www.kholaweb.com EM8.1. Champ magnétique en un point du plan

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EM8.1. Champ magnétique en un point du plan d'une spire.
Enoncé.
Une spire circulaire de centre O, de rayon aet d'axe (Oz) est parcourue par un courant d'intensité I.
Un point courant Pde la spire est repéré par l'angle que fait le vecteur
OP
avec l'axe (Ox) de
référence.
1. Montrer que la composante Bz du champ magnétique créé en un point Mde l'axe (Ox) très
éloigné de la spire (a/x<< 1) s’écrit :
22
3
22
0
cos avec
4(1 2 cos )
oI
u u a
Bz d u
x x
u u
2. Effectuer un développement limité en ude l'intégrale et obtenir la partie principale du
champ
B M
. Vérifier que ce champ est bien celui créé par un dipôle magnétique au même point.
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EM8.1. Champ magnétique en un point du plan d'une spire.
Corrigé.
1. Expression de la composante Bzdu champ magnétique.
Le plan contenant le point Met perpendiculaire à l’axe Oz est un plan de symétrie de la distribution
de courants, le champ magnétique
B
engendré est donc perpendiculaire à ce plan (Oxy) en M. Soit :
z
z
B B u
On utilise la loi de Biot et Savart :
3
4
oP
C
I
PM
B M dl
PM
Or :
cos cos sin
sin 0 sin cos
0 0 0 0
P
a x x a a d
OP a OM PM a dOP dl a d
3
2
2 2
3
22 2
2
3 3
2 2 2
cos cos sin
cos sin
cos
2 cos
P z
P z
x a a a
PM
dl d u
PM
x a a
a xa
PM
dl d u
PM x a ax
On pose :
a
u
x
2
3 3
22
cos
1
1 2 cos
P z
u u
PM
dl d u
x
PM u u
On obtient pour
z
B
l’expression suivante :
2
2
3
2
02
cos
1
41 2 cos
o
z
u u
I
B d
xu u
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2. Développement limité.
Soit
2
2
3
2
02
cos
1 2 cos
u u
f u d
u u
or u<< 1 d’où :
2
2
0
cos 1 3 cos
f u u u u d
En se limitant aux termes en
2
u
on obtient :
2
2 2 2
0
cos 3 cos
f u u u u d
Comme
2
0
cos 0
d
on obtient :
2 2
2 2 2
0 0
2
2
2
3
1 3 cos 1 1 cos 2
2
f u u d u d
a
f u u
x
On obtient ainsi une nouvelle expression du champ magnétique :
2
3
3
4
4
o
z
o
z
I
a
B
x
I
M
B
x
avec
2
M a
Cette expression est celle du champ magnétique créé par un dipôle, orienté suivant Oz, en un point
Mde l’axe Ox ce qui correspond en coordonnées sphériques à
, , 0
2
M r x et pour
lequel
z
B B
.
Champ créé par un dipôle :
3
3
2 cos
4
sin
4
0
o
r
o
M
Br
M
B M B r
B
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