www.kholaweb.com EM8.1. Champ magnétique en un point du plan

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EM8.1. Champ magnétique en un point du plan d'une spire.
Enoncé.
m
o
c
.
b
e
w
Une spire circulaire de centre O, de rayon a et d'axe (Oz) est parcourue par un courant d'intensité I.

Un point courant P de la spire est repéré par l'angle  que fait le vecteur OP avec l'axe (Ox) de
référence.
a
l
o
h
1. Montrer que la composante Bz du champ magnétique créé en un point M de l'axe (Ox) très
éloigné de la spire (a/x << 1) s’écrit :
 I 2
u 2  u cos 
a
Bz  o 
d avec u 
3
4 x 0 (1  2u cos   u 2 ) 2
x
k
.
w
2. Effectuer un développement limité en u de l'intégrale et obtenir la partie principale du

champ B  M  . Vérifier que ce champ est bien celui créé par un dipôle magnétique au même point.
w
w
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EM8.1. Champ magnétique en un point du plan d'une spire.
Corrigé.
m
o
1. Expression de la composante Bz du champ magnétique.
Le plan contenant le point M et perpendiculaire à l’axe Oz est un plan de symétrie de la distribution

de courants, le champ magnétique B engendré est donc perpendiculaire à ce plan (Oxy) en M. Soit :


B  Bz u z
c
.
b
e
w
a
l
o
h
On utilise la loi de Biot et Savart :


o I 
PM
B M   
 4 dl P  PM 3
C
Or :




 a cos   x
 x  a cos 

 a sin d 
OP a sin  OM 0
PM a sin 
dOP  dl P a cos d 




0
0
0
0





2
2
x  a cos  a cos    a sin  


PM

 d u z
dl P 

3
PM 3
2
2


2
2
x  a cos    a sin  



2


a  xa cos 
PM
dl P 

d u z
3
PM 3
x 2  a 2  2ax cos  2
w
w
k
.
w

a
x


PM
1
dl P 

x
PM 3
On pose : u 


u
2
1  u
 u cos 
2


 2u cos 
On obtient pour Bz l’expression suivante :
2
I 1
Bz  o
4 x 0
u
2
1  u
 u cos 
2

 2u cos 

3
2

3
2

d u z
d
2. Développement limité.
2
u 2  u cos 
Soit f u   

1  u
0
f u  
2
 u
2
0
2

 2u cos 


3
2
d or u << 1 d’où :
En se limitant aux termes en u 2 on obtient :
f u  
2
Comme

0
2
 u
2
0
c
.
b
e
w

 u cos   3u 2 cos2  d 
cos d  0 on obtient :
2

a
l
o
h

2
f u   u 2  1  3 cos2  d   u 2 
0
m
o
 u cos  1  3u cos  d 
0


1  3 1  cos 2 d 


2

a2
f u   u 2   2
x
On obtient ainsi une nouvelle expression du champ magnétique :
 I a 2
Bz   o
4 x 3
avec M  a 2
o I M
Bz  
4 x 3
Cette expression est celle du champ magnétique créé par un dipôle, orienté suivant Oz, en un point



M de l’axe Ox ce qui correspond en coordonnées sphériques à M r  x ,   ,   0 et pour

2

w
w
k
.
w
lequel B  Bz .
Champ créé par un dipôle :

B  o 2M cos 
 r
4
r3


 M sin 
B M  B  o

4 r 3
B  0
 


m
o
w
w
k
.
w
a
l
o
h
c
.
b
e
w