Annexe A - Pearson France

ANNEXE
Fonctions trigonométriques
et nombres complexes
A.1 Définitions de base et résultats
1
Mesurer les angles en radians
Graphiques des fonctions trigonométriques
Les formules trigonométriques
Transformations des fonctions trigonométriques
Exercices de la section A.1
3
4
4
5
6
A.2 La dérivation des fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques réciproques
Une limite importante
Exercices de la section A.2
A.3 L’intégration des fonctions trigonométriques
Exercices de la section A.3
A.4 Les nombres complexes
La forme trigonométrique des nombres complexes
Exercices de la section A.4
Corrigés
8
9
11
11
12
14
15
17
19
21
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ANNEXE
Fonctions trigonométriques
et nombres complexes
Dieu a créé les nombres entiers, le reste est l’œuvre de l’Homme.
— Leopold Kronecker(1823-1891)
D
e nombreux phénomènes semblent se répéter avec une régularité prévisible. Le courant
alternatif fourni par le réseau électrique en est un exemple. Il se répète à raison de 50
à 60 fois par seconde selon le système auquel il est connecté. Rythme cardiaque et respiration
sont d’autres exemples en physiologie. Beaucoup d’économistes ont cherché des régularités
similaires dans les variables macroéconomiques, mais le plus souvent sans succès. Par contre,
ils ont pu constater des variations saisonnières, comme l’augmentation de la demande en
combustible, en vêtements chauds, en soupe chaude et en vacances de ski en hiver, contre
la demande d’air conditionné, de vêtements légers, de crème glacée et de vacances à la
plage en été. Une façon de décrire mathématiquement de tels phénomènes est d’employer
les fonctions trigonométriques, dont les principales propriétés sont passées en revue dans les
sections A.1 à A.3. La section A.4 présente une brève introduction aux nombres complexes.
Les fonctions trigonométriques apparaissent principalement en économie lors des extensions à des ordres supérieurs des équations différentielles du premier degré, vues rapidement
à la section 9.9. Ces équations différentielles, de même que les équations aux différences finies
d’ordre deux qui peuvent avoir des solutions trigonométriques, figurent dans notre livre plus
avancé Further Mathematics for Economic Analysis (FMEA). C’est la raison pour laquelle nous
avons placé l’étude de ces fonctions en annexe. Néanmoins, certains enseignants préfèrent
les aborder plus tôt. Pour faciliter leur tâche, nous proposons une version électronique de cette
annexe. Les corrigés sont donnés à la fin.
A.1 Définitions de base et résultats
Sur le cercle de la figure 1 de rayon 1 centré sur l’origine du plan Ouv, on considère le point A
de coordonnées (1; 0) et un point Px qui détermine avec A un arc dont la longueur est égale
au rayon. Il va de soi que le point A coı̈ncide avec P0 .
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
Comme le rayon du cercle est pris comme unité de mesure, la circonférence est égale à
2 r = 2. À x = =2 correspond, après un quart de tour, le point P=2 dont les coordonnées
sont (u; v) = (0; 1). Le point P se trouve à la moitié du tour complet et ses coordonnées sont
(u; v) = ( 1; 0) ; à P3=2 correspondent les coordonnées (u; v) = (0; 1) ; à P0 = P2 , les
coordonnées (u; v) = (1; 0), etc. Le point Px représenté à la figure 1 est à une distance x 1;1
mesurée sur l’arc, auquel correspondent les coordonnées u 0;45 et v 0;9. Lorsque x est
strictement négatif, le parcours sur le cercle s’effectue dans le sens des aiguilles d’une montre
d’une distance (positive) x.
Px (u, v )
v
x
u
O
A (1, 0)
Figure 1 sin x = v et cos x = u
De façon générale, lorsque x croı̂t, Px se déplace dans le sens antihoraire autour du cercle
unité, de sorte que les valeurs de u et v oscillent. Elles se répètent en effet lorsque Px repasse
par les points où il était déjà passé. En particulier, x, x ˙ 2, x ˙ 4, etc. correspondent
tous au même point sur le cercle. D’où, Px = Px+2n pour n = ˙1, ˙2, : : : Ce déplacement à
partir de A d’une distance x le long du cercle fait correspondre à chaque nombre réel x les
coordonnées (u; v) du point Px . Chacune de ces coordonnées porte un nom particulier.
La fonction sinus associe à x le nombre v.
La fonction cosinus associe à x le nombre u.
Ces fonctions sinus et cosinus sont désignées de façon abrégée par, respectivement, sin et cos.
Aussi, en référence à la figure 1, on écrit
sin x = v
et
cos x = u:
(1)
Comme l’équation du cercle de la figure 1 est u2 + v 2 = 1, il découle l’importante relation
(sin x)2 + (cos x)2 = 1:
(2)
Les domaines de définition des fonctions sin et cos sont l’ensemble des nombres réels. Leur
ensemble image, par contre, est limité à l’intervalle fermé [ 1; 1]. Notez encore qu’une faible
variation de x ne fera bouger le point Px que légèrement, de sorte que les coordonnées u et v
ne changeront aussi que légèrement, impliquant que v = sin x et u = cos x sont toutes deux
des fonctions continues de x. (En réalité, on peut voir à la figure 1 qu’à une variation donnée
de x correspond une variation de u et v plus faible en valeur absolue.)
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SECTION A.1 / Définitions de base et résultats
3
Si x est un nombre quelconque tel que cos x 6= 0, on définit la fonction tangente tout
simplement en prenant le quotient de sin x et cos x. L’abréviation de tangente étant tan, on a
tan x =
sin x
cos x
(pourvu que cos x 6= 0).
(3)
La fonction cotangente, abrégée en cot, est définie par cot x = cos x= sin x, quel que soit x tel
que sin x 6= 0. Il est clair que cot x = 1= tan x quand tan x et cot x sont toutes deux définies.
Il est habituel d’écrire sin2 x pour (sin x)2 , cos2 x pour (cos x)2 et tan2 x pour (tan x)2 ,
et de même pour les puissances supérieures. Par exemple, cos3 x = (cos x)3 .
Mesurer les angles en radians
La figure 1 montrait comment on pouvait remplacer la mesure de l’angle AOPx par la longueur
de l’arc x. On dit dans ce cas que l’angle est mesuré en radians. Mais comme en géométrie
élémentaire les angles sont mesurés en degrés, il est important de savoir convertir ces unités
de mesure de l’une vers l’autre, et réciproquement. En fait, quand x = 2, le rayon OPx
a fait un tour complet de 360ı . D’où, 360ı = 2 radians et
180 ı
57;3ı :
1 =
radians 0;017 radian; 1 radian =
180
ı
(4)
La figure 2 illustre quelques angles importants dont les mesures sont données en degrés et en
radians.
90°
135°
3π/4
π/2
180° π
60°
45
π/ 3
π/ 4
30°
π/ 6
°
P (u, v)
1
0 0°
30°
O
30° 30°
x = π/ 6
1
1
B
√3
60°
3π/2
270°
Figure 2
1
2
1
2
1/ 2
Figure 3
60°
1/ 2
Figure 4
La mesure de l’amplitude des angles en degrés repose sur un choix arbitraire de l’unité au
sens où l’angle plein (un tour complet) est divisé en 360 degrés. Historiquement, ce nombre
provient des astronomes babyloniens qui divisaient l’année en 360 jours. D’un point de vue
mathématique, la mesure des angles en fonction de l’arc intercepté est beaucoup plus naturelle
en raison de la plus grande simplicité des formules, comme on va le voir.
Trouver la valeur numérique exacte des fonctions trigonométriques d’un angle quelconque
n’est pas possible sans recourir aux formules d’approximation programmées dans la plupart
des calculatrices et des ordinateurs.
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
Toutefois, grâce à la géométrie élémentaire, on peut calculer les valeurs exactes de sin x
et cos x pour certaines valeurs de x. Par exemple, la figure 3 montre la situation où x = =6.
L’angle BOP mesure 30ı et le triangle rectangle BOP est la moitié d’un triangle équilatéral,
comme le montre en plus grand la figure 4. Dès lors, le segment PB mesure 21 . D’après
ple
2
théorème de Pythagore, (OB)2 = (OP )p
(BP )2 = 1 41 = 34 , ce qui implique OB = 21 3.
Les coordonnées de P sont donc u = 21 3 et v = 21 , autrement dit
sin
1
= ;
6 2
cos
1p
3;
=
6 2
tan
1p
3:
=
6 3
Les valeurs du tableau 1 s’obtiennent par des raisonnements géométriques analogues.
6
= 30ı
x
0
sin x
0
cos x
1
1
2
0
p
1
tan x
3
4
= 45ı
1
2
1
2
p
3
1
2
3
p
2
p
2
1
3
= 60ı
1
2
2
= 90ı
3
4
= 135ı = 180ı
p
3
1
1
2
p
2
1
2
0
1
2
p
2
p
3
1
3
2
= 270ı 2 = 360ı
0
0
:::
0
1
:::
0
:::
1
1
0
:::
* Non défini.
Tableau 1 Quelques valeurs particulières des fonctions trigonométriques
Graphiques des fonctions trigonométriques
Par définition du point Px à la figure 1, on a Px+2 = Px , quel que soit x, et de là
sin(x + 2) = sin x;
cos(x + 2) = cos x:
(5)
On dit que les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2. En outre, comme
tan(x + ) = tan x
(6)
(voir exercice A.1.5), la fonction tangente est périodique de période .
On a fait remarquer précédemment que l’ensemble image de sinus et cosinus est l’intervalle [ 1; 1], c’est-à-dire
1 6 sin x 6 1;
1 6 cos x 6 1:
Les graphiques de sin et cos sont tracés à la figure 5. La courbe représentative de cosinus est
une translation de la courbe sinus de =2 unités vers la gauche. C’est une conséquence de la
première des deux formules
sin(x + =2) = cos x;
cos(x + =2) =
sin x:
(7)
(Pour les démontrer, reportez-vous à l’exercice A.1.4 et à la formule (8).)
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SECTION A.1 / Définitions de base et résultats
5
y
y = cos x
y = sin x
1
π
2
−π
− 2π
3π
2
π
2π
x
−1
Figure 5
Le graphique de la fonction tangente est celui de la figure 6. Remarquez que cette fonction
est positive si et seulement si les fonctions sinus et cosinus ont le même signe. Elle n’est pas
définie quand x = 21 + n quel que soit l’entier n, car alors cos x = 0.
y
−
3π
2
−π
−
π
2
π
2
0
π
3π
2
2π
x
y = tan x
Figure 6
Les formules trigonométriques
Il existe une pléthore de formules trigonométriques qui ont donné du fil à retordre aux étudiants
(et à leurs parents) depuis des générations. Néanmoins, la formule qui suit est particulièrement
utile
cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y:
(8)
(Voir exercice A.1.13 pour sa démonstration.) Elle permet de démontrer les formules semblables pour cos(x y), sin(x + y) et sin(x y) (voir exercices A.1.3 et A.1.4).
Transformations des fonctions trigonométriques
Jusqu’ici, il a été question des trois fonctions trigonométriques de base, sinus, cosinus et
tangente. Dans la plupart des applications économiques, on doit utiliser des transformations
de celles-ci.
Le fait que la fonction y = sin x soit de période 2 donne à la courbe représentative de
la figure 5 une allure de vagues dont l’ondulation se répète toutes les longueurs 2. Pour
sa part, la fonction y = sin(x=2) a la même allure ondulée, mais sur une période deux fois
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
plus longue, à savoir 4, tout simplement parce que, pour que x=2 croisse de 2, il faut que
x croisse de 4. Plus généralement, la fonction y = sin(ax) avec a 6= 0 est périodique de
période 2=a ; cela car ax est incrémenté de 2 lorsque x est incrémenté de 2=a.
Quel que soit a 6= 0, les valeurs de y = sin(ax) oscilleront toujours entre 1 et 1. C’est
pourquoi on dit que l’amplitude de la fonction est 1. Pour que l’amplitude devienne A,
il suffit de prendre y = A sin ax, qui varie entre A et A. En résumé,
y = A sin(ax) est périodique de période 2=a et d’amplitude A.
L’inverse a=2 de la période est appelé fréquence. C’est le nombre d’oscillations par radian.
Le graphique de y = A sin(ax) coupe l’axe Ox en x = 0. Après une translation dans la
direction de l’axe Ox, la fonction correspondante sera de la forme y = A sin(ax + b). Et si
la courbe subit en outre une translation dans la direction de l’axe Oy, la fonction sera de la
forme
y = A sin(ax + b) + B:
(9)
Le graphique de cette fonction est une onde sinusoı̈dale d’amplitude A et de période 2=a.
Elle est obtenue en translatant le graphique de y = A sin(ax) d’une distance b=a dans la
direction de l’axe Ox, ainsi que d’une distance B dans la direction de l’axe Oy. Voyez
la figure 7 (pour laquelle a > 0 et b < 0).
y
2π/ a
A
B
x
− b/ a
Figure 7
EXERCICES de la section A.1
1. Vérifiez les valeurs du tableau 1 pour x = =4 en utilisant un schéma comme celui de la figure 3.
2. Vérifiez que, quel que soit x, (a) sin( x) =
3. Écrivez cos(x
sin x, (b) cos( x) = cos x, (c) tan( x) =
tan x.
y) = cos[x + ( y)], puis utilisez les résultats (8) et l’exercice 2 pour vérifier que
cos(x
y) = cos x cos y + sin x sin y:
(10)
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SECTION A.1 / Définitions de base et résultats
4. Montrez que cos(y =2) = sin y. De là découle sin(y =2) = cos(y ) =
étant donné que sin(x + y) = cos[x + (y
7
cos y. Ensuite,
=2)]; démontrez que
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ;
y) = sin x cos y
sin(x
cos x sin y:
5. Servez-vous des résultats des exercices 3 et 4 pour démontrer les formules (6) et (7).
6. Calculez les valeurs suivantes.
(a) sin(
=6)
(d) cos(5=4)
(b) cos( + =6)
(c) sin( 3=4)
(e) tan(7=6)
(f) sin(=12)
7. Simplifiez les expressions suivantes.
(a)
p
2 sin(x + 41 )
cos x
(b)
sin[ (˛ + ˇ)]
cos[2 (˛ + ˇ)]
sin(a + x)
cos(a + x)
(c)
sin(a
cos(a
x)
x)
8. Démontrez que
sin A
sin B = 2 cos
(Suggestion : Posez x + y = A et x
soustrayez.)
A+B
A B
sin
:
2
2
y = B dans les deux formules de l’exercice 4, et ensuite
9. Démontrez que, quels que soient les nombres réels x et y, sin(x + y) sin(x y) = sin2 x sin2 y.
10. Tracez les graphiques des fonctions suivantes. Déterminez ensuite leur période et leur amplitude.
(a) f (x) = sin(2x)
(b) g(x) = 3 sin(x=2)
(c) h(x) = 2 sin(3x + 4) + 2
11. Expliquez pourquoi les fonctions suivantes présentent respectivement une oscillation qui s’atténue
et une qui s’amplifie sans borne. (a) f (x) = (1=2)x sin x (b) g(x) = 2x cos 2x
12. Déterminez les fonctions dont les graphiques sont représentés aux figures A à C. Les courbes en
pointillés de la figure C ont comme équations y = ˙2e
x=
.
y
y
2
y
2
3
1
4π
8π
1
2
x
π
1
−1
−2
3π
x
−1
π
Figure A
2π
Figure B
3π
5π
x
−2
Figure C
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
13. À la figure ci-dessous, les coordonnées des points indiqués sur le cercle unité sont A(cos y; sin y),
B(1; 0), C (cos x; sin x) et D(cos(x +y); sin(x +y)). Comme les segments AC et BD sous-tendent
tous les deux l’angle d’amplitude x + y, ils doivent avoir la même longueur. Grâce à cela et à (2),
démontrez la formule de cos(x + y) donnée par (8).
D
C
y
x
y
B
A
Figure D
A.2 La dérivation des fonctions trigonométriques
Observez le graphique de la fonction sinus (voir figure A.1.5). La pente de la courbe en x = 0
semble valoir 1, justement la valeur de cos x en x = 0. En x = =2, cette pente vaut 0, tout
comme cos =2. Comme cette fonction est périodique, il semble naturel que sa dérivée le soit
aussi. Ces observations mènent au résultat
y = sin x ) y 0 = cos x;
(1)
qui peut être démontré en suivant les indications de l’exercice A.2.12. Si u est une fonction
de x, la règle de dérivation des fonctions composées implique
y = sin u; u = u(x) ) y 0 = u0 cos u:
(2)
On pose g(x) = cos x. D’après (A.7), on a g(x) = sin(x + =2), de sorte que (2) conduit à
g 0 (x) = cos(x + =2). Or cos(x + =2) = sin x. D’où,
y = cos x ) y 0 =
sin x:
(3)
En appliquant la formule de dérivation d’un quotient, on obtient la dérivée de la fonction
tangente y = tan x = sin x= cos x (voir exercice A.2.2)
y = tan x ) y 0 =
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
(à condition que cos x 6= 0).
(4)
Ces résultats associés aux autres formules énoncées précédemment permettent de dériver
beaucoup de fonctions composées de fonctions trigonométriques.
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SECTION A.2 / La dérivation des fonctions trigonométriques
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EXEMPLE 1
Dérivez les fonctions suivantes.
(b) y = sin2 x + cos2 x
(a) y = sin 2x
(c) y =
sin x
cos x + x
(d) y = e ax sin bx
Solution
(a) En utilisant (2) avec u = 2x, on obtient y 0 = 2 cos u = 2 cos 2x.
(b) y = (sin x)2 + (cos x)2 ) y 0 = 2 (sin x) cos x + 2 (cos x) ( sin x) = 0. (Notez que,
si la dérivée d’une fonction est nulle quel que soit x, c’est que la fonction est constante.
Comme y = 1 quand x = 0, cette constante doit être 1. On redécouvre ainsi la relation
sin2 x + cos2 x = 1.)
(c) En appliquant la règle de dérivation du quotient, on obtient
(cos x + x) cos x sin x( sin x + 1)
(cos x + x)2
2
cos x + x cos x + sin2 x sin x 1 + x cos x sin x
=
=
:
(cos x + x)2
(cos x + x)2
y0 =
(d) La règle de dérivation d’un produit conduit à
y 0 = ae ax sin bx + e ax b cos bx = e ax (a sin bx + b cos bx):
Les fonctions trigonométriques réciproques
La figure 1 invite à résoudre l’équation
sin x = y
(5)
par rapport à x. Si y > 1 ou y < 1, cette équation n’a pas de solution, mais si y 2 [ 1; 1]
elle en a une infinité.
En restreignant l’intervalle de variation de x à [ =2; =2], la fonction sin x est strictement
croissante (car (sin x)0 = cos x > 0 dans ] =2; =2[).
y
f (x) = sin x
y
−π
− π2
π
2
π
3π
2
2π
x
Figure 1
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
De cette façon, l’équation (5) n’a plus qu’une seule solution x dans cet intervalle pour y
dans [ 1; 1] qui est notée x = arcsin y. En terminologie classique, on vient de démontrer
que la fonction f (x) = sin x, restreinte à l’intervalle [ =2; =2] avec pour ensemble image [ 1; 1], admet une fonction réciproque g, appelée fonction arc sinus. Si x désigne la
variable indépendante, on peut écrire
g(x) = arcsin x;
x 2 [ 1; 1]:
(6)
Par définition, arcsin x est l’unique nombre situé dans l’intervalle [ =2; =2] dont le sinus
est égal à x (arcsin x est l’arc dont le sinus est x). On a, par exemple, arcsin 1=2 = =6.
Le graphique de y = arcsin x est représenté à la figure 2. Comme les fonctions sin et arcsin
sont réciproques l’une de l’autre, leurs graphiques sont symétriques par rapport à la droite
d’équation y = x, ainsi qu’il a été dit dans la section 5.3 du livre.
En vue d’obtenir la dérivée de g(x) = arcsin x, on procède par dérivation implicite. Par
définition même de g(x), sin g(x) = x pour tout x 2] 1; 1[. Si on suppose que g(x)
est dérivable, la dérivation
conduit à [cos g(x)]g 0 (x) = 1. Aussi,
p des fonctions composées
p
2
0
2
g (x) = 1= cos g(x) = 1= 1 sin g(x) = 1= 1 x . D’où,
y = arcsin x ) y 0 = p
1
1
x2
( 1 < x < 1):
(7)
Il en est de même pour la fonction y = cos x. Restreinte à l’intervalle [0; ], elle admet une
réciproque, appelée arc cosinus et notée y = arccos x définie sur [ 1; 1]. Sa dérivée est
y = arccos x ) y 0 =
p
1
1
( 1 < x < 1):
x2
(8)
Considérons enfin la fonction y = tan x définie seulement sur l’intervalle ] =2; =2[.
Comme y 0 = 1= cos2 x > 0, elle y est strictement croissante, et son ensemble image
est ] 1; +1[. Elle admet dès lors une fonction réciproque appelée arc tangente et notée
y = arctan x. Elle est définie sur ] 1; +1[ et son ensemble image est ] =2; =2[. Par
dérivation implicite, à nouveau, de l’équation tan y = x (de sorte que y = arctan x), on obtient
y = arctan x ) y 0 =
1
1 + x2
(x 2]
1; +1[):
(9)
La figure 3 montre le graphique de y = arctan x.
y
y
y = tan x
y = arcsin x
2
y = sin x
2
y = arctan x
x
x
−
2
2
−
2
2
−
−
Figure 2
2
2
Figure 3
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SECTION A.2 / La dérivation des fonctions trigonométriques
11
Les calculatrices qui disposent des touches sin, cos et tan ont aussi les touches attachées
aux fonctions réciproques, notées sin 1 , cos 1 et tan 1 respectivement. Si on tape 0;5,
puis sin 1 , la réponse est 30, si la calculatrice est réglée en degrés. Par contre, en
veillant à ce qu’elle soit en radians, la réponse est =6 ou plutôt 0;23598776.
Une limite importante
Par définition, la dérivée de f (x) = sin x est la limite du taux moyen d’accroissement
sin(x + h)
h
sin x
lorsque h ! 0:
Or, selon (1), en x = 0, f 0 (0) = cos 0 = 1, de sorte que limh!0 (sin h= h) = 1. Le résultat
exprimé avec la variable x s’écrit
sin x
= 1:
(10)
lim
x!0 x
EXERCICES de la section A.2
1. Calculez les dérivées des fonctions suivantes.
(a) y = sin 21 x
(c) y = tan x 2
(b) y = x cos x
(d) y = e 2x cos x
2. Démontrez la formule (4). (Suggestion : Rappelez-vous que sin2 x + cos2 x = 1.)
3. Calculez les dérivées des fonctions suivantes.
(a) y = sin x + cos x
p
x cos x
(c) y =
x2 + 1
p
(b) y = x sin x + x cos x + 3
5
4. Calculez les expressions suivantes.
(a)
d
(1
dx
cos ax)
(b)
d
(at sin bt )
dt
(c)
d
(sin t cos t )
dt
5. Servez-vous éventuellement de la règle de l’Hospital pour calculer
(a) lim
x!0
sin 2x
x
(b) lim
t!0
sin mt
sin nt
6. Cherchez les extrema de f (x) = (sin x
x
(n 6= 0)
(c) lim
t!0
1
cos t
:
t2
1)3 sur l’intervalle I = [0; 3=2].
7. Les études sur les cycles économiques comportent souvent des fonctions de la forme
p(t ) = C0 + C1 cos t + C2 sin t:
Montrez que p 00 (t ) + 2 p(t ) est une constante K et déterminez-la.
8. Que valent les fonctions trigonométriques réciproques aux valeurs indiquées ?
(a) arcsin
1
2
p
2
(b) arccos 0
(c) arccos 21
p
3
(d) arctan
p
3
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
p
9. Calculez les dérivées de (a) y = arcsin 2x (b) y = arctan(x 2 + 1) (c) y = arccos x:
y sin x = 0, déterminez y 0 . Écrivez
l’équation de la tangente à la courbe au point de coordonnées (; =2).
10. Si y = f (x) est une fonction dérivable telle que x cos y
11. La dérivée de f (x) = sin x est la limite du quotient [sin(x + h)
sin x]= h lorsque h ! 0. Ce
quotient (voir figure ci-dessous) est égal à BC =arc BA. Lorsque h est petit, la figure ACB est
presque un triangle rectangle, car l’arc BA est quasiment de même longueur que la corde BA.
Prenez le cosinus de l’angle CBA, qui est approximativement d’amplitude x. Que constatez-vous ?
B (cos(x + h ), sin( x + h ))
x
A (cos x, sin x)
C
h
x
(1, 0)
Figure A
A.3 L’intégration des fonctions trigonométriques
Voici quelques exemples d’intégrales qui impliquent des fonctions trigonométriques. Les
formules de la section A.2 sur les dérivées des fonctions trigonométriques entraı̂nent immédiatement
Z
Z
(a)
sin x dx = cos x + C
(b)
cos x dx = sin x + C:
(1)
Par la règle de dérivation des fonctions composées et la définition de tan x, on obtient
Z
tan x dx = ln jcos xj + C:
(2)
Ce résultat peut être vérifié par dérivation. Voir aussi l’exercice A.3.4.
EXEMPLE 1
Calculez l’aire sous la courbe de f (x) = sin x au-dessus de l’intervalle [0; ] (voir figure 1).
y
f ( x) = sin x
1
A
π/ 2
π
x
Figure 1
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SECTION A.3 / L’intégration des fonctions trigonométriques
13
Solution L’aire ombrée de la figure 1 semble valoir à peu près 2. Comme f (x) > 0 sur
[0; ], le calcul exact donne
Z
0
sin x dx = ( cos x) =
cos ( cos 0) = 2:
0
EXEMPLE 2
Calculez (a) I =
Z
2
cos x dx;
(b) J =
Z
cos3 x dx:
Solution
(a) Après avoir écrit cos2 x = cos x cos x, on utilise la méthode d’intégration par parties
Z
cos2 x dx = cos x cos x dx = cos x sin x
Z
Z
2
= cos x sin x + sin x dx = cos x sin x + (1
I =
Z
D’où, I = cos x sin x + x
d’une constante,
Z
( sin x) sin x dx
cos2 x) dx:
I . Cette équation en I a comme solution, moyennant l’ajout
I = 21 (x + sin x cos x) + C:
(Vérifiez par dérivation que la réponse est correcte.)
sin2 x) cos x, et de là
(b) On peut écrire cos3 x = cos2 x cos x = (1
J =
Z
cos3 x dx =
Z
(1
sin2 x) cos x dx:
Si on pose u = sin x, du = cos x dx et ainsi
J =
Z
(1
u2 ) du = u
1 3
3u
+ C = sin x
1
3
sin3 x + C:
(Vérifiez par dérivation que la réponse est correcte.)
Enfin, les formules (7) et (9) des dérivées des fonctions arcsin x et arctan x fournissent
immédiatement
(a)
Z
p
1
1
x2
dx = arcsin x + C
(b)
Z
1
dx = arctan x + C:
1 + x2
(3)
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
EXERCICES de la section A.3
1. Calculez l’aire sous le graphique de f (x) = cos x sur l’intervalle [0; =2].
2. Calculez les intégrales définies définies par
(a)
Z
(sin x + cos x) dx
(b)
0
Z
=2
x sin x dx
(c)
0
Z
0
sin2 t dt:
3. Déterminez les primitives suivantes.
(a)
Z
cos x e sin x dx
(b)
Z
4. Montrez que
Z
cos5 x sin x dx
(c)
Z
sin3 x dx
f 0 (x)
dx = ln jf (x)j + C
f (x)
et utilisez ce résultat pour démontrer le résultat (2).
5. Montrez que
Z
1 n
n
x cos x +
x n 1 cos x dx ( 6= 0)
Z
Z
1
n
(b)
x n cos x dx = x n sin x
x n 1 sin x dx ( 6= 0).
(a)
Z
x n sin x dx =
6. Les autorités d’un pays ont des ressources à partager en vue d’augmenter la capacité de production
dans le secteur de l’exportation d’un montant x et dans le secteur domestique
montant y. Les
pd’un p
investissements nécessaires dans les deux secteurs sont respectivement de x et y. Comme le
stock total de capital disponible est une constante positive K, x et y doivent être tels que
p
p
x + y = K:
(i)
Les recettes de l’exportation par unité de temps varient selon les saisons et sont données par
(3=2) x sin2 t. Les recettes du marché domestique sont constantes et égales à la capacité de
production y.
Sur une période de quatre ans, le chiffre d’affaires total est donné par
S=
Z
4
0
3
x sin2 t dt +
2
Z
4
y dt:
(ii)
0
(a) Exprimez S comme une fonction de x et y et tracez la courbe représentative de (i) dans le
plan Oxy.
(b) Comment les autorités doivent-elles choisir x et y pour que S soit maximum sous la contrainte (i) ?
7. En statistique, la distribution de Cauchy est décrite par la fonction de densité
f (x) =
1
2 + (x
)2
( > 0)
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SECTION A.4 / Les nombres complexes
définie pour tout x. Démontrez que
utilisez (3)(b).)
R +1
1
f (x) dx = 1. (Suggestion : Posez u = (x
15
)= et
8. Dans un de ses nombreux modèles sur les cycles économiques, le prix Nobel norvégien Ragnar
Frisch a étudié la fonction f définie pour tout x 2 ]0; [ par
f (x) =
x cos x
sin x
+ ln
:
sin x
x
(a) Calculez f 0 (x) et montrez que f 0 (x) =
'(x)
, où '(x) = 2x sin x cos x
(x sin2 x)
(x 2 + sin2 x).
(b) En étudiant ' 0 (x), démontrez que '(x) < 0 sur ]0; [, et, de là, démontrez que f (x) est
strictement décroissante sur ]0; [.
(c) Calculez lim+ f (x), lim f (x) et lim+ f 0 (x).
x!0
x!
x!0
A.4 Les nombres complexes
Des entiers naturels 1; 2; : : :, le concept de nombre s’est élargi progressivement aux entiers relatifs (0, ˙1,
p˙2, : : : ), puis aux rationnels (tels que 1;414 ou 22=7), et enfin aux nombres réels
(y compris 2, e et ). Chacune de ces extensions a permis d’accroı̂tre le nombre d’équations
qui ont des solutions. Et pourtant, des équations du second degré aussi simples que x 2 +1 = 0 ou
x 2 +4x +8 = 0 n’ont toujours pas de solution si on se limite aux nombres réels. L’élargissement
des nombres réels aux nombres complexes va apporter des solutions à toutes les équations
du deuxième degré. Grâce aux nombres complexes, n’importe quelle équation polynomiale
de degré n de la forme x n + an 1 x n 1 + + a1 x + a0 = 0 a n solutions (certaines peuvent
coı̈ncider, auquel cas on dit que les racines sont multiples).
2
L’équation
les solutions
p du second degré x + 4x + 8 = 0 admet, selon la formule classique,
p
x = 2˙
4, qui ne sont pas acceptables tant que l’expression
4
n’a
pas reçu un
p
sens.
On
introduit
à
cet
effet
un
nombre
«
imaginaire
»
i
=
1
qui
va
permettre
d’écrire
p
p p
4= 4
1 = 2i et d’obtenir ainsi comme solutions les nombres
2 + 2i
et
2
2i:
()
p
1 ne l’est pas. En prétendant
Ici, 2 et 2 sont des nombres bien connus, tandis que i =
que i est un nombre dont le carré vaut 1, on fait de i une solution de l’équation i 2 = 1.
En traitant des expressions comme celles-ci comme si elles étaient soumises aux règles
habituelles de l’algèbre, sans oublier que i 2 signifie 1, les expressions du type a + bi peuvent
être utilisées pour résoudre toutes les équations du deuxième degré, même celles qui n’ont
pas de racines réelles.p
Le symbole i =
1 ne peut être intégré que dans un nouvel ensemble de nombres,
appelé ensemble des nombres complexes. Ils sont considérés mathématiquement comme
des couples (a; b) qui s’additionnent de façon classique, mais se multiplient et se divisent
différement.
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
Au lieu d’écrire (a; b), on écrit habituellement a + bi , où a et b sont des nombres réels
et où i n’est qu’un symbole qui identifie la deuxième composante de ce nombre complexe.
Le nombre réel a est appelé partie réelle et le nombre réel b, partie imaginaire du nombre
complexe (a; b) = a + bi . Les opérations d’addition, soustraction et multiplication sont alors
définies comme suit
(a + bi ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d ) i
(1)
(a + bi )
(2)
(c + d i ) = (a
(a + bi ) (c + d i ) = (ac
c) + (b
d) i
bd ) + (ad + bc) i:
(3)
Formellement, la règle (1) devrait s’écrire sous la forme (a; b) + (c; d ) = (a + b; c + d )
et la règle (3), (a; b) (c; d ) = (ac bd; ad + bc). En pratique, quand on doit multiplier
deux nombres complexes, au lieu de retenir cette règle compliquée, on préfère effectuer la
multiplication des deux binômes selon les règles classiques de l’algèbre, puis se souvenir que
i 2 est à remplacer par 1. Le nombre complexe (1; 0) joue le rôle d’élément unité au sens où
(1; 0) (a; b) = (a; b).
La division de deux nombres complexes repose sur les calculs suivants
a + bi
(a + bi ) (c
=
c + d i (c + d i ) (c
d i ) (ac + bd ) + (bc
=
di)
c2 + d 2
ad )i
:
Le quotient n’est donc défini que si c 2 + d 2 6= 0. La formule s’écrit
(a; b)
ac + bd bc ad
=
;
:
(c; d )
c2 + d 2 c2 + d 2
En particulier, l’inverse de c + d i est 1=(c + d i ) = (c d i )=(c 2 + d 2 ). Il convient bien sûr
de vérifier que (c d i )=(c 2 + d 2 ) mérite bien son nom d’inverse, c’est-à-dire que son produit
avec c + d i est égal à l’unité, ce qui n’est pas un calcul
p difficile.
Il convient maintenant d’intégrer le symbole i =
1 dans l’écriture formelle précédente.
Quel serait le nombre complexe (a; b) tel que (a; b) (a; b) = ( 1; 0) ? Il est facile de voir
qu’il y en a deux, (0; 1) et (0; 1) ; par convention, on choisit (0; 1) pour représenter i . Dès
lors, le symbole a + bi peut être représenté par (a; 0) (1; 0) + (b; 0) (0; 1), dans lequel on omet
simplement (1; 0) et on écrit a et b au lieu de (a; 0) et (b; 0).
Il est fréquent de désigner des nombres complexes par des lettres simples comme z = x+yi ,
w = u + vi ou = + i . Deux nombres complexes, écrits de cette manière, sont égaux si et
seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales, c’est-à-dire z = w si
et seulement si x = u et y = v. Quand la partie imaginaire d’un nombre complexe est 0, on
écrit x + 0i = x. En fait, les nombres complexes de la forme x + 0i peuvent être additionnés et
multipliés exactement comme des nombres réels. Les nombres 0 (= 0 + 0i ) et 1 (= 1 + 0i ), en
particulier, obéissent aux mêmes règles algébriques, qu’on les regarde comme des nombres
réels ou des nombres complexes. En outre, (x; 0) (u; v) = (x+0i ) (u+vi ) = (xu; xv) = x(u; v),
où, pour une fois, on revient à l’algèbre vectorielle ordinaire dans la dernière expression en
écrivant le produit d’un scalaire et d’un vecteur.
EXEMPLE 1
Calculez (a) z + w (b) zw (c)
z
,
w
si z = 3 + 4i et w = 2
5i.
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SECTION A.4 / Les nombres complexes
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Solution
(a) z + w = (3 + 4i ) + (2
(b) zw = (3 + 4i ) (2
(c)
5i) = 5
5i) = 6
i
15i + 8i
20i 2 = 26
z
3 + 4i
(3 + 4i ) (2 + 5i) 6 + 15i + 8i
=
=
=
w 2 5i (2 5i) (2 + 5i)
4 + 25
20
7i
=
14 + 23i
29
La forme trigonométrique des nombres complexes
Chaque nombre complexe z = x + yi = (x; y) peut être représenté par un point dans le
plan, alors appelé plan complexe. Son axe horizontal, sur lequel on indique les nombres
de la forme x + 0i , est appelé axe réel ; son axe vertical, sur lequel on indique les nombres de
la forme 0+yi , est appelé axe imaginaire. La figure 1, parfois appelée plan d’Argand-Gauss,
montre la représentation des trois nombres complexes i , i et 3 + 2i .
Axe
imaginaire
Axe
imaginaire
3 + 2i
2i
x + yi
b
r
i
−1
1
2
3
Axe
réel
θ
x
Axe
réel
−i
Figure 1 Le plan complexe
Figure 2 Les coordonnées polaires
Au lieu de représenter un nombre complexe z = x + yi par le couple (x; y), on pourrait
aussi utiliser les coordonnées polaires. Soit (voir figure 2) l’angle (mesuré en radians)
entre la partie positive de l’axe réel et le segment orienté qui va de l’origine au point de
coordonnées (x; y), et soit r la longueur de ce segment orienté. Les définitions de sinus et
cosinus impliquent alors x = r cos et y = r sin de sorte que
z = x + yi = r(cos + i sin ):
(4)
Cette dernière expression est la forme trigonométrique (ou polaire) du nombre complexe z.
L’angle est appelé argument
du nombre complexe z. Notez que la distance de l’origine au
p
point (x; y) vaut r = x 2 + y 2 . C’est le module du nombre complexe, désigné par jzj. D’où,
p
jzj = x 2 + y 2 est le module de z = x + yi:
(5)
Le complexe conjgué de z = x + iy est, par définition, le nombre complexe z̄ = x
constate que z̄z = x 2 + y 2 = jzj2 , où jzj est le module de z.
iy. On
EXEMPLE 2
Écrivez le nombre complexe 1 + i sous forme trigonométrique.
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
p
p
Solution Comme 1 + i = x + yi avec x = y = 1, r = x 2 + y 2 = 2 et l’amplitude
de l’angle entre la partie positive de l’axe réel et le
p vecteur allant de l’origine au point de
coordonnées (x; y) = (1; 1) est =4. Aussi, 1 + i = 2 (cos(=4) + i sin(=4)).
Les règles de multiplication et de division des nombres complexes ont des interprétations
géométriques précises lorsqu’on présente les nombres sous forme trigonométrique. En effet,
l’application de (3) conduit à
r1 (cos 1 + i sin 1 ) r2 (cos 2 + i sin 2 ) = r1 r2 [cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )]
(6)
en raison de (A.1.8) et des formules du cosinus d’une somme et du sinus d’une somme, établies
à l’exercice A.1.4. Ainsi, le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit
des modules et son argument, à la somme des arguments.
On peut montrer pareillement que
r1 (cos 1 + i sin 1 ) r1
= [cos(1
r2 (cos 2 + i sin 2 ) r2
2 ) + i sin(1
2 )]:
(7)
En posant r1 = r2 = 1 et 1 = 2 = dans (6), on obtient (cos + i sin )2 = cos 2 + i sin 2.
On obtient
(cos + i sin )3 = (cos + i sin )2 (cos + i sin )
= (cos 2 + i sin 2)(cos + i sin ) = cos 3 + i sin 3:
Par récurrence, on obtient le résultat bien connu, valable pour tout n = 1, 2, 3, : : :
(cos + i sin )n = cos n + i sin n
(formule de Moivre).
(8)
On définit la fonction exponentielle complexe e z où z = a + i b par
e z = e a (cos b + i sin b):
(9)
Quand z = a + i 0 = a, e z = e a , la fonction exponentielle réelle ordinaire. Que se passe-t-il
dans le cas où z est un pur imaginaire, c’est-à-dire z = i b ? Alors e z = e i b = cos b + i sin b.
Dans le cas particulier b = ,
e i =
1
(identité d’Euler),
(10)
relation impressionnante entre les nombres les plus remarquables des mathématiques.
Il s’avère que la fonction exponentielle complexe partage les propriétés de base de la
fonction exponentielle réelle, à savoir
e z1 e z2 = e z1 +z2 :
(11)
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SECTION A.4 / Les nombres complexes
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En effet, si z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 , alors
e z1 e z2 = e x1 +iy1 e x2 +iy2 = e x1 (cos y1 + i sin y1 )e x2 (cos y2 + i sin y2 )
= e x1 +x2 [cos(y1 + y2 ) + i sin(y1 + y2 )]
= e (x1 +x2 )+i (y1 +y2 ) = e z1 +z2 :
La formule (6) a été utilisée.
De même, on peut montrer que e z1 =e z2 = e z1 z2 (voir exercice A.4.7).
La fonction à valeurs complexes F (t ) = e rt , où r est le nombre complexe ˛ + iˇ, joue
un rôle important dans la théorie des équations différentielles réelles d’ordre 2 et plus. En
raison de l’expression (9), on peut écrire F (t ) = e rt = e ˛t+iˇt = e ˛t (cos ˇt + i sin ˇt ).
Si F (t ) = f (t ) + ig(t ) est une fonction quelconque à valeur complexe d’une variable réelle t ,
on définit F 0 (t ) = f 0 (t ) + ig 0 (t ). Il est demandé dans l’exercice A.4.6 de vérifier que
F (t ) = e rt avec r = ˛ + iˇ
)
F 0 (t ) = re rt
(12)
exactement comme si r était un nombre réel et non un complexe.
REMARQUE 1 Ici se termine cette brève introduction aux nombres complexes. Initialement,
p
1 et d’autres nombres coml’ensemble des nombres réels avait été étendu pour permettre
plexes au XVIe siècle, au moment où de nombreux mathématiciens italiens développaient des
formules pour les solutions des équations algébriques de degrés 2, 3 et 4. Pendant longtemps,
les nombres complexes ont été regardés comme des objets mystérieux, « imaginaires ».
Ce n’est plus le cas aujourd’hui. Cette extension des nombres réels aux complexes est justifiée par le même souci que l’extension des rationnels aux réels, celui, dans les deux cas, que
certaines équations aient des solutions.
De nos jours, les nombres complexes sont indispensables aux mathématiques et aux
sciences modernes. Ils ne jouent cependant pas un grand rôle en économie. Les étudiants
de cette discipline peuvent généralement s’en passer, sauf peut-être dans l’étude des séries
temporelles en économétrie. L’usage principal des nombres complexes est de rendre plus commode la résolution de certaines équations différentielles ou aux différences finies de degré élevé
et l’établissement de leurs propriétés de stabilité. Ce sont des sujets que nous réservons à notre
livre plus avancé FMEA (Further Mathematics for Economic Analysis).
EXERCICES de la section A.4
1. Calculez (a) z + w (b) zw (c)
z
(d) jzj,
w
si z = 2
5i et w = 3 + 3i .
2. Représentez dans le plan complexe les points associés à z = 2
2i , w = 1 + 3i et z + w.
3. Ramenez les nombres suivants sous la forme x + yi .
(a)
3 + 2i
1 i
(b)
4
3i
i
(c)
(3 2i ) (2 i )
( 1 i ) (3 + 2i )
(d)
1 i
1+i
3
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20
Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
4. Écrivez les nombres suivants sous forme trigonométrique.
(a)
p
3 + 3i
(b)
1
(c)
2
p
2 3i
(d) 1
i
5. Utilisez la formule de Moivre pour calculer (1 + i )100 . Utilisez l’exemple 2.
6. Démontrez la règle de dérivation (12).
7. Démontrez que e z1 =e z2 = e z1
z2
.
8. Démontrez que, si z est un nombre complexe tel que z 2 est réel et positif, alors z est un nombre
réel.
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CORRIGÉS
21
Corrigés
A.1
1. Voir la figure E. Par le théorème de Pythagore, OB = BP =
sin 45ı = sin(=4) = BP =OP =
et tan 45ı = tan(=4) =
1
2
p
2. D’où,
1p
2 = cos(=4)
2
sin(=4)
= 1:
cos(=4)
2. Voir la figure F. Si les coordonnées de Px sont (u; v), alors celles de P x sont (u; v),
de sorte que sin( x) = v = sin x et cos( x) = u = cos x. Ensuite, par définition,
tan( x) = sin( x)= cos( x) = sin x= cos x = tan x.
Px (u, v)
P
1
π/ 4
x
45°
O
B
P− x (u, − v)
Figure E
3. cos(x
Figure F
y) = cos(x + ( y)) = cos x cos( y)
sin x sin( y) = cos x cos y + sin x sin y.
4. cos(y =2) = sin y est une conséquence immédiate de l’exercice 3. Ensuite, compte
tenu de la suggestion, de (A.1.8) et à nouveau du résultat de l’exercice 3, il vient
sin(x + y) = cos(x + y
=2) = cos x cos(y
=2)
sin x sin(y
=2)
= cos x sin y + sin x cos y = sin x cos y + cos x sin y:
En remplaçant y par y, on obtient
sin(x
y) = sin x cos( y) + cos x sin( y) = sin x cos y
cos x sin y:
sin(x + )
sin x cos + cos x sin sin x
=
=
= tan x
cos(x + ) cos x cos sin x sin cos x
1
1
1
sin(x + ) = sin x cos + cos x sin = (sin x) 0 + (cos x) 1 = cos x
2
2
2
1
1
1
cos(x + ) = cos x cos sin x sin = sin x
2
2
2
5. tan(x + ) =
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Annexe : Fonctions trigonométriques et nombres complexes
6. Des définitions même de sin x et cos x découlent
sin(x + ) =
sin x et cos(x + ) =
cos x
pour tout x. C’est aussi une conséquence de l’exercice 4 et de la formule (A.1.8) joints
aux résultats sin = 0 et cos = 1. La formule de sin(x y) de l’exercice 4 montre
aussi que sin( x) = sin x pour tout x. Ces résultats viennent à point dans cet exercice.
(a) sin( =6) = sin(=6) = 1=2 p
(b) cos( + =6) = cos(=6) = 21 3
p
(c) Par l’exercice 2(a), sin( 3=4) = sin(3=4) p
= 21 2.
1
(d) cos(5=4) = cos(=4 + ) = cos(=4) = p
2 2
1
(e) Par la formule (6), tan(7=6) = tan(=6) = 3 3.
(f) sin(=12) = sin(=3 =4) = sin(=3) cos(=4) cos(=3) sin(=4)
p
1 p
= ( 6
2):
4
p
p
7. (a) 2 sin(x + =4) cos x = 2(sin x cos =4 + cos x sin =4) cos x
p
p
p
= 2(sin x 1= 2 + cos x 1= 2) cos x = sin x
(b) Comme sin( x) = sin x et cos(2 x) = cos( x) = cos x, on a
sin(˛ + ˇ)
sin[ (˛ + ˇ)]
=
= tan(˛ + ˇ):
cos[2 (˛ + ˇ)] cos(˛ + ˇ)
(c)
cos a= sin a. (Utilisez la formule (8) et les formules des exercices 3 et 4.)
8. Notez que x + y = A et x y = B impliquent x = 21 (A + B) et y =
La formule souhaitée découle facilement de cette suggestion.
9. sin(x + y) sin(x
y) = (sin x cos y + cos x sin y) (sin x cos y
2
2
2
= sin x cos y
2
= sin x (1
1
2 (A
B).
cos x sin y)
2
cos x sin y
2
sin y)
(1
sin2 x) sin2 y = sin2 x
sin2 y
10. (a) Voir figure G. Période , amplitude 1.
(b) Voir figure H. Période 4, amplitude 3.
(c) Voir figure I. Période 2=3, amplitude 2.
y
y
1
− 2π
π
−π
x
−1
Figure G
y
3
2
1
−1
−2
−3
Figure H
4
4π
2
x
−π
π
2π x
Figure I
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11. (a) Comme jf (x)j = j(1=2)x sin xj 6 (1=2)x pour tout x et comme (1=2)x ! 0 lorsque
x ! 1, les oscillations s’atténuent.
(b) Comme 2x ! 1 lorsque x ! 1, les oscillations s’amplifient de plus en plus.
12. (a) C’est une sinusoı̈de y = A sin(ax) avec A = 2 et a (8) = 2, c’est-à-dire a = 1=4.
(b) y = 2 + cos x. (Une cosinusoı̈de d’amplitude 1 et période 2 translatée de deux
unités vers le haut.)
(c) y = 2e x= cos x. (C’est une cosinusoı̈de amortie par l’exponentielle d’amplitude
2e x= .)
13. Comme les longueurs des segments AC et BD sont égales, on a
(cos x
cos y)2 + (sin x + sin y)2 = (cos(x + y)
1)2 + sin2 (x + y):
Le membre de gauche se calcule comme suit
= cos2 x
=2
2 cos x cos y + cos2 y + sin2 x + 2 sin x sin y + sin2 y
2 cos x cos y + 2 sin x sin y;
et le membre de droite,
= cos2 (x + y)
2 cos(x + y) + 1 + sin2 (x + y) = 2
2 cos(x + y):
(La formule sin2 u + cos2 u = 1 est souvent utilisée.) L’égalisation des deux membres
entraı̂ne cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y.
A.2
1. (a) y 0 = 21 cos 21 x
(b) (x cos x)0 = x 0 cos x + x(cos x)0 = cos x x sin x
d
d
du
1
2x
(c) On pose u = x 2 . Alors,
(tan(x 2 )) =
(tan u)
=
2x =
:
2
dx
du
dx cos u
cos2 (x 2 )
(d) (e 2x cos x)0 = (e 2x )0 cos x + e 2x (cos x)0
= 2e 2x cos x
2. y = tan x =
e 2x sin x = e 2x (2 cos x
.
sin x)
sin x
donne
cos x
y0 =
cos x cos x
sin x ( sin x) cos2 x + sin2 x
=
= 1 + tan2 x:
cos2 x
cos2 x
Comme cos2 x + sin2 x = 1, y 0 = 1= cos2 x est une autre réponse.
3. (a) cos x sin x
p
p
(b) 5x 4 sin x +
x 5 cos x + (1=2
x) cos x
x sin x
p p
1
1
3x x
2
p
(c) 2
cos x
x (1 + x ) sin x
(x + 1)2
2 x
2
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4. (a) a sin ax
(b) a sin bt + abt cos bt
(c) cos2 t sin2 t
sin 2x
sin u
sin 2x
= 2 lim
= 2 lim
= 2, grâce à (A.10).
x!0 2x
u!0 u
x
sin mt
0
m cos mt m
(b) lim
(indétermination de type ) = lim
= .
t !0 sin nt
t
!0
0
n cos nt
n
1 cos t
0
sin t
1
sin t
1
(c) lim
(indétermination de type ) = lim
= lim
= , grâce
2
t !0
t !0 2t
t
0
2 t !0 t
2
à (A.10).
5. (a) lim
x!0
6. La dérivée de f (x) est f 0 (x) = 3 (sin x x 1)2 (cos x 1). Il est facile de voir que
sin x < x + 1 pour tout x > 0, car sin x 6 1 < x + 1. En outre, cos x < 1 pour
tout x dans l’intervalle ouvert J = ]0; 3=2[. Dès lors, f 0 (x) < 0 pour tout x dans J .
Par conséquent, f étant strictement croissante sur l’intervalle fermé I = [0; 3=2], elle
atteint sa valeur maximale 1 en x = 0 et sa valeur minimale (2 + 3=2)3 302;43
en x = 3=2.
7. p 0 (t ) = C1 sin t + C2 cos t et p 00 (t ) =
p 00 (t ) + 2 p(t ) = C0 2 . D’où, K = C0 2 .
2 C1 cos t
2 C2 sin t , de sorte que
8. Ces valeurs peuvent être lues dans le tableau A.1.1 :
(a) =4 (b) =2 (c) =6 (d) =3.
9. (a) On pose u = 2x. La règle de dérivation des fonctions composées s’applique
y0 =
d
du
2
2
(arcsin u)
=p
=p
:
2
du
dx
1 u
1 4x 2
d
dv
1
2x
(b) Avec v = 1 + x 2 , y 0 =
(arctan v)
=
2x =
.
2)
2 + 1)2
dv
dx
(1
+
v
1
+
(x
p
(c) On pose w = x. Alors
y0 =
d
dw
(arccos w)
=
dw
dx
p
1
1
w2
1
p =
2 x
p
2 1
1
p :
x x
10. Par dérivation implicite, 1 cos y + x ( sin y) y 0 y 0 sin x y cos x = 0, de sorte que
cos y y cos x
y0 =
. Comme, en (; =2), y 0 = 1=2, l’équation de la tangente est
sin x + x sin y
y = x=2:
11. Pour h petit, [sin(x + h)
entraı̂ne (sin x)0 = cos x.
sin x]= h cos x et le passage à la limite lorsque h ! 0
A.3
1. Aire =
Z
=2
=2
cos x dx = sin x
0
= sin(=2)
sin 0 = 1.
0
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2. (a)
Z
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(sin x + cos x) dx = ( cos x + sin x)
cos + cos 0 + sin =
sin 0 = 2
0
0
(b) Par intégration par parties,
Z
=2
=2
Z
x sin x dx = x ( cos x)
0
0
=2
( cos x) dx
0
=2
(=2) cos(=2) + sin x
=
=0+1
0 = 1:
0
(c) I =
=
Z
Z
0
sin2 t dt =
0
2
cos t dt =
Z
Z
0
0
Z
sin t sin t dt = ( cos t ) sin t
0
0
( cos t ) cos t dt
0
(1
sin2 t ) dt = t
I =
I
D’où, I = =2.
3. (a) e sin x + C . (On emploie la substitution u = sin x:)
(b) 16 cos6 x + C . (On emploie
la substitution
u = cos x.) R
R
R
(c) 31 cos3 x cos x + C . ( sin3 x dx = sin x(sin2 x) dx = sin x(1
ensuite, on emploie la substitution u = cos x.)
cos2 x) dx et
4. On substitue par u = f (x) (ou on dérive le membre de droite). Le résultat (2) est obtenu
en posant f (x) = cos x.
5. (a) Intégration par parties avec f (x) = x n , g 0 (x) = (1=) cos x.
(b) Intégration par parties.
Z 4
Z 4
Z 4
4
2
2
3
3
6. (a) S =
x
sin
t
dt
+
y
dt
=
x
sin
t
dt
+yt
= 3x +4y. En procédant
2
2
0
0
0
0
Z 4
par intégration par parties comme dans l’exercice 2(c), on obtient
sin2 t dt = 2.
Si vous connaissez la formule sin2 x =
cos 2x = cos2 x
1
2
sin2 x = (1
1
2
0
cos 2x, qui provient de
sin2 x)
sin2 x = 1
2 sin2 x;
alors vous obtenez plus facilement
Z
4
2
sin t dt =
0
Z
4
4
0
( 21
1
2
cos 2 t) dt = ( 21 t
1
4
sin 2 t)
= 2:
0
(b) Le problème consiste en la recherche de max (3x + 4y) sous la contrainte
p
x+
p
y = K:
En étudiant les courbes de niveau 3x + 4y = c, avec c constante, on voit que la solution
doit être en (x; y) = (0; K 2 ) (l’optimum consiste donc à investir tout sur le marché
domestique).
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Z
1 1
1
1 1
arctan u
dx
=
du
=
)2
= 1 + u2
=
0
1 1
1
= (
arctan( =)) =
arctan
2
2 et, de la même façon,
Z
1 0
1 1
dx = + arctan
2
2
1 + (x )
2 1
7.
Z
1
2 + (x
La conclusion suit.
8. (a)On a
f 0 (x) =
(cos x
x sin x) sin x
sin2 x
x cos2 x
+
x x cos x sin x
:
sin x
x2
Un peu d’algèbre élémentaire et la formule sin2 x + cos2 x = 1 conduisent au résultat.
(b) ' 0 (x) = 2 sin x cos x + 2x (cos2 x sin2 x) 2x 2 sin x cos x = 4x sin2 x < 0
pour tout x dans ]0; [. Comme '(0) = 0 et ' 0 (x) < 0, on voit que '(x) < 0 pour x
dans ]0; [. Il s’ensuit que f 0 (x) = '(x)=x sin2 x < 0 et ainsi f (x) est strictement
décroissante sur ]0; [.
sin x
cos x
sin x
x cos x
+ln
=
+ln
! 1+0 = 1 lorsque x ! 0+ , puisque
(c) f (x) =
sin x
x
sin x=x
x
sin x
la limite de
est 1 lorsque x ! 0, selon (A.10). lim f (x) = 1, puisque les
x!
x
deux termes tendent vers 1.
'(x)
0
(indétermination de type )
0
x sin2 x
4x sin2 x
= lim+
x!0 sin2 x + 2x sin x cos x
4x sin x
0
= lim+
(indétermination de type )
x!0 sin x + 2x cos x
0
0
4 sin x 4x cos x
= = 0:
= lim+
x!0 cos x + 2 cos x
2x sin x 3
lim f 0 (x) = lim+
x!0+
x!0
A.4
1. (a)
(b)
(c)
(d)
z + w = 5 2i
zw = 21 9i
z=w =p( 3 7i)=6 p
jzj = 22 + ( 5)2 = 29
2. Voir la figure A.
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Axe imaginaire
4i
3i
w = 1 + 3i
2i
z + w = 3+ i
i
−2 −1
1
2
3
Axe réel
−i
− 2i
z = 2 − 2i
Figure A
(3 + 2i ) (1 + i ) 3 + 5i + 2i 2 1 + 5i 1 5
=
=
= + i
(1 i ) (1 + i )
1 i2
2
2 2
3 4i
(4 3i) ( i)
=
= 3 4i
(b)
i ( i)
1
(c) Simplifiez les numérateur et dénominateur avant de rendre le dénominateur réel.
3. (a)
(3 2i ) (2 i )
6 7i + 2i 2
4 7i
(4 7i) ( 1 + 5i)
=
=
=
2
( 1 i ) (3 + 2i )
3 5i 2i
1 5i
( 1)2 (5i )2
2
4 + 27i 35i
31 27
=
=
+
i
2
1 25i
26 26
(d)
1 i (1
=
1+i
1
i )2 1
=
i2
4. (a)
(b)
(c)
(d)
2i + i 2
2i
=
=
2
2
1 i
1+i
3
= ( i)3 =
i, de sorte que
i3 =
i 2 i = i:
p
2 3 cos(=3) + i sin(=3)
cos + i sin 4pcos(4=3) + i sin(4=3) 2 cos(7=4) + i sin(7=4)
5. En se servant de l’exemple 2 et de la formule de Moivre, on trouve
(1 + i )100 =
p 100
2
(cos 25 + i sin 25) = 250 (cos + i sin ) =
250 :
6. Si F (t ) = e rt = e at +i bt = e at (cos bt + i sin bt ), alors
F 0 (t ) = ae at (cos bt + i sin bt ) + e at ( b sin bt + i b cos bt )
= (a + i b)e at (cos bt + i sin bt ) = re rt :
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7. Si z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 , alors la formule (7) donne
e z1 e x1 (cos y1 + i sin y1 )
=
= e x1
e z2 e x2 (cos y2 + i sin y2 )
= e x1
x2 +i (y1 y2 )
= e z1
z2
x2
(cos(y1
y2 ) + i sin(y1
y2 ))
:
8. Si z = x + iy, alors z 2 = (x + iy)2 = x 2 + 2xyi + (iy)2 = x 2 y 2 + 2xyi . Dès lors,
z 2 est réel seulement si xy = 0. Soit x = 0, soit y = 0 (ou les deux). Exiger z 2 > 0
revient à exiger x 2 > y 2 , de sorte qu’au moins y doit être nul. Mais alors z = x et z est
un nombre réel.
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