Dual topologique d`un espace lp. Exemples de parties compactes

Problèmes de Mathématiques
Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Énoncé
Dual topologique d’un espace `p. Exemples de parties
compactes de `2
Dans tout le problème le corps de base des espaces vectoriels considérés est C . Lorsque (E , k·k)
est un espace vectoriel normé, E 0 désigne l’espace des formes linéaires continues sur (E , k · k) .
Partie I
[ I ] [ S ] 1) On désigne par B la boule fermée unité de E , c’est à dire l’ensemble des vecteurs x de
E tels que kxk 6 1 . Montrer que l’on définit une norme |k · k| sur E 0 par la formule :
∀ x∗ ∈ E 0 , |kx∗ k| = Sup |x∗ (x)| .
x∈B
[ I ] [ S ] 2) Dans toute la suite on considérera l’espace normé (E 0 , |k · k|) qui sera simplement noté E 0
et appelé dual topologique de E .
a) Soit (x∗n )n∈N une suite de Cauchy de E 0 . Montrer que pour chaque x fixé dans E , la
suite x∗n (x) n∈N est convergente dans C . On associe ainsi, à chaque x ∈ E , un unique
complexe lim x∗n (x) que l’on note x∗ (x) .
n→+∞
b) Montrer que l’application x∗ : E 7−→ C définie en a) est élément de E 0 .
c) Montrer que lim |kx∗n − x∗ k| = 0 .
n→+∞
[ I ] [ S ] 3) Énoncer le résultat de portée générale démontré dans cette partie.
Partie II
Soit `1 l’espace des suites (xn )n∈N telles que la série
P
xn soit absolument convergente. On
+∞
X
∗
1
1
munit ` de la norme définie par ∀ x ∈ ` , kxk1 =
|xn | . Soit `∞ l’espace des suites
n=0
bornées à valeurs dans C , muni de la norme définie par ∀ x∗ ∈ `∞ , kxk∞ = Sup |xn | . On
n∈N
note C0 le sous-espace de `∞ constitué des suites convergentes vers 0 et P l’ensemble des suites
complexes nulles au delà d’un certain rang. Pour n ∈ N on note δn l’élément de P défini par
δn = (δnk )n∈N où δnk = 1 si n = k et 0 si n 6= k .
[ I ] [ S ] 1) a) Vérifier les inclusions P ⊂ `1 ⊂ C0 ⊂ `∞ .
b) Comparer sur `1 la norme k · k1 avec la restriction de k · k∞ à `1 .
c) Montrer que P est une partie dense de (`1 , k · k1 ) .
d) Montrer que P est une partie dense de (C0 , k · k∞ ).
e) P est-elle une partie dense de (`∞ , k · k∞ ) ?
[ I ] [ S ] 2) Soit Φ : (`1 )0 7−→ `∞ l’application définie par ∀ x∗ ∈ (`1 )0 , Φ(x∗ ) = x∗ (δn ) n∈N ·
a) Vérifier que l’application Φ est bien définie, c’est à dire que, pour tout x∗ ∈ (`1 )0 ,
Φ(x∗ ) ∈ `∞ .
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Problèmes de Mathématiques
Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Énoncé
b) Montrer que Φ est une application linéaire continue. Quelle est sa norme ?
c) Montrer que Φ est une isométrie, c’est à dire une bijection telle que ∀ x∗ ∈ (`1 )0 ,
kΦ(x∗ )k∞ = |kx∗ k| .
d) Que déduisez vous de I.3 et II.2.c en ce qui concerne l’espace normé `∞ ?
e) Construire une isométrie Ψ : C00 7−→ `1 . Qu’en déduisez vous pour l’espace normé `1 ?
Partie III
1 1
p et q sont des réels de ]1 , +∞[ tels que + = 1 . Pour tout réel t positif on pose tp = exp(p ln t)
p q
P
si t > 0 et t0 = 1 . On note `p l’ensemble des suites x = (xn )n∈N de CN telles que la série |xn |p
+∞
X
1
p p
soit convergente. On pose alors kxkp =
|xn |
.
n=0
up v q
+ ·
p q
b) En déduire que si (x , y) ∈ `p × `q vérifie kxkp = kykq = 1 , alors z = (xn yn )n∈N ∈ `1 et
kzk1 6 1 . En conclure que
[ I ] [ S ] 1) a) Déduire de la convexité de l’exponentielle réelle que pour tout (u , v) ∈ R2+ , uv 6
p
q
∀ (x , y) ∈ ` × ` ,
+∞
X
|xn ||yn | 6 kxkp kykq .
n=0
Cette inégalité est dite inégalité de Hölder. Préciser le cas d’égalité.
p
p
c) Vérifier que |xn + yn |p 6 |xn + yn | q |xn | + |xn + yn | q |yn | et déduire de l’inégalité de Hölder
que si (x , y) ∈ (`p )2 , alors x + y ∈ `p et
+∞
X
+∞
1q
X
|xn + yn |p 6 kxkp + kykp
|xn + yn |p .
n=0
n=0
d) En conclure que `p est un sous-espace vectoriel de `∞ , et que k · kp est une norme sur `p .
[ I ] [ S ] 2) On donne ici deux réels tels que 1 < p < r .
a) Montrer que `p ⊂ `r . Comparer sur `p la norme k · kp avec la restriction de k · kr à `p .
b) Montrer que `p et son complémentaire dans `r sont des parties denses de (`r , k · kr ).
[ I ] [ S ] 3) a) Soit x∗ ∈ (`p )0 . On pose Φp (x∗ ) = x∗ (δn ) n∈N · On note θn un argument de x∗ (δn ) et on
n
X
q
considère les éléments de P définis par Xn =
|x∗ (δk )| p e−iθk δk pour chaque n ∈ N .
k=0
En calculant |x∗ (Xn )| et en le majorant à l’aide de |kx∗ k|, montrer que Φp (x∗ ) ∈ `q et
que kΦp (x∗ )kq 6 |kx∗ k| .
b) Montrer que Φp est une isométrie de (`p )0 sur lq .
c) Qu’en déduit-on pour le bidual topologique (lp )00 ?
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Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Énoncé
d) Quelle conclusion apporte I.3 pour tout espace `p quand p ∈ [1, +∞] ?
Partie IV
[ I ] [ S ] 1) Montrer que la boule fermée unité B de `∞ n’est pas compacte.
1
}. Montrer que Q n’est
n
2
contenu dans aucun sous-espace de dimension finie de ` et que Q est compact.
[ I ] [ S ] 2) Soit Q le sous-ensemble de `2 défini par Q = {x ∈ l2 | |xn | 6
[ I ] [ S ] 3) Soit u ∈ `∞ et Q(u) = {x ∈ `2 | |xn | 6 |un |}. Montrer que Q(u) est compact si et seulement
si u ∈ `2 .
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Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Indications
Indications ou résultats
Partie I
[ Q ] 1) Toute application linéaire continue est bornée sur la boule unité.
[ Q ] 2) a) Vérifier que la suite x∗n (x) n∈N est de Cauchy.
b) Il suffit de prouver que x∗ est linéaire et bornée sur la boule unité.
c) Montrer que la suite x∗n (x) n∈N converge uniformément par rapport à x ∈ B vers x∗ (x) .
[ Q ] 3) Complétude du dual topologique d’un espace normé.
Partie II
[ Q ] 1) a) Appliquer les définitions.
b) Vérifier que k · k∞ 6 k · k1 et utiliser les suites canoniques δk pour montrer que k · k1
n’est pas bornée sur la sphère unité de k · k∞ .
n
X
c) Montrer que si x = (xn )n∈N ∈ `1 , la suite de terme général Xn =
xk δk ∈ P converge
k=0
vers x dans (`1 , k · k1 ) .
d) Procéder comme en c) avec x = (xn )n∈N ∈ C0 et la suite de terme général Xn =
n
X
xk δk .
k=0
e) Une limite uniforme d’une suite à valeurs dans P devrait converger vers 0. On justifiera
donc une réponse négative.
[ Q ] 2) a) x∗ ∈ (`1 )0 est bornée sur B , et δn ∈ B .
b) Montrer que l’application linéaire Φ est 1-Lipschitzienne puis, considérer l’élément
+∞
X
∗
∗
1 0
1
remarquable x de (` ) défini par ∀ x = (xn )n∈N ∈ ` , x (x) =
xn .
n=0
c) Pour montrer que Φ conserve la norme utiliser II.1.c et II.2.b. Pour montrer que Φ est
surjective, considérer pour chaque u ∈ `∞ la forme linéaire x∗ sur `1 définie par ∀ x ∈ `1 ,
+∞
X
∗
x (x) =
un x n .
n=0
d) Tout espace isométrique à un espace complet est complet.
e) Considérer l’application Ψ : C 0 0 7−→ `1 qui à x∗ ∈ C 0 0 associe Ψ(x∗ ) = x∗ (δn ) n∈N et
procéder comme ci dessus pour montrer que c’est une isométrie.
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Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Indications
Partie III
[ Q ] 1) a) Appliquer l’inégalité de convexité à l’exponentielle pour le barycentre des points p ln u
1
1
et q ln v affectés des poids et ·
p
q
y
x
b) Pour se ramener au cas où kxkp = kykq = 1 , remplacer x et y par
et
·
kxkp
kykq
k · kp
[ Q ] 2) a) Montrer que ∀ v ∈ `p , kvkr 6 kvkp . Montrer ensuite que le rapport
n’est pas
k · kr
n
X
δk
borné en considérant la suite de terme général X (n) =
1 ·
p
k
k=1
b) Pour la densité de `p dans `r procéder comme en II.1.c. Pour la densité du complémentaire
de `p dans `r observer que, d’une façon générale, le complémentaire d’un sous-espace
strict d’un espace-vectoriel normé est toujours dense dans cet espace-vectoriel normé.
n
n
X
1
X
∗
∗
q
p
∗
q q
[ Q ] 3) a) Partant de |x (Xn )| =
|x (δk )| = kXn kp aboutir à
|x (δk )|
6 |kx∗ k| et
k=0
k=0
conclure.
b) Pour l’inégalité inverse de celle du a) montrer que
+∞
+∞
X
X
∀ x ∈ `p , |x∗ (x)| = xk x∗ (δk ) 6
|xk | |x∗ (δk )| 6 kΦp (x∗ )kq kxkp .
k=0
k=0
Montrer, comme en II.2.c, que Φp est surjective.
c) (lp )00 est isométrique à `p .
d) `p est complet.
Partie IV
[ Q ] 1) Vérifier que la suite (δk )k∈N , qui est à valeurs dans B n’a aucune valeur d’adhérence.
[ Q ] 2) Construire une famille libre infinie à valeurs dans Q . Pour montrer la compacité de Q ,
∗
fixer une suite (Xn )n∈N∗ dans QN et construire par récurrence sur p ∈ N∗ une suite
(yp )p∈N∗ ∈ Q telle que pour tout entier p il existe une partie infinie Ap de N∗ telle que
pour tout k ∈ [[ 1 , p ]] , la suite (Xnk )n∈Ap converge vers yk . Montrer qu’alors la suite y est
valeur d’adhérence dans Q de la suite (Xn )n∈N∗ .
[ Q ] 3) Si u ∈ CN est une suite telle que Q(u) soit compact dans `2 , extraire de la suite de terme
n
X
général Xn =
uk δk , qui est à valeurs dans Q(u) , une sous-suite convergente, et en
k=0
déduire que u ∈ `2 . Pour la réciproque procéder comme en 2).
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Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Corrigé
Corrigé du problème
Partie I
[ Q ] 1) Toute application linéaire continue est bornée sur la boule unité, donc pour tout x∗ ∈ E 0 ,
|kx∗ k| = Sup |x∗ (x)| est bien défini dans R+ . Si |kx∗ k| = 0 , x∗ est nulle sur la boule unité,
x∈B
qui est une partie génératrice de E , donc par linéarité, x∗ est nulle sur E. |k · k| vérifie donc
bien l’axiome de séparation. La positive homogénéité est directe (par linéarité de chaque
x∗ et positive homogénéité du module). Enfin l’inégalité triangulaire résulte des inégalités
∀ (x∗ , y ∗ ) ∈ E 0 2 , ∀ x ∈ B , |x∗ (x) + y ∗ (x)| 6 |x∗ (x)| + |y ∗ (x)| 6 |kx∗ k| + |ky ∗ k|. Donc |k · k|
est bien une norme sur E 0 .
[ Q ] 2) a) Soit (x∗n )n∈N une suite de Cauchy de E 0 . Pour chaque x fixé dans E , on a
∀ (n , p) ∈ N2 , |x∗n+p (x) − x∗n (x)| 6 |kx∗n+p − x∗n k|kxk .
(1)
La suite x∗n (x) n∈N est donc de Cauchy et comme C est complet, elle converge dans C :
Soit x∗ (x) sa limite.
b) Chaque x∗n est linéaire et la limite est linéaire sur l’espace des suites convergentes. Donc
x∗ est une forme linéaire sur E . De plus ∀ x ∈ B , ∀ n ∈ N , |x∗n (x)| 6 |kx∗n k| et la
suite de Cauchy (x∗n )n∈N est nécessairement bornée. Il existe donc M ∈ R+ tel que
∀ x ∈ B , ∀ n ∈ N , |x∗n (x)| 6 M , donc par passage à la limite quand n tend vers +∞ ,
∀ x ∈ B , |x∗ (x)| 6 M . Cela montre que la forme linéaire x∗ est bornée sur la boule
unité, ce qui suffit pour que x∗ ∈ E 0 .
c) Soit ε ∈ R∗+ . Il existe N ∈ N tel que ∀ n > N , ∀ p ∈ N , |kx∗n+p − x∗n k| 6 ε . Dans (1)
fixons x ∈ B et n > N : on peut passer à la limite quand p tend vers +∞ , ce qui donne
|x∗ (x) − x∗n (x)| 6 ε . En passant à la borne supérieure quand x décrit B on a ∀ n > N ,
|kx − x∗n k| 6 ε . Il en résulte que lim |kx∗n − x∗ k| = 0 .
n→+∞
[ Q ] 3) On a montré que, pour tout C-e.v normé E , le dual topologique E 0 de E est complet pour
la norme |k · k| (cette norme est celle de la convergence uniforme sur la boule unité de E).
Partie II
[ Q ] 1) a) Si p est une suite à support fini, les sommes partielles de la série de ses modules sont
constantes au delà d’un certain rang donc p ∈ `1 . Si u ∈ `1 la série associée à u converge
et son terme général tend vers 0 donc u ∈ C0 . Si v ∈ C0 la suite convergente v est bornée,
d’où les inclusions P ⊂ `1 ⊂ C0 ⊂ `∞ .
b) ∀ x ∈ `1 , ∀ n ∈ N , |xn | 6 kxk1 donc k · k∞ 6 k · k1 . Mais k · k1 n’est pas bornée sur
n
n
X
X
la sphère unité de k · k∞ puisque, par exemple δk = n + 1 et δk = 1 . La
k=0
1
k=0
∞
1
topologie associée à la norme k · k∞ sur ` est donc strictement incluse dans la topologie
associée à la norme k · k1 .
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Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Corrigé
1
c) Soit x = (xn )n∈N ∈ ` . Xn =
n
X
xk δk ∈ P et kx − Xn k1 =
k=0
+∞
X
|xk | tend vers 0 quand
k=n+1
n tend vers +∞ , en tant que reste de Cauchy d’une série convergente. P est donc une
partie dense de (`1 , k · k1 ).
n
X
d) Soit x = (xn )n∈N ∈ C0 . Xn =
xk δk ∈ P et kx − Xn k∞ = Sup |xk | tend vers 0 quand
k>n+1
k=0
n tend vers +∞ , par définition d’une suite convergente vers 0 . P est donc une partie
dense de (C0 , k · k∞ ).
e) Supposons que la suite constante de valeur 1, notée 1, soit limite, pour la norme k · k∞ ,
(n)
d’une suite de terme général X (n) = (Xp )p∈N ∈ P . On pourrait trouver un entier n tel
(n)
que k1 − X (n) k∞ < 1 . Cela exigerait que pour tout entier p , |1 − Xp | < 1 , ce qui est
(n)
impossible puisqu’il existe un entier p tel que Xp = 0 . La suite 1 ∈ `∞ n’est donc pas
adhérente à P pour la norme k · k∞ . Il en résulte que P n’est pas une partie dense de
(`∞ , k · k∞ ) .
[ Q ] 2) a) Soit x∗ ∈ (`1 )0 . Alors ∀ n ∈ N , |x∗ (δn )| 6 |kx∗ k|kδn k1 = |kx∗ k| . La suite Φ(x∗ ), de terme
général x∗ (δn ) est donc bornée : Φ est donc bien définie comme application de (`1 )0 dans
`∞ .
b) La linéarité de Φ est immédiate. De plus on vient de voir en a) que ∀ x∗ ∈ (`1 )0 ,
kΦ(x∗ )k∞ = Sup |x∗ (δn )| 6 |kx∗ k| . L’application linéaire Φ est donc 1-Lipschitzienne,
n∈N
et en particulier continue. De plus la norme de Φ , qui est le plus petit de ses rapports de
Lipschitz, est inférieure ou égale à 1. En outre, si on note x∗ l’élément de (`1 )0 défini par
+∞
X
∗
1
∀ x = (xn )n∈N ∈ ` , x (x) =
xn , on a |kx∗ k| = 1 par définition de k· k1 et Φ(x∗ ) = 1.
n=0
Donc |kΦk| = 1 .
c) Pour tout x ∈ `1 on a vu en II.1.c que la suite de terme général Xn =
n
X
xk δk
k=0
converge vers x dans (`1 , k · k1 ) . Donc pour toute forme linéaire continue x∗ sur `1
+∞
X
∗
∗
∗
xk x∗ (δk ) , si bien que
on a x (x) = x lim Xn = lim x (Xn ) =
n→+∞
n→+∞
∗
|x (x)| 6
+∞
X
k=0
|xk | |x∗ (δk )| 6 kΦ(x∗ )k∞ kxk1 .
k=0
Cela montre que |kx∗ k| 6 kΦ(x∗ )k∞ . L’inégalité inverse a été montrée en b). Donc Φ ,
qui est linéaire et qui conserve la norme est nécessairement de noyau nul, donc injective.
Enfin si u = (un )n∈N est élémentP
de `∞ , pour tout x = (xn )n∈N ∈ `1 , la domination
un xn = O (xn ) assure que la série
un xn est absolument convergente et on définit alors
+∞
X
∗
∗
1
1
bien une forme linéaire x sur ` en posant ∀ x ∈ ` , x (x) =
un xn . Cette forme
n=0
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Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Corrigé
linéaire est kuk∞ -Lipschitzienne donc x∗ ∈ (`1 )0 et par construction x∗ (δn ) = un si bien
que Φ(x∗ ) = u et Φ est surjective. En conclusion Φ est une isométrie de (`1 )0 sur `∞ .
d) Le dual topologique (`1 )0 de `1 est complet d’après I.3. Ainsi `∞ , qui est isométrique à
l’espace complet (`1 )0 , est lui-même complet.
e) Soit Ψ : C 0 0 7−→ `1 l’application qui à x∗ ∈ C 0 0 associe Ψ(x∗ ) = x∗ (δn ) n∈N : vérifions
que Ψ(x∗ ) ∈ `1 : Soit εn un complexe de module 1 tel que εn x∗ (δn ) = |x∗ (δn )| . La suite
n
X
X (n) =
εk δk appartient à C0 et vérifie
k=0
∗
x (X
(n)
)=
n
X
|x∗ (δn )| 6 |kx∗ k|kX (n) k∞ = |kx∗ k| .
k=0
P ∗
Les sommes partielles de la série
|x (δn )| étant majorées, on a bien Ψ(x∗ ) ∈ `1 avec
+∞
X
kΨ(x∗ )k1 =
|x∗ (δn )| 6 |kx∗ k| . On a aussi, par le même raisonnement qu’au début
k=0
+∞
+∞
X
X
∗
du c) : ∀ x ∈ C0 , |x (x)| = xn x (δn ) 6 kxk∞
|x∗ (δn )| = kΨ(x∗ )k1 kxk∞ . Donc
∗
n=0
n=0
|kx∗ k| 6 kΨ(x∗ )k1 . Ainsi, l’application linéaire Ψ conserve la norme et par suite est
injective. Comme en c), tout élément u = (un )n∈N ∈ `1 admet pour antécédent par Ψ
+∞
X
la suite x∗ ∈ C 0 0 définie par ∀ x ∈ C0 , x∗ (x) =
xn un . Donc Ψ est surjective, et c’est
n=0
alors une isométrie de C 0 0 sur `1 .
L’espace `1 , qui est isométrique au dual topologique de C0 , est complet (cf I.3).
Partie III
[ Q ] 1) a) La fonction exponentielle a une dérivée seconde positive sur R , elle est donc convexe
sur R . Pour (u , v) ∈ R∗+ 2 l’image par l’exponentielle du barycentre des points p ln u et
1
1
q ln v affectés des poids positifs et est inférieure au barycentre de leurs images. Cela
p
q
exp(p ln u) exp(q ln v)
up v q
s’écrit exp(ln u + ln v) = uv 6
+
=
+ · Cette inégalité est
p
q
p
q
directe si u ou v est nul.
b) Soit (x , y) ∈ `p × `q un couple tel que kxkp = kykq = 1 . Alors
n
X
n
n
1X
1X
1
1
∀n ∈ N,
|xk yk | 6
|xk |p +
|yk |q 6 kxkpp + kykqq = 1 .
p k=0
q k=0
p
q
k=0
(2)
Donc la suite z = (xn yn )n∈N appartient à `1 et kzk1 6 1 .
Si maintenant (x , y) ∈ `p × `q est un couple de suites non nulles on peut appliquer
xn
yn
l’inégalité précédente aux suites x0 et y 0 de terme généraux x0n =
et yn0 =
kxkp
kykq
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Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Corrigé
puis, en multipliant par kxkp kykq , il vient
+∞
X
|xn ||yn | 6 kxkp kykq (inégalité de Hölder).
n=0
Cette inégalité est immédiate si x ou y est la suite nulle.
Le cas d’égalité a lieu lorsqu’il y a égalité dans (2). Or dans la question a) l’inégalité est
stricte lorsque u 6= v . Donc si l’inégalité de Hölder est une égalité les valeurs absolues
des suites sont proportionnelles.
1 1
c) |xn + yn |p 6 |xn + yn |p−1 |xn | + |xn + yn |p−1 |yn | et compte tenu de l’égalité + = 1 ,
p q
p
p
p
p
q
q
qui donne = p − 1 , on a |xn + yn | 6 |xn + yn | |xn | + |xn + yn | |yn | . Il résulte alors
q
de l’inégalité de Hölder que
n
X
|xk + yk |p 6
k=0
n
X
! 1q
|xk + yk |p
k=0
n
X
|xk |p
p1
k=0
p 2
Il en résulte que si (x , y) ∈ (` ) , pour tout n ∈ N ,
+
n
X
|yk |p
p1
!
.
k=0
n
X
|xk + yk |p
1− 1q
6 kxkp + kykp .
k=0
p
En particulier la suite x + y appartient à ` et, compte tenu de l’égalité 1 −
1
1
= ,
q
p
kx + ykp 6 kxkp + kykp .
d) `p est une partie non vide de C0 ⊂ `∞ , qui est stable par addition (d’après c) et stable
par multiplication par les éléments de C (immédiat). En particulier `p est un sous-espace
vectoriel de `∞ . k · kp est une application définie sur `p , à valeurs dans R+ , qui vérifie
l’axiome de séparation et de positive homogénéité
(immédiat), et qui vérifie l’inégalité
p
triangulaire (d’après c). Donc ` , k · kp est un C-espace vectoriel normé.
[ Q ] 2) a) Si 0 6 x 6 1 < p < r , alors 0 6 xr 6 xp . Or pour toute suite u ∈ `p il existe un rang
n à partir duquel |uk | 6 1 . On a alors |uk |r 6 |uk |p et, par domination absolue, u ∈ `r .
Donc `p ⊂ `r et, si u appartient à la sphère unité de `p , kukr 6 1 . On en déduit que
n
X
δk
kX (n) kp
∀ v ∈ `p , kvkr 6 kvkp . De plus en posant X (n) =
le
rapport
n’est pas
1
(n) k
kX
p
r
k
k=1
1
borné relativement à n puisque la série de terme général diverge alors que la série de
n
1
terme général r converge. La norme k · kr induit ainsi sur `p une topologie strictement
np
incluse dans celle de `p .
n
X
(n)
r
b) ➣ Soit x ∈ ` . Pour tout n ∈ N la suite X =
xk δk est élément de `p et vérifie
k=0
kx − X (n) kr =
+∞
X
k=n+1
|xk |r
r1
−−−−−→ 0 . Donc `p est une partie dense de (`r , k · kr ) .
n→+∞
➣ D’une façon générale, si F est un sous-espace strict de l’espace vectoriel normé
(E , k · k) , le complémentaire de F dans E est dense dans (E , k · k) car tout x ∈ F
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Problèmes de Mathématiques
Dual topologique d’un espace `p . Exemples de parties compactes de `2
Corrigé
est limite d’une suite à valeurs dans E \F : il suffit de fixer y ∈ E \F et de considérer
1
la suite de terme général xn = x − y . Ici `p est un sous-espace de `r (cf III.1.d)
n
1
r
et il est strict puisque la suite de terme général
1 appartient à ` mais pas à
(n + 1) p
p
p
r
` . Donc le complémentaire de ` dans ` est dense dans (`r , k · kr ) .
n
n
X
X
q
[ Q ] 3) a) |x∗ (Xn )| =
|x∗ (δk )| p +1 =
|x∗ (δk )|q = kXn kpp 6 |kx∗ k|kXn kp . Il en résulte que
k=0
kXn kp−1
p
p
q
k=0
p
= kXn kp 6 |kx k|. Donc Φp (x∗ ) ∈ `q et lim kXn kpq = kΦp (x∗ )kq 6 |kx∗ k| .
∗
n→+∞
p 0
b) Φp est clairement une application linéaire de (` ) vers lq . D’après a) ∀ x∗ ∈ (`p )0 ,
kΦp (x∗ )kq 6 |kx∗ k| et comme chaque x ∈ `p est aussi la limite dans (`p , k · kp ) de
n
X
(n)
la suite de terme général X =
xk δk on a, d’après l’inégalité de Hölder,
k=0
+∞
+∞
X
X
∗
(n) ∗
|x (x)| = lim x (X ) = xk x (δk ) 6
|xk | |x∗ (δk )| 6 kΦp (x∗ )kq kxkp ,
∗
n→+∞
k=0
k=0
ce qui montre que |kx∗ k| 6 kΦp (x∗ )kq . Ainsi kΦp (x∗ )kq = |kx∗ k| et tout élément y ∈ `q
+∞
X
∗
∗
p 0
p
admet pour antécédent par Φp l’élément x de (` ) défini par ∀ x ∈ ` , x (x) =
xk yk :
k=0
Φp est une application linéaire surjective de (`p )0 sur lq conservant la norme : c’est une
isométrie.
c) (lp )00 est donc isométrique à (`q )0 lui-même isométrique à `p : Le bidual topologique de
`p s’identifie à `p par cette isométrie.
d) D’après I.3 tout espace `p quand p ∈ [1, +∞] est complet, puisqu’isométrique au dual
topologique d’un C-espace vectoriel.
Partie IV
[ Q ] 1) La suite δ = (δn )n∈N est à valeurs dans B et comme ∀ (n , p) ∈ N2 , kδn − δp k∞ = δnp , on ne
peut extraire de la suite δ aucune sous-suite de Cauchy, donc aucune sous-suite convergente.
La suite δ ∈ B N n’admet aucune valeur d’adhérence : La boule unité B n’est pas compacte.
n
X
δk
[ Q ] 2) ➣ La famille (Xn )n∈N∗ définie par ∀ n ∈ N∗ , Xn =
est libre (car échelonnée en
k
k=1
degré) infinie et à valeurs dans Q . Donc Q n’est inclus dans aucun sous-espace de
dimension finie de `2 .
∗
➣ Pour montrer la compacité de Q , fixons une suite (Xn )n∈N∗ dans QN et construisons
par récurrence sur p ∈ N∗ une suite (yp )p∈N∗ ∈ Q telle que pour tout entier p il existe
une partie infinie Ap de N∗ telle que pour tout k ∈ [[ 1 , p ]] , la suite (Xnk )n∈Ap converge
vers yk : cette construction est possible pour p = 1 par compacité du disque fermé
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Corrigé
de centre O de rayon 1 , et lorsqu’on suppose construits y1 · · · yp et Ap , on peut, par
1
compacité du disque fermé de centre O de rayon
construire une partie infinie
p+1
Ap+1 de Ap telle que la suite (Xn,p+1 )n∈Ap+1 converge vers une valeur d’adhérence yp+1
de la suite (Xn,p+1 )n∈Ap . Alors chaque suite (Xnk )n∈Ap+1 converge vers yk pour tout
k ∈ [[ 1 , p + 1 ]] , ce qui achève la récurrence. Alors la suite y = (yp )p∈N∗ de Q est telle
que pour tout ε ∈ v
R∗+ et tout entier N il existe p ∈ N∗ et n ∈ Ap , n > N , tels que
v
u p
u +∞
uX
uX 1
ε
ε
t
t
6
et
|Xnk − yk |2 6 · Dans ces conditions, l’inégalité triangulaire
2
3
k
3
k=1
k=p+1
v
v
u p
u +∞
uX
uX 1
2
t
2
dans ` donne kXn − yk2 6
|Xnk − yk | + 2t
6 ε . Cela montre que
2
k
k=1
k=p+1
la suite y est valeur d’adhérence dans Q de la suite (Xn )n∈N∗ . Ainsi Q est une partie
compacte de `2 .
[ Q ] 3)
➣ Soit u ∈ CN une suite telle que l’ensemble Q(u) = {x ∈ `2 | kxn | 6 |un |} soit compact
n
X
2
dans ` . De la suite de terme général Xn =
uk δk , qui est à valeurs dans Q(u) , on
k=0
peut extraire une sous-suite convergente Xin n∈N dans `2 . En particulier cette suite
in
X
est bornée, ce qui montre que les sommes partielles
|uk |2 sont majorées. Comme
k=0
in > n , les sommes partielles de la série de terme général |uk |2 sont majorées et par
suite u ∈ `2 .
v
u +∞
uX
ε
2
➣ Soit u ∈ ` . Pour tout ε > 0 il existe un entier p tel que t
|uk |2 6 , et alors la
3
k=p+1
1
preuve du 2), dans laquelle on remplace la suite
par la suite u , est entièrement
n n∈N∗
reconductible, prouvant ainsi la compacité de l’ensemble Q(u) dans `2 .
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