Colle de Mathématiques : Semaine du 20 / 03 / 2017

Colle de Mathématiques : Semaine du 20 / 03 / 2017
Fonctions
de deux variables.
cf. programme précédent
Convergence
et approximations de variables aléatoires.
1. Convergence en probabilité.
Inégalité de Markov.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
.
Convergence en probabilité. Dénition. Loi faible des grands nombres.
2. Convergence en loi.
Dénition.
Cas des variables discrètes.
Preuve
I
Proposition 1.
Soit
(Xn )
une suite de variables aléatoires discrètes à valeur dans
aléatoire discrète à valeurs dans
Z
et
X
une variable
Z.
Alors, on a l'équivalence :
(Xn )
converge en loi vers
'
Théorème 1.
Soit
X
∀k ∈ Z,
si, et seulement si
lim P (Xn = k) = P (X = k).
n→+∞
$
Théorème central limite
(Xn )n∈N
m
une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant une
2
et une variance non nulle σ .
n
X
Sn − nm
√
Xk
et
Sn∗ =
On pose Sn =
.
espérance
σ n
k=1
Alors la suite
(Sn∗ )n∈N
converge en loi vers une variable aléatoire
N
de loi normale
N (0, 1).
Sn − nm L
√
−→ N (0, 1).
σ n
i.e.
&
%
3. Approximations.
I
Proposition 2.
Soient
λ > 0,
(Xn )n∈N∗
∀n ∈ N
Alors
I
(Xn )n∈N∗
(Sn )n∈N∗
,
λ
.
Xn ,→ B n,
n
converge en loi vers une variable aléatoire
Proposition 3.
Soit
une suite de variables aléatoires discrètes telles que
∗
Soit
p ∈]0; 1[.
On note
X
qui suit une loi
I Proposition
Sn ,→ P (nα).
4.
Soient
Alors la suite de terme général
Sn∗ =
(Sn )
∀n ∈ N∗ ,
Sn ,→ B (n, p).
Preuve
Sn − np
Sn∗ = √
npq
α > 0,
P(λ).
q = 1 − p.
une suite de variables aléatoires discrètes telles que
Alors la suite de terme général
Preuve
converge en loi vers une variable aléatoire de loi
N (0, 1).
une suite de variables aléatoires discrètes telles que
Sn − nα
√
nα
converge en loi vers une variable aléatoire
N (0, 1).
1
X
∀n ∈ N∗ ,
Preuve
qui suit une loi
Estimation. 1. Introduction.
Échantillon d'une variable aléatoire. Dénition. Exemple.
Outils utilisés dans les exercices.
2. Estimation ponctuelle.
Dénition d'un estimateur.
Un estimateur important : la moyenne empirique.
Biais. Dénition.
Estimateurs asymptotiquement sans biais.
Risque quadratique. Dénition.
I
Proposition 5.
Soit
Tn
un estimateur de
θ,
de risque quadratique
rθ (Tn ).
Alors :
Preuve
rθ (Tn ) = [b(Tn )]2 + V (Tn ).
Estimateur convergent. Dénition. Lien avec la convergence vers 0 du risque quadratique.
Exemples à maîtriser (
ils pourront faire l'objet de la question de cours



):
0, x n
1− 1−
n
1
si x ∈ R
si x ∈ [0; n[
si x ∈ [n; ∞[.
∗
−
Pour n ∈ N , on considère la var X de fonction F dénie par F (x) = 
Montrer que (X ) converge en loi vers une variable aléatoire X que l'on précisera.
99K Soit (X ) une suite de variable aléatoire telle que X (Ω) = [[0, N ]]
et pour k ∈ [[1, N ]], P (X = k) = N + 11+ e , P (X = 0) = a.
Déterminer a et montrer que (X ) converge en loi vers une variable aléatoire X dénie sur [[0, N ]].
∗
99K
n
n
n
+
n
n
n
n
n
−n
n
99K
Soit une suite de variables aléatoires (X ) indépendantes, dénies sur (Ω, A, P ) telles que ∀i ∈ N , X
On note Y = X + ..n + X .
Z
Montrer que : lim P 2 − √1n 6 Y 6 2 + √1n = √12π e dt.
∗
i i∈N
1
i
,→ G
.
1
2
n
n
1
√
2
n→+∞
99K
n
−t2
2
−1
√
2
Les propositions 2,3,4,5 précédentes avec leur preuve.
-
La colle commencera systématiquement par une question de cours dont l'exposé ne devra pas
excéder 10 minutes. Un élève qui ne connaît pas son cours n'a pas la moyenne.
Une question de cours peut être une dénition, un théorème (ou une propriété) avec ou sans sa démonstration dans le cas
où celle-ci a été étudiée, des formules à énoncer etc...
Question de cours :
2