Dual topologique d`un espace lp. Exemples de parties compactes

Probl` emes de Math´ ematiques
Dual topologique d’un espace `p. Exemples de parties compactes de `2
´
Enonc´e
Dual topologique d’un espace `p. Exemples de parties
compactes de `2
Dans tout le probl`eme le corps de base des espaces vectoriels consid´er´es est C. Lorsque (E , k·k)
est un espace vectoriel norm´e, E0d´esigne l’espace des formes lin´eaires continues sur (E , k·k) .
Partie I
[ I ] [ S ] 1) On d´esigne par Bla boule ferm´ee unit´e de E, c’est `a dire l’ensemble des vecteurs xde
Etels que kxk61 . Montrer que l’on d´efinit une norme |k · k| sur E0par la formule :
∀x∗∈E0,|kx∗k| = Sup
x∈B
|x∗(x)|.
[ I ] [ S ] 2) Dans toute la suite on consid´erera l’espace norm´e (E0,|k · k|) qui sera simplement not´e E0
et appel´e dual topologique de E.
a) Soit (x∗
n)n∈Nune suite de Cauchy de E0. Montrer que pour chaque xfix´e dans E, la
suite x∗
n(x)n∈Nest convergente dans C. On associe ainsi, `a chaque x∈E, un unique
complexe lim
n→+∞x∗
n(x) que l’on note x∗(x) .
b) Montrer que l’application x∗:E7−→ Cd´efinie en a) est ´el´ement de E0.
c) Montrer que lim
n→+∞|kx∗
n−x∗k| = 0 .
[ I ] [ S ] 3) ´ Enoncer le r´esultat de port´ee g´en´erale d´emontr´e dans cette partie.
Partie II
Soit `1l’espace des suites (xn)n∈Ntelles que la s´erie Pxnsoit absolument convergente. On
munit `1de la norme d´efinie par ∀x∗∈`1,kxk1=
+∞
X
n=0
|xn|. Soit `∞l’espace des suites
born´ees `a valeurs dans C, muni de la norme d´efinie par ∀x∗∈`∞,kxk∞= Sup
n∈N
|xn|. On
note C0le sous-espace de `∞constitu´e des suites convergentes vers 0 et Pl’ensemble des suites
complexes nulles au del`a d’un certain rang. Pour n∈Non note δnl’´el´ement de Pd´efini par
δn= (δnk)n∈No`u δnk = 1 si n=ket 0 si n6=k.
[ I ] [ S ] 1) a) V´erifier les inclusions P ⊂ `1⊂ C0⊂`∞.
b) Comparer sur `1la norme k·k1avec la restriction de k·k∞`a `1.
c) Montrer que Pest une partie dense de (`1,k·k1) .
d) Montrer que Pest une partie dense de (C0,k·k∞).
e) Pest-elle une partie dense de (`∞,k·k∞) ?
[ I ] [ S ] 2) Soit Φ : (`1)07−→ `∞l’application d´efinie par ∀x∗∈(`1)0, Φ(x∗) = x∗(δn)n∈N·
a) V´erifier que l’application Φ est bien d´efinie, c’est `a dire que, pour tout x∗∈(`1)0,
Φ(x∗)∈`∞.
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Dual topologique d’un espace `p. Exemples de parties compactes de `2
´
Enonc´e
b) Montrer que Φ est une application lin´eaire continue. Quelle est sa norme ?
c) Montrer que Φ est une isom´etrie, c’est `a dire une bijection telle que ∀x∗∈(`1)0,
kΦ(x∗)k∞=|kx∗k| .
d) Que d´eduisez vous de I.3 et II.2.c en ce qui concerne l’espace norm´e `∞?
e) Construire une isom´etrie Ψ : C0
07−→ `1. Qu’en d´eduisez vous pour l’espace norm´e `1?
Partie III
pet qsont des r´eels de ]1 ,+∞[ tels que 1
p+1 q= 1 . Pour tout r´eel tpositif on pose tp= exp(pln t)
si t > 0 et t0= 1 . On note `pl’ensemble des suites x= (xn)n∈Nde CNtelles que la s´erie P|xn|p
soit convergente. On pose alors kxkp=+∞
X
n=0
|xn|p1
p.
[ I ] [ S ] 1) a) D´eduire de la convexit´e de l’exponentielle r´eelle que pour tout (u , v)∈R2
+,uv 6up
p+vq q·
b) En d´eduire que si (x , y)∈`p×`qv´erifie kxkp=kykq= 1 , alors z= (xnyn)n∈N∈`1et
kzk161 . En conclure que
∀(x , y)∈`p×`q,
+∞
X
n=0
|xn||yn|6kxkpkykq.
Cette in´egalit´e est dite in´egalit´e de H¨older. Pr´eciser le cas d’´egalit´e.
c) V´erifier que |xn+yn|p6|xn+yn|p
q|xn|+|xn+yn|p q|yn|et d´eduire de l’in´egalit´e de H¨older
que si (x , y)∈(`p)2, alors x+y∈`pet
+∞
X
n=0
|xn+yn|p6kxkp+kykp+∞
X
n=0
|xn+yn|p1
q.
d) En conclure que `pest un sous-espace vectoriel de `∞, et que k·kpest une norme sur `p.
[ I ] [ S ] 2) On donne ici deux r´eels tels que 1 < p < r .
a) Montrer que `p⊂`r. Comparer sur `pla norme k·kpavec la restriction de k·kr`a `p.
b) Montrer que `pet son compl´ementaire dans `rsont des parties denses de (`r,k·kr).
[ I ] [ S ] 3) a) Soit x∗∈(`p)0. On pose Φp(x∗) = x∗(δn)n∈N·On note θnun argument de x∗(δn) et on
consid`ere les ´el´ements de Pd´efinis par Xn=
n
X
k=0
|x∗(δk)|q
pe−iθkδkpour chaque n∈N.
En calculant |x∗(Xn)|et en le majorant `a l’aide de |kx∗k|, montrer que Φp(x∗)∈`qet
que kΦp(x∗)kq6|kx∗k| .
b) Montrer que Φpest une isom´etrie de (`p)0sur lq.
c) Qu’en d´eduit-on pour le bidual topologique (lp)00 ?
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´
Enonc´e
d) Quelle conclusion apporte I.3 pour tout espace `pquand p∈[1,+∞] ?
Partie IV
[ I ] [ S ] 1) Montrer que la boule ferm´ee unit´e Bde `∞n’est pas compacte.
[ I ] [ S ] 2) Soit Qle sous-ensemble de `2d´efini par Q={x∈l2| |xn|61
n}. Montrer que Qn’est
contenu dans aucun sous-espace de dimension finie de `2et que Qest compact.
[ I ] [ S ] 3) Soit u∈`∞et Q(u) = {x∈`2| |xn|6|un|}. Montrer que Q(u) est compact si et seulement
si u∈`2.
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Indications
Indications ou r´esultats
Partie I
[Q] 1) Toute application lin´eaire continue est born´ee sur la boule unit´e.
[Q] 2) a) V´erifier que la suite x∗
n(x)n∈Nest de Cauchy.
b) Il suffit de prouver que x∗est lin´eaire et born´ee sur la boule unit´e.
c) Montrer que la suite x∗
n(x)n∈Nconverge uniform´ement par rapport `a x∈ B vers x∗(x) .
[Q] 3) Compl´etude du dual topologique d’un espace norm´e.
Partie II
[Q] 1) a) Appliquer les d´efinitions.
b) V´erifier que k · k∞6k · k1et utiliser les suites canoniques δkpour montrer que k · k1
n’est pas born´ee sur la sph`ere unit´e de k·k∞.
c) Montrer que si x= (xn)n∈N∈`1, la suite de terme g´en´eral Xn=
n
X
k=0
xkδk∈ P converge
vers xdans (`1,k·k1) .
d) Proc´eder comme en c) avec x= (xn)n∈N∈ C0et la suite de terme g´en´eral Xn=
n
X
k=0
xkδk.
e) Une limite uniforme d’une suite `a valeurs dans Pdevrait converger vers 0. On justifiera
donc une r´eponse n´egative.
[Q] 2) a) x∗∈(`1)0est born´ee sur B, et δn∈ B .
b) Montrer que l’application lin´eaire Φ est 1-Lipschitzienne puis, consid´erer l’´el´ement
remarquable x∗de (`1)0d´efini par ∀x= (xn)n∈N∈`1,x∗(x) =
+∞
X
n=0
xn.
c) Pour montrer que Φ conserve la norme utiliser II.1.c et II.2.b. Pour montrer que Φ est
surjective, consid´erer pour chaque u∈`∞la forme lin´eaire x∗sur `1d´efinie par ∀x∈`1,
x∗(x) =
+∞
X
n=0
unxn.
d) Tout espace isom´etrique `a un espace complet est complet.
e) Consid´erer l’application Ψ : C007−→ `1qui `a x∗∈ C00associe Ψ(x∗) = x∗(δn)n∈Net
proc´eder comme ci dessus pour montrer que c’est une isom´etrie.
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Indications
Partie III
[Q] 1) a) Appliquer l’in´egalit´e de convexit´e `a l’exponentielle pour le barycentre des points pln u
et qln vaffect´es des poids 1
pet 1 q·
b) Pour se ramener au cas o`u kxkp=kykq= 1 , remplacer xet ypar x
kxkp
et y
kykq
·
[Q] 2) a) Montrer que ∀v∈`p,kvkr6kvkp. Montrer ensuite que le rapport k·kp
k·kr
n’est pas
born´e en consid´erant la suite de terme g´en´eral X(n)=
n
X
k=1
δk
k1
p
·
b) Pour la densit´e de `pdans `rproc´eder comme en II.1.c. Pour la densit´e du compl´ementaire
de `pdans `robserver que, d’une fa¸con g´en´erale, le compl´ementaire d’un sous-espace
strict d’un espace-vectoriel norm´e est toujours dense dans cet espace-vectoriel norm´e.
[Q] 3) a) Partant de |x∗(Xn)|=
n
X
k=0
|x∗(δk)|q=kXnkp
paboutir `a n
X
k=0
|x∗(δk)|q1
q6|kx∗k| et
conclure.
b) Pour l’in´egalit´e inverse de celle du a) montrer que
∀x∈`p,|x∗(x)|=
+∞
X
k=0
xkx∗(δk)6
+∞
X
k=0
|xk| |x∗(δk)|6kΦp(x∗)kqkxkp.
Montrer, comme en II.2.c, que Φpest surjective.
c) (lp)00 est isom´etrique `a `p.
d) `pest complet.
Partie IV
[Q] 1) V´erifier que la suite (δk)k∈N, qui est `a valeurs dans Bn’a aucune valeur d’adh´erence.
[Q] 2) Construire une famille libre infinie `a valeurs dans Q. Pour montrer la compacit´e de Q,
fixer une suite (Xn)n∈N∗dans QN∗et construire par r´ecurrence sur p∈N∗une suite
(yp)p∈N∗∈Qtelle que pour tout entier pil existe une partie infinie Apde N∗telle que
pour tout k∈[[ 1 , p ]] , la suite (Xnk)n∈Apconverge vers yk. Montrer qu’alors la suite yest
valeur d’adh´erence dans Qde la suite (Xn)n∈N∗.
[Q] 3) Si u∈CNest une suite telle que Q(u) soit compact dans `2, extraire de la suite de terme
g´en´eral Xn=
n
X
k=0
ukδk, qui est `a valeurs dans Q(u) , une sous-suite convergente, et en
d´eduire que u∈`2. Pour la r´eciproque proc´eder comme en 2).
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