
10. Que devient cette expression dans l'approximation dipolaire ? En déduire la forme du diagramme
de rayonnement d'une antenne dipolaire et la loi en
2
ω4
de la diusion de Rayleigh.