Annexe A - Pearson France

Math´ematiques pour ´economie WEBMATHSECO.TEX, 11 June 2014, 15:10 Page i
ANNEXE
Fonctions trigonom´etriques
et nombres complexes
A.1 D´efinitions de base et r´esultats 1
Mesurer les angles en radians 3
Graphiques des fonctions trigonom´etriques 4
Les formules trigonom´etriques 4
Transformations des fonctions trigonom´etriques 5
Exercices de la section A.1 6
A.2 La d´erivation des fonctions trigonom´etriques 8
Les fonctions trigonom´etriques r´eciproques 9
Une limite importante 11
Exercices de la section A.2 11
A.3 L’int´egration des fonctions trigonom´etriques 12
Exercices de la section A.3 14
A.4 Les nombres complexes 15
La forme trigonom´etrique des nombres complexes 17
Exercices de la section A.4 19
Corrig´es 21
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ANNEXE
Fonctions trigonom´etriques
et nombres complexes
Dieu a cr´e ´e les nombres entiers, le reste est l’œuvre de l’Homme.
— Leopold Kronecker(1823-1891)
De nombreux ph´enom`enes semblent se r´ep ´eter avec une r ´egularit ´e pr´evisible. Le courant alternatif fourni par le r ´eseau ´electrique en est un exemple. Il se r ´ep`ete `a raison de 50
`a 60 fois par seconde selon le syst`eme auquel il est connect´e. Rythme cardiaque et respiration
sont d’autres exemples en physiologie. Beaucoup d’´economistes ont cherch ´e des r´egularit ´es
similaires dans les variables macro ´economiques, mais le plus souvent sans succ`es. Par contre,
ils ont pu constater des variations saisonni`eres, comme l’augmentation de la demande en
combustible, en vˆetements chauds, en soupe chaude et en vacances de ski en hiver, contre
la demande d’air conditionn´e, de v ˆetements l´egers, de cr `eme glac ´ee et de vacances `a la
plage en ´et ´e. Une fa¸con de d ´ecrire math ´ematiquement de tels ph ´enom `enes est d’employer
les fonctions trigonom´etriques, dont les principales propri ´et ´es sont pass ´ees en revue dans les
sections A.1 `a A.3. La section A.4 pr´esente une br`eve introduction aux nombres complexes.
Les fonctions trigonom´etriques apparaissent principalement en ´economie lors des exten-
sions `a des ordres sup´erieurs des ´equations diff´erentielles du premier degr´e, vues rapidement
`a la section 9.9. Ces ´equations diff ´erentielles, de m ˆeme que les ´equations aux diff ´erences finies
d’ordre deux qui peuvent avoir des solutions trigonom´etriques, figurent dans notre livre plus
avanc´e Further Mathematics for Economic Analysis (FMEA). C’est la raison pour laquelle nous
avons plac´e l’´etude de ces fonctions en annexe. N´eanmoins, certains enseignants pr ´ef`erent
les aborder plus tˆot. Pour faciliter leur t ˆache, nous proposons une version ´electronique de cette
annexe. Les corrig ´es sont donn´es `a la fin.
A.1 D´efinitions de base et r´esultats
Sur le cercle de la figure 1 de rayon 1 centr´e sur l’origine du plan Ouv, on consid`ere le point A
de coordonn´ees (1;0) et un point Pxqui d´etermine avec Aun arc dont la longueur est ´egale
au rayon. Il va de soi que le point Aco¨ıncide avec P0.
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2Annexe : Fonctions trigonom ´etriques et nombres complexes
Comme le rayon du cercle est pris comme unit´e de mesure, la circonf´erence est ´egale `a
2r = 2.` Ax==2 correspond, apr`es un quart de tour, le point P=2dont les coordonn´ees
sont (u; v) = (0;1). Le point Pse trouve `a la moiti´e du tour complet et ses coordonn´ees sont
(u; v) = (1;0) ; `a P3=2correspondent les coordonn´ees (u; v) = (0;1) ; `a P0=P2, les
coordonn´ees (u; v) = (1;0), etc. Le point Pxrepr´esent´e `a la figure 1 est `a une distance x1;1
mesur´ee sur l’arc, auquel correspondent les coordonn´ees u0;45 et v0;9. Lorsque xest
strictement n´egatif, le parcours sur le cercle s’effectue dans le sens des aiguilles d’une montre
d’une distance (positive) x.
x
A(1, 0)
u
O
vPx(u,v)
Figure 1 sin x=vet cos x=u
De fa¸con g´en´erale, lorsque xcroˆıt, Pxse d´eplace dans le sens antihoraire autour du cercle
unit´e, de sorte que les valeurs de uet voscillent. Elles se r´ep`etent en effet lorsque Pxrepasse
par les points o`u il ´etait d´ej`a pass´e. En particulier, x,x˙2,x˙4, etc. correspondent
tous au mˆeme point sur le cercle. D’o`u, Px=Px+2n pour n=˙1, ˙2, :::Ce d´eplacement `a
partir de Ad’une distance xle long du cercle fait correspondre `a chaque nombre r´eel xles
coordonn´ees (u; v) du point Px. Chacune de ces coordonn´ees porte un nom particulier.
La fonction sinus associe `a xle nombre v.
La fonction cosinus associe `a xle nombre u.
Ces fonctions sinus et cosinus sont d´esign´ees de fa¸con abr´eg´ee par, respectivement, sin et cos.
Aussi, en r´ef´erence `a la figure 1, on ´ecrit
sin x=vet cos x=u: (1)
Comme l’´equation du cercle de la figure 1 est u2+v2= 1, il d´ecoule l’importante relation
(sin x)2+ (cos x)2= 1:(2)
Les domaines de d´efinition des fonctions sin et cos sont l’ensemble des nombres r´eels. Leur
ensemble image, par contre, est limit´e `a l’intervalle ferm´e [1;1]. Notez encore qu’une faible
variation de xne fera bouger le point Pxque l´eg`erement, de sorte que les coordonn´ees uet v
ne changeront aussi que l´eg`erement, impliquant que v= sin xet u= cos xsont toutes deux
des fonctions continues de x. (En r´ealit´e, on peut voir `a la figure 1 qu’`a une variation donn´ee
de xcorrespond une variation de uet vplus faible en valeur absolue.)
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SECTION A.1 / D ´efinitions de base et r ´esultats 3
Si xest un nombre quelconque tel que cos x6= 0, on d´efinit la fonction tangente tout
simplement en prenant le quotient de sin xet cos x. L’abr´eviation de tangente ´etant tan, on a
tan x=sin x
cos x(pourvu que cos x6= 0). (3)
La fonction cotangente, abr´eg´ee en cot, est d´efinie par cot x= cos x= sin x, quel que soit xtel
que sin x6= 0. Il est clair que cot x= 1=tan xquand tan xet cot xsont toutes deux d´efinies.
Il est habituel d’´ecrire sin2xpour (sin x)2, cos2xpour (cos x)2et tan2xpour (tan x)2,
et de mˆeme pour les puissances sup´erieures. Par exemple, cos3x= (cos x)3.
Mesurer les angles en radians
La figure 1 montrait comment on pouvait remplacer la mesure de l’angle AOPxpar la longueur
de l’arc x. On dit dans ce cas que l’angle est mesur´e en radians. Mais comme en g´eom´etrie
´el´ementaire les angles sont mesur´es en degr´es, il est important de savoir convertir ces unit´es
de mesure de l’une vers l’autre, et r´eciproquement. En fait, quand x= 2, le rayon OPx
a fait un tour complet de 360ı. D’o`u, 360ı= 2radians et
1ı=
180 radians 0;017 radian;1 radian = 180 ı57;3ı:(4)
La figure 2 illustre quelques angles importants dont les mesures sont donn´ees en degr´es et en
radians.
3π/2
270°
π
180°0 0°
30°
π/ 6
45°
π/ 4
π/ 3
60°
π/2
90°
3π/4
135°
Figure 2
O
30°
1
P (u, v)
x=π/ 6
1
2
B
1
2√3
Figure 3
30° 30°
11
60°60°
1/ 2 1/ 2
Figure 4
La mesure de l’amplitude des angles en degr´es repose sur un choix arbitraire de l’unit´e au
sens o`u l’angle plein (un tour complet) est divis´e en 360 degr´es. Historiquement, ce nombre
provient des astronomes babyloniens qui divisaient l’ann´ee en 360 jours. D’un point de vue
math´ematique, la mesure des angles en fonction de l’arc intercept´e est beaucoup plus naturelle
en raison de la plus grande simplicit´e des formules, comme on va le voir.
Trouver la valeur num´erique exacte des fonctions trigonom´etriques d’un angle quelconque
n’est pas possible sans recourir aux formules d’approximation programm´ees dans la plupart
des calculatrices et des ordinateurs.
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