MAT 721: Alg`ebre non commutative Chapitre I: Alg`ebres 1.1

MAT 721: Alg`ebre non commutative
Chapitre I: Alg`ebres
1.1 D´efinitions et exemples
Dans notre terminologie, un anneau Radmet toujours un ´el´ement identit´e 1Ret un
R-module `a droite Mest toujours unif`ere, c’est-`a-dire, x·1R=xpour tout x∈R.
Partout dans ce chapitre, on se fixe Kun anneau commutatif. Dans ce cas, un K-module
`a gauche est aussi un K-module `a droite.
1.1.1. D´efinition. Une alg`ebre sur K(ou K-alg`ebre) est un anneau A= (A, +,·) muni
d’une multiplication externe •:K×A→A: (α, a)7→ α•atelle que
(1) (A, +,•) est un K-module.
(2) Pour tous a, b ∈Aet α∈K, on a α•(a·b) = (α•a)·b=a·(α•b).
De plus, on dit que Aest une K-alg`ebre commutative si a·b=b·apour tous a, b ∈A.
Exemples. (1) IC est une IR-alg`ebre commutative.
(2) Soient a, b ∈IR avec a<b. Alors l’ensemble C[a, b] des fonctions continues d´efinies
sur [a, b] est une IR-alg`ebre commutative.
(3) Soit n≥1 un entier. L’ensemble Mn(K) des matrices carr´ees sur Kest une K-
alg`ebre. On voit que Mn(K) est commutative si, et seulement si, n= 1. En particulier, K
est K-alg`ebre commutative.
(4) L’ensemble K[t] des polynˆomes `a une ind´etermin´ee t`a coefficients dans Kest une
K-alg`ebre commutative.
(5) Soit Mun K-module. Alors l’ensemble EndK(M) des applications K-lin´eaires de M
dans Mest une K-alg`ebre.
Remarques. (1) Soit A= (A, +,·) un anneau.
(1) Aest une ZZ-alg`ebre pour la multiplication externe suivante:
n•a=
(nfois)
z }| {
a+· · · +a, si n > 0
0,si n= 0
(−nfois)
z }| {
(−a) + · · · (−a),si n < 0.
(2) Le centre R={x∈A|x·a=a·x, pour tout a∈A}est un sous-anneau commutatif
de A. On voit que Aest une alg`ebre sur R.
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1.1.2. D´efinition. Soit Aune K-alg`ebre. Une partie Bde As’appelle sous-alg`ebre si
les conditions suivantes sont satisfaites:
(1) 1A∈B.
(2) Best un sous-anneau de l’anneau (A, +,·).
(3) Best sous-module du K-module (A, +,•).
Dans ce cas, Blui-mˆeme est une K-alg`ebre.
Exemples. (1) Soit C1[a, b] l’ensemble des fonctions diff´erentiables d´efinies sur [a, b],
alors C1[a, b] est une sous-alg`ebre de C[a, b].
(2) L’ensemble Dn[K] des matrices diagonales d’ordre nsur Kest une sous-alg`ebre de
Mn(K).
(3) K1A={α1a|α∈K}est une sous-alg`ebre de A.
1.1.3. Proposition. Soit Aune K-alg`ebre. Alors le centre
Z(A) = {a∈A|ab =ba, pour tout b∈A}
est une sous-alg`ebre de Acontenant K1A.
Soit Kun corps. Alors une K-alg`ebre Aest un K-espace vectoriel dont la dimension
s’appelle la dimension de A. On dit que Aest de dimension finie si dimKA < ∞et de
dimension infinie sinon.
Exemples. (1) On voit que IC est une IR-alg`ebre de dimension deux, et C[a, b] est une
IR-alg`ebre de dimension infinie.
(2) Soit Kun corps commutatif. Alors Mn(K) est une K-alg`ebre de dimension n2et
K[t] est une K-alg`ebre de dimension infinie.
Soient Kun corps et Aune K-alg`ebre de dimension finie ayant pour K-base {a1, . . . , an}.
Alors
ai·aj=
n
X
k=1
αk
ij ak, αk ij ∈K.
On voit que la multiplication de Aest uniquement d´etermin´ee par les scalaires αk
ij ,i, j, k =
1, . . . , n, qui sont appel´es les constantes de structure de Apar rapport `a la base {a1, . . . , an}.
Le r´esultat suivant nous dit comment faire d’un K-espace vectoriel de dimension finie
une K-alg`ebre.
1.1.4. Proposition. Soit Kun corps et soit Aun K-espace vectoriel ayant pour base
{a1,· · · , an}. On d´efini d’abord aiaj∈Apour touts 1 ≤i, j ≤n, et ensuite on prolonge aux
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´el´ements de Apar la distributivit´e. Si (aiaj)ak=ai(ajak),pour tous 1 ≤i, j, k ≤n, alors A
devient une K-alg`ebre.
Exemples. (1) IH = {a+bi +cj +dk |a, b, c, d ∈IR}est un IR-espace ayant pour une
base {1, i, j, k}. On voit que la multiplication
i2=j2=k2=−1, ij =−ji =k, jk =−kj =i, ki =−ik =j
est associative. Donc IH devient une IR-alg`ebre, s’appelle alg`ebre des quaternions d’Hamilton,
si l’on prolonge la multiplication par la distributivit´e.
(2) Soient Kun corps et Gun groupe fini. Alors
KG ={X
g∈G
αgg, αg∈K}
est un K-espace ayant pour une base G. Comme la multiplication de Gest associative, KG
devient une K-alg`ebre, s’appelle alg`ebre du groupe, si l’on prolonge la multiplication de G
aux ´el´ements de kG par la distributivit´e.
Soit Kun corps et soit Aune K-alg`ebre. Dans ce cas, on peut identifier α∈Kavec
α•1A. De cette manier, on peut consid´erer Kcomme une sous-alg`ebre de Acontenue dans
le centre de A. On dit que Aest un sur-corps de Ksi tout ´el´ement non nul de Aadmet un
inverse.
Exemple. IH est un sur corps de IR de dimension 4. En effet,
(a+bi +cj +dk)(a−bi −cj −dk) = a2+b2+c2+d2.
1.1.5. Th´eor`eme. Soit Kun corps alg´ebriquement clos. Si Aest un sur corps de Kde
dimension finie, alors A=K.
D´emonstration. D’abord, on a K⊆A. Soit a∈A. Si dimKA=n, alors {1, a, . . . , an}
est li´ee. Ainsi il existe des scalaires αn,· · · , α1, α0, non tous nuls, tels que αnan+· · · +
α1a+α0= 0.Ainsi f(t) = αntn+· · · +α1t+α0est un annulateur de a. Soit m(t) =
tm+βm−1tm−1+· · · +β1t+β0avec m≥1 le polynˆome minimal de a. Comme Aest un
sur corps de K, on voit que m(t) est irr´eductible sur K. Comme Kest alg´ebriquement clos,
m= 1. Ainsi a=−β0∈K.
1.2. Id´eaux et alg`ebres simples
Partout dans cette section, on se fixe Kun anneau commutatif et Aune K-alg`ebre.
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1.2.1. D´efinition. Un id´eal `a gauche (respectivement, `a droite, bilat`ere) de l’anneau A
s’appellent id´eal `a gauche (respectivement, `a droite, bilat`ere) de l’alg`ebre A.
Par exemple, 0 et Asont deux id´eaux bilat`eres.
Remarque. Un id´eal `a gauche ou `a droite de Aest un sous-module du K-module
(A, +,•).
1.2.2. Proposition. Si {Iλ|λ∈Λ}est une famille d’id´eaux `a gauche (respectivement,
`a droite, bilat`ere) de A, alors l’intersection ∩λ∈ΛIλet la somme Pλ∈ΛIλsont des id´eaux `a
gauche (respectivement, `a droite, bilat`ere).
1.2.3. Proposition. Soit Aune K-alg`ebre avec Iun id´eal bilat`ere. Alors
A/I ={a=a+I|a∈A}
est une K-alg`ebre, appel´ee le quotient de Amodulo par I.
1.2.4. Proposition. Soient Iun id´eal bilat`re de A.
(1) Si Jest un id´eal `a gauche (respectivement, `a droite, bilat`ere) de A, alors J/I =
{a+I|a∈J}l’est aussi. En outre, J/I = (J+I)/I.
(2) L’application J7→ J/I donne une bijection de l’ensemble des id´eaux `a gauche (re-
spectivement, `a droite, bilat`ere) contenant Ide Asur l’ensemble des id´eaux `a gauche (re-
spectivement, `a droite, bilat`ere) de A/I, qui pr´eserve l’ordre d’inclusion.
1.2.5. D´efinition. Une K-alg`ebre Aest dite simple s’il n’a pas d’id´eal bilat`ere propres.
Exemple. Si Kest un corps, alors tout sur-corps de Kest simple.
Remarquons, pour tout n≥1, que l’ensemble Mn(A) des matrices carr´ees d’ordre nsur
Aest une K-alg`ebre.
1.2.6. Th´eor`eme. Soit Dun sur-corps de K. Alors pour tout n≥1, Mn(D) est une
K-alg`ebre simple. En particulier, Mn(K) est simple.
D´emonstration. Pour tous 1 ≤i, j ≤net d∈D, d´esignons par eij (a)∈Mn(D) dont
le (i, j)-terme est aet les autres termes sont tous nuls. Alors
eij (a)·ekl(b) = (eil(ab),si j=k
0,si j6=l.
Soit Iun id´eal bilat`ere non nul de Mn(D). Prenons B= (bij )n×n∈Itelle que brs 6= 0
pour certains 1 ≤r, s ≤n. Remarquons B=P1≤k,l≤nekl(bkl). Pour tout 1 ≤i≤n, on a
I3eir(1D)·B·esi(1D) = X
1≤k,l≤n
bkleir (1D)ekl(bkl)esi(1D) = eii(brs),
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et donc eii(1D) = eii(brs)eii(b−1
ii )∈I. Ainsi I=Mn(D). Ceci ach`eve la d´emonstration.
1.3. Homomorphismes d’alg`ebres
Partout dans cette section, on se fixe Kun anneau commutatif.
1.3.1. D´efinition. Soit φ:A→Bune application de K-alg`ebres. On dit que φest un
homomorphisme si pour tous a, b ∈Aet α∈K,
(1) φ(a+b) = φ(a) + φ(b).
(2) φ(ab) = φ(a)φ(b).
(3) φ(α•a) = α•φ(a).
(4) φ(1A) = 1B.
En outre, on dit que φest un anti-homomorphisme si φsatisfait aux conditions (1), (3),
(4), et la condition que φ(ab) = φ(b)φ(a), pour tous a, b ∈A.
De plus, un isomorphisme (ou anti-isomorphisme) de K-alg`ebres est un homomorphisme
(ou anti-homomorphisme) bijectif. Dans ce cas, son inverse est ´egalement un homomor-
phisme (ou anti-homomorphisme).
1.3.2. Lemme Soit φ:A→Bun homomorphisme de K-alg`ebres.
(1) Im(φ) est une sous-alg`ebre de B.
(2) Ker(φ) = {a∈A|φ(a) = 0B}est un id´eal bilat`ere de A.
(3) φest injectif si, et seulement si, Ker(φ) = 0.
Exemple. Si Iest un id´eal bilat`ere d’une K-alg`ebre A, alors
π:A→A:a→a=a+I
est un homomorphisme surjectif, appel´e projection canonique, dont le noyau est I.
1.3.3. Th´eor`eme. Soit φ:A→Bun homomorphisme de K-alg`ebres. Soient Iun
id´eal bilat`ere de Atel que I⊆Ker(φ) et π:A→A/I la projection canonique. Alors
il existe un unique homomorphisme ¯ φ:A/I →Btel que φ=¯ φπ, Im( ¯ φ) = Im(φ), et
Ker( ¯ φ) = Ker(φ)/I. Par cons´equent, ¯ φest surjectif si et seulement si φest surjectif, et ¯ φest
injectif si et seulement si I= Ker(φ).
1.3.4. Corollaire. Si A→Best un homomorphisme surjectif de K-alg`ebres, alors
B∼
=A/Ker(φ).
Exemple. Soient Kun corps et K[t] l’alg`ebre des polynˆomes. On se fixe α∈K. Alors
φα:K[t]→K:f(t)7→ f(α)
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