Cinématique : Rotation autour d`un axe

III. Vecteur vitesse et accélération
Repérage curviligne
!"
La position du point M est repérée à tout instant t par son abscisse
curviligne s :
s(t) = arc AM (en mètres )
Vitesse linéaire :
ds (t )
v(t) = dt
Accélération tangentielle :
Accélération normale :
V(M∈∈S/R) = v(t) . t
et
γt
(en m/s)
θ’ = cte
On en déduit les équations du mouvement de ce point M :
Accélération angulaire
Vitesse angulaire
Abscisse angulaire
avec
dv(t ) d 2 s(t )
= dt = dt 2 (en m / s2)
γn =
− v2
R
(en m / s2)
Γ(M∈S/R) = γt . t + γn . n
w = θ’ =
Vitesse angulaire :
dθ (t )
(en radians: rad)
(rad/s2)
(rad/s)
(rad)
On en déduit les équations du mouvement de ce point M :
Accélération angulaire θ’’ = cte
Vitesse angulaire
× t + θ ’0
θ’(t) = θ’’×
Abscisse angulaire
(en rad/s)
dt
d 2θ (t )
(en rad/s2)
dt 2
Avec
γn =
et
θ(t) =
1
θ’’×
× t2
2
(rad/s2)
(rad/s)
+ θ’0 ×t + θ0 (rad)
θ’0 : vitesse angulaire à l’instant t=0
θ0 : abscisse angulaire à l’instant t=0
Γ
V=v.t
γt
(M∈S/R)
Abscisse angulaire
(rad)
γn
n
Dans ce cas, le
mouvement du point M
est accéléré.
M
O
dθ (t )
ds (t )
= R. dt = R . θ’
dt
dv (t )
= R . θ’’
dt
θ’’ = 0
θ’ = cte = θ’0
θ(t) = θ’×
×t + θ 0
θ’0 : vitesse angulaire à l’instant t=0
θ0 : abscisse angulaire à l’instant t=0
θ(t) : abscisse angulaire à l’instant t
V. Mouvement circulaire uniformément varié
Le mouvement de rotation d’un solide S est uniformément varié si
l’accélération angulaire θ’’ d’un point M de S est constante.
θ’’ = cte
Repérage angulaire
!"
On repère la position du point M sur sa trajectoire par son abscisse
angulaire
θ(t) = (OA, OM)
θ’’ =
Accélération angulaire :
Relation entre repérage angulaire et curviligne
!"
s = R. θ
Abscisse curviligne
(m)
V=
γt =
θ
(S)
− v2
θ’)2
R = - R . (θ
IV. Mouvement circulaire UNIFORME
Le mouvement de rotation d’un solide S est uniforme si la vitesse
angulaire θ’ d’un point M de S est constante.
A
- Le mouvement est accéléré si la composante tangentielle γt et la
vitesse v sont de même sens.
- Le mouvement est freiné si γt et v sont de sens opposés.
Editeur : MemoPage.com SA © / 2006 / Auteur : Stéphane Laurensou
La position du point M peut être repérée par :
- l’angle θ(t )
(en radians)
- l’abscisse curviligne s(t) = arc AM (en mètres)
- Soit le vecteur t tangent au point M
à la trajectoire τ(M∈S/R) orienté dans
le sens du mouvement.
- Soit le vecteur unitaire n, normal à
la trajectoire τ(M∈S/R).
A
(S)
θ
Les trajectoires de tous les points d’un solide S en rotation au tour d’un
axe sont des arcs de cercles concentriques, dont le centre
appartient à l’axe de rotation.
t
n τ(M∈S/R) est un cercle de centre O et
τ(M∈S/R)
de rayon OM =R
M
R
- Soit le point A position du point M
O
à l’origine du mouvement.
II. Trajectoire et position du point M
Ces 2 points appartiennent à l’axe de rotation.
(S)
A
Un solide S est animé d’un mouvement
de rotation autour d’un axe, dans le
repère R, s’il existe au moins 2 points
A et B de S qui restent immobiles
pendant le mouvement.
B
I. Définition
Cinématique :
Rotation autour
d’un axe