Ch01/Nombres premiers, Divisibilité/Exercices. 1 Exercice n°75 p 29

Ch01/Nombres premiers, Divisibilité/Exercices.
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Exercice n°75 p 29 :
N1 et N2 sont AMICAUX ⟺ La somme des diviseurs stricts (tous sauf lui-même) de chacun
d’eux est égale à l’autre.
1. Les diviseurs stricts de 1184 sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296 et 592. Leur
somme est égale à 1210.
Ceux de 1210 sont : 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605. Leur somme est égale
à : 1184. Donc 1210 et 1184 sont AMICAUX.
2.
Un nombre PARFAIT est un nombre AMICAL avec lui-même.
a. Le seul diviseur strict d’un nombre premier est 1 et 1 n’est pas premier. Donc
il n’existe pas de nombre PARFAIT premier.
b. Un nombre de la forme 2p avec p premier est PARFAIT ⟺ la somme des
diviseurs stricts 2p est égale à 2p ⟺ 1+2+p = 2p ⟺ p = 3.
Le seul nombre vérifiant la contrainte est donc 6.
Exercice n°80 p 29 :
Mn = 2n – 1 pour n entier strictement positif.
1.
a. On a :
Pour n ≥ 1, Mn est premier ⟺ n est premier.
b. M11 = 211 - 1 = 2047 = 23 × 89, n’est donc pas premier. La conjecture est
incorrecte !
Terminale S Spécialité mathématiques.
Année 2011/2012
Ch01/Nombres premiers, Divisibilité/Exercices.
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2.
a. On suppose que n = pq avec p et q entiers supérieurs ou égaux à 2.
p −1
∑ (2q )k =
k =0
1 − (2q )p
somme des termes consécutifs de la suite géométrique de
1 − 2q
p −1
raison 2q et de premier terme 1. Donc 2pq − 1 = (2q − 1)∑ (2p )k
k =0
b. Si n n’est pas premier alors n peut s’écrire n = pq avec p et q sont supérieurs
p −1
ou égaux à 2. Dans ce cas Mn = 2n - 1 = 2pq − 1 = (2q − 1)∑ (2p )k est divisible
k =0
par 2q – 1 ≠ 1 sachant que q ≥ 2, donc Mn n’est pas premier. Ainsi par
contraposée, si Mn est premier alors n est premier.
La réciproque est fausse, l’exemple n = 11 génère un nombre de Mersenne non
premier.
Principe du raisonnement par contraposée :
Si on a : P ⟹ Q alors Non (Q) ⟹ Non (P)
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