Colle de Mathématiques : Semaine du 30 / 01 / 2017

Colle de Mathématiques : Semaine du 30 / 01 / 2017
Intégration
Rappels
et
compléments.
cf programme précédent
Variables aléatoires à densité. 1. Variables aléatoires réelles à densité.
Dénition 1. Soient X une variable aléatoire dénie sur (Ω, A, P ) et FX sa fonction de répartition.
On dit que X est une variable aléatoire à densité si sa fonction de répartition FX est continue sur R et de classe
C 1 sauf éventuellement en un nombre ni de points.
Dans ce cas, on appelle densité de X toute fonction fX telle que fX = FX0 en tout point où FX est dérivable. /
.
Propriétés d'une densité.
Proposition 1. (caractérisation des densités)
Soit f une fonction dénie sur R.
f est la densité d'une variable aléatoire à densité si, et seulement si :
(a) f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre ni de points,
(b) ∀x ∈ R, f (x) > 0,
I
(c) l'intégrale
Z
+∞
f (t)dt est convergente et
−∞
Z
+∞
f (t)dt = 1.
−∞
. Dénition 2. Soit X une variable aléatoire à densité de densité f . On appelle support de X l'ensemble noté
X(Ω) déni par :
X(Ω) = {x ∈ R/ f (x) 6= 0}.
/
2. Fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.
Propriétés d'une fonction de répartition.
Proposition 2. (caractérisation de la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité).
Soit F une fonction dénie sur R qui vérie :
I
(a) F est croissante sur R,
(b)
lim F (x) = 0 et lim F (x) = 1,
x→−∞
x→+∞
(c) F est continue sur R et C 1 sur R sauf éventuellement en un nombre ni de points.
Alors F est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité X .
De plus on peut dénir une densité f de X par : pour tout réel x où F est dérivable,
f (x) = F 0 (x).
Calcul de probabilité à l'aide de la fonction de répartition
3. Moments d'une variable aléatoire à densité.
Espérance.
Linéarité de l'espérance. Transformée ane d'une variable aléatoire . Croissance de l'espérance.
Théorème transfert.
Moments d'ordre n, où n ∈ N. Dénition.
Variance et écart-type. Dénitions. Formule de Koenig-Huygens)
Propriétés de la variance.
Variable centrée, réduite.
1
4. Indépendance.
Indépendance mutuelle, indépendance deux à deux.
Lemme des coalitions.
Espérance et somme de variables aléatoires , espérance et produit de variables aléatoires indépendantes.
Variance et somme de variables aléatoires indépendantes
5. Loi d'une fonction d'une ou plusieurs variables aléatoires à densité.
Méthode générale pour une fonction d'une variable aléatoire .
Exemples avec une loi exponentielle. Détermination de la loi de Y = e , Z = X , T = aX + b.
Loi d'un minimum ou d'un maximum de variables aléatoires à densité.
X
2
Exemples à maîtriser (ils pourront faire l'objet de la question de cours ) :
= ae
si t ∈ [0, ∞[ .
Soit a > 0. On considère la fonction f dénie sur R par : ff (t)
(t) =
0
si t ∈] ∞, 0[
99K Montrer que f est une densité de probabilité.
99K Soit X une variable aléatoire à densité de densité de probabilité f . Déterminer le support de X
99K Déterminer sa fonction de répartition.
−at
•
+
−
1
si t ∈ [1; ∞[
(t) = 1 −
Soit F donnée par FF (t)
t
=
0
si t ∈] ∞; 1[
99K Montrer que F est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité que l'on nommera Y .
99K Préciser une densité de Y .
99K Préciser Y (Ω).
(
•
+
−
•
•
On considère donc une variable aléatoire X à densité, de densité f : x 7→
99K On pose Z = bXc. Déterminer la loi de Z .
99K Calculer, si possible, l'espérance de X .
99K Calculer, si possible, la variance de X .
On considère donc une variable aléatoire Y à densité, de densité
Calculer, si possible, l'espérance de Y√.
99K Calculer, si possible, l'espérance de Y .
si
si
e−x
0

1

 2
x
g : x 7→


0
si
si
.
x>0
x<0
x>1
.
x<1
99K
99K
99K
Soit X une variable aléatoire continue de densité
Calculer, si possible, la variance de X .

2

 3
t
g : t 7→


0
si
si
t>1
.
t<1
Question de cours : La colle commencera systématiquement par une question de cours dont l'exposé ne devra pas
excéder 10 minutes. Un élève qui ne connaît pas son cours n'a pas la moyenne.
Une question de cours peut être une dénition, un théorème (ou une propriété) avec ou sans sa démonstration dans le cas
où celle-ci a été étudiée, des formules à énoncer etc...
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