Énoncé - al9ahira

ROYAUME DU MAROC
Minist` ere de l’ ´ Education Nationale, de l’Enseignement
Sup´ erieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Pr´ esidence du Concours National Commun 2007
´
Ecole Nationale Sup´ erieure d’ ´ Electricit´ e et de M´ ecanique
ENSEM
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes ´ Ecoles d’Ing´ enieurs ou Assimil´ ees
Session 2007
´
EPREUVE DE MATH ´ EMATIQUES II
Dur´ ee 4 heures
Fili` ere PSI
Cette ´ epreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit

Concours National Commun – Session 2007 – PSI
L’´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats de la fili`ere PSI,
comporte 3 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation, la clart´e et la pr´ecision des
raisonnements constitueront des ´el´ements importants pour l’appr´eciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec pr´ecision les r´ ef´ erences des questions abord´ees.
Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amen´ e` a prendre.
Notations et rappels
Dans tout le probl` eme, Rd´ esigne le corps des r´ eels et nun entier naturel sup´ erieur ou ´ egal ` a2. Si
p∈N∗, on note Mn,p(R)l’espace vectoriel des matrices ` a coefficients r´ eels, ` anlignes et pcolonnes ;
pour toute matrice Ade Mn,p(R),tAd´ esigne la matrice transpos´ ee de A.
Si p=n,Mn,p(R)est not´ e simplement Mn(R), c’est l’alg` ebre des matrices carr´ ees d’ordre n` a
coefficients r´ eels ; la matrice identit´ e de Mn(R)est not´ ee In.
Si A∈ Mn(R), on note C1(A), . . . , Cn(A)les colonnes de A, ce sont des ´ el´ ements de Mn,1(R);
par d´ efinition, le rang de la matrice Aest la dimension du sous-espace vectoriel de Mn,1(R)
engendr´ e par les vecteurs C1(A), . . . , Cn(A). Le rang de Ase note rg(A), on note aussi SpR(A)
l’ensemble des valeurs propres de Aappartenant ` aRet Tr(A)sa trace.
Si α1, α2, . . . , et αnsont des r´ eels, on note diag(α1, α2, . . . , αn)la matrice diagonale de Mn(R)
qui admet pour coefficients diagonaux les r´ eels α1, α2, . . . , αnpris dans cet ordre.
1`ere Partie
1. Discuter le rang de la matrice a b
c dselon les valeurs de a, b, c et d.
2. Soit A= (ai,j )∈ Mn(R).
(a) Montrer que rg(A)=0si et seulement si pour tout couple (i, j)d’´ el´ ements de
{1, . . . , n}, ai,j = 0.En particulier, si An’est la matrice nulle alors rg(A)>1.
(b) Montrer que Aest inversible si et seulement si rg(A) = n.
3. Soit A∈ Mn(R); on d´ esigne par fAl’endomorphisme de Mn,1(R)canoniquement associ´ e` a
A. Montrer que
rg(A) = dim (Im fA).
4. Soient Uet Vdeux ´ el´ ements non nuls de Mn,1(R); on note u1, . . . , unles composantes de U
et v1, . . . , vncelles de V. On pose A=UtV.
(a) Exprimer les coefficients de la matrice A` a l’aide des uket des vk.
(b) Que vaut la trace de A?
(c) Exprimer les colonnes de A` a l’aide de v1, . . . , vnet U.
(d) On suppose que U6= 0 et V6= 0 ; montrer que le rang de Aest ´ egal ` a1.
5. On consid` ere ici une matrice A∈ Mn(R)de rang 1.
(a) Montrer qu’il existe i0∈ {1, . . . , n}tel que Ci0(A)6= 0.
(b) Justifier que pour tout j∈ {1, . . . , n}, il existe un r´ eel λjtel que Cj(A) = λjCi0(A).
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(c) En d´ eduire que A=XtYo` uX=Ci0(A)et Yest un ´ el´ ement non nuls de Mn,1(R)` a
pr´ eciser.
(d) On suppose que A=X0tY0; Trouver tous les couples (X1, Y1)d’´ el´ ements de Mn,1(R)
tels que A=X1tY1.
6. Soit A∈ Mn(R)une matrice de rang r > 0; montrer que Apeut s’´ ecrire comme somme de r
matrices de rang 1.
7. (a) Soient (Y1, . . . , Yp)une famille libre de Mn,1(R), et Z1, . . . , Zpdes vecteurs arbitraires
de Mn,1(R). Montrer que l’´ egalit´ e
p
X
i=1
Yt
iZi= 0 a lieu si et seulement si les vecteurs
Z1, . . . , Zpsont tous nuls.
(b) En d´ eduire que si (X1, . . . , Xn)et (Y1, . . . , Yn)sont deux bases de Mn,1(R)alors la famille
(XitYj)16i,j6nest une base de Mn(R)form´ ee de matrices de rang 1.
8. (a) Montrer que l’application <, >: (M, N )7→ Tr(tM N )est un produit scalaire sur Mn(R).
(b) ` A quelle condition sur les vecteurs X, X0,Y, Y 0de Mn,1(R), les matrices XtYet X0tY0
sont-elles orthogonales dans (Mn(R), <, >)?
(c) En d´ eduire une m´ ethode de construction de familles orthonorm´ ees, de l’espace euclidien
(Mn(R), <, >), de la forme (Xt
iYj)16i,j6n.
2`eme Partie
Soit A=UtVune matrice de rang 1, o ` uUet Vsont deux ´ el´ ements non nuls de Mn,1(R). On
pose α=tV U et W= (tV V )U.
1. Calculer A2en fonction du r´ eel αet de A.
2. ` A quelle condition n´ ecessaire et suffisante sur αla matrice Aest-elle nilpotente ?
3. On suppose que An’est pas nilpotente ; montrer qu’il existe λ, r´ eel non nul, tel que la matrice
λA soit celle d’un projecteur.
4. (a) Justifier que 0est valeur propre de Aet montrer que le sous-espace propre associ´ e n’est
rien d’autre que {Y∈ Mn,1(R),tV Y = 0}. Quelle est sa dimension ?
(b) On suppose que α6= 0 ; calculer le produit AU et en d´ eduire que αest une autre valeur
propre de A. D´ eterminer le sous-espace propre associ´ e et donner sa dimension.
(c) Pr´ eciser selon les valeurs de αle nombre de valeurs propres de A.
5. Montrer que si α6= 0, alors la matrice Aest diagonalisable dans Mn(R).
Justifier alors, dans ce cas, que Aest semblable dans Mn(R)` a la matrice diag(0, . . . , 0, α).
6. On suppose que α= 0 et on d´ esigne par fl’endomorphisme de Mn,1(R)canoniquement
associ´ e` aA.
(a) Aest-elle diagonalisable dans Mn(R)?
(b) Montrer que U∈Ker fet justifier l’existence d’une base de Ker fde la forme
(E1, . . . , En−2, W ).
(c) Montrer que (E1, . . . , En−2, W, V )est une base de Mn,1(R)et ´ ecrire la matrice de fdans
cette base.
(d) En d´ eduire que deux matrices de rang 1et de trace nulle sont semblables dans Mn(R).
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3`eme Partie
Si A= (ai,j )∈ Mn(R), on note Acsa comatrice, c’est ` a dire la matrice de terme g´ en´ eral Ai,j ,
cofacteur de ai,j dans A. On rappelle que
AtAc=tAcA= detA In.
On admet les deux r´ esultats suivant :
•Si le rang de Aest ´egal `a r > 0alors il existe une sous-matrice de Aqui est inversible d’ordre r.
•S’il existe une sous-matrice de la matrice A, qui soit d’ordre r > 0et inversible, alors le rang de Aest
sup´erieur ou ´egal `a r.
1. Soit A∈ Mn(R).
(a) Si Aest de rang n, montrer que Acest aussi de rang n. Exprimer Ac` a l’aide de l’inverse
A−1de A.
(b) Si Aest de rang inf´ erieur ou ´ egal ` an−2, montrer que la matrice Acest nulle.
2. On suppose ici que A∈ Mn(R)est de rang n−1.
(a) Justifier que rg(Ac)>1.
(b) Soit f(resp. g) l’endomorphisme de Mn,1(R)canoniquement associ´ e` aA(resp. tAc).
Montrer que Im g⊂Ker fet conclure que que rg(Ac) = 1.
3. Soit A∈ Mn(R). On rappelle que le polynˆ ome caract´ eristique PAde Av´ erifie
∀t∈R, PA(t) = det(A−tIn).
On d´ esigne par B= (e1, . . . , en)la base canonique de Mn,1(R)et on rappelle que le
d´ eterminant de toute matrice B∈ Mn(R)est ´ egal au d´ eterminant relativement ` a la base B
du syst` eme de vecteurs form´ e par les colonnes C1(B), . . . , Cn(B)de la matrice B:
detB= detB(C1(B), . . . , Cn(B)).
(a) Montrer que la fonction t7→ detB(C1(A)−te1, . . . , Cn(A)−ten)est d´ erivable sur Ret
calculer sa d´ eriv´ ee.
(b) Justifier alors que P0
A(0) = −Tr(Ac).
4. Soient Aet Bdeux matrices semblables de Mn(R).
(a) Montrer que Aet Bont la mˆ eme trace, le mˆ eme rang et le mˆ eme polynˆ ome car-
act´ eristique.
(b) En d´ eduire que Acet Bcont la mˆ eme trace.
(c) Montrer que si Aest de rang n, alors Acet Bcsont semblables dans Mn(R).
(d) Que peut-on dire si rg(A)6n−2?
(e) On suppose que rg(A) = n−1.
i. Montrer que si Tr(Ac)6= 0, alors alors Acet Bcsont semblables dans Mn(R).
ii. Montrer que si Tr(Ac) = 0, alors alors Acet Bcsont aussi semblables dans Mn(R).
FIN DE L’´ EPREUVE
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