Ch01/Nombres premiers, Divisibilité/Exercices. 1 Exercice n°75 p 29

Ch01/Nombres premiers, Divisibilité/Exercices. 1
Terminale S Spécialité mathématiques. Année 2011/2012
Exercice n°75 p 29 :
N
1
et N
2
sont AMICAUX ⟺ La somme des diviseurs stricts (tous sauf lui-même) de chacun
d’eux est égale à l’autre.
1. Les diviseurs stricts de 1184 sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296 et 592. Leur
somme est égale à 1210.
Ceux de 1210 sont : 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605. Leur somme est égale
à : 1184. Donc 1210 et 1184 sont AMICAUX.
2. Un nombre PARFAIT est un nombre AMICAL avec lui-même.
a. Le seul diviseur strict d’un nombre premier est 1 et 1 n’est pas premier. Donc
il n’existe pas de nombre PARFAIT premier.
b. Un nombre de la forme 2p avec p premier est PARFAIT ⟺ la somme des
diviseurs stricts 2p est égale à 2p ⟺ 1+2+p = 2p ⟺ p = 3.
Le seul nombre vérifiant la contrainte est donc 6.
Exercice n°80 p 29 :
M
n
= 2
n
– 1 pour n entier strictement positif.
1.
a. On a :
Pour n ≥ 1, M
n
est premier ⟺ n est premier.
b. M
11
= 2
11
- 1 = 2047 = 23 × 89, n’est donc pas premier. La conjecture est
incorrecte !

Ch01/Nombres premiers, Divisibilité/Exercices. 2
Terminale S Spécialité mathématiques. Année 2011/2012
2.
a. On suppose que n = pq avec p et q entiers supérieurs ou égaux à 2.
1
0
1 (2 )
(2 )
1 2
q p
p
q k
q
k
−
=
−
=
−
∑
somme des termes consécutifs de la suite géométrique de
raison 2
q
et de premier terme 1. Donc
1
0
2 1 (2 1) (2 )
p
pq q p k
k
−
=
− = −
∑
b. Si n n’est pas premier alors n peut s’écrire n = pq avec p et q sont supérieurs
ou égaux à 2. Dans ce cas M
n
= 2
n
- 1 =
1
0
2 1 (2 1) (2 )
p
pq q p k
k
−
=
− = −
∑
est divisible
par 2
q
– 1 ≠ 1 sachant que q ≥ 2, donc M
n
n’est pas premier. Ainsi par
contraposée, si M
n
est premier alors n est premier .
La réciproque est fausse, l’exemple n = 11 génère un nombre de Mersenne non
premier.
Principe du raisonnement par contraposée :
Si on a : P ⟹ Q alors Non (Q) ⟹ Non (P)