1.2 Sous-modules et modules quotients. Définition. Un sous

1.2 Sous-modules et modules quotients.
D´efinition. Un sous-module d’un Λ-module Mest un sous-groupe ab´elien U⊂M
de Mstable par homoth´etie [pour tout λ∈Λ on a : γ(λ)(U) = λ U ⊂U].
C’est un Λ-module et l’inclusion iU:U ֒→Mest un morphisme.
Exemples. — M, {0} ⊂ Msont des sous-modules dits triviaux, plein et nul . On note 0={0}.
Proposition 1. — Soit Ui, i ∈Ides sous-modules d’un module M. Alors :
(i) L’intersection ∩i∈IUide cette famille est un sous-module de M,
c’est le plus grand sous-module de Minclus dans tous les Ui.
(ii) L’intersection des sous-modules contenant chacun tous les Uiest le plus
petit sous-module les contenant tous.
Il est form´e des sommes finies d’´el´ements ui∈Ui, c’est la somme des Ui.
On le note Pi∈IUiou, dans le cas o`u I={1,...,n}est fini, U1+U2+···+Un.
Compl´ ement et d´ efinitions. — Soit m= (mi)i∈I, mi∈M(resp. E⊂M)
une famille (resp. partie) d’un Λ-module M. Il y a un plus petit sous-module de
Mcontenant tous les mi, i∈I(resp. la partie E) c’est le sous-module engendr´e par
la famille m(resp. la partie E) not´ee < m >=< m >Λ(resp. < E >=< E >Λ).
Si M=< m >Λ, le module Mest dit engendr´e par la famille m.
Un module Mest dit de type fini (engendr´e sur Λpar m1,...,mn) si
M=< m1,...,mn>Λ, il est engendr´e par une famille m=m1,...,mnfinie.
D´efinitions. Deux ´el´ements x, y ∈Msont congrus modulo un sous-module U
si x−y∈U, on note alors x≡ymod U.
La congruence modulo un sous-module est une relation d’´equivalence et l’ensemble quotient
est muni d’une unique structure de Λ-module, le Λ-module quotient M/U, pour laquelle
l’application quotient est un morphisme, le morphisme quotient π:M→M/U . De plus :
Proposition 2. — La pr´ecomposition g7→ g◦πpar πest un isomorphisme du
groupe ab´elien HomΛ(M/U, N)sur le sous-groupe {f∈HomΛ(M, N)|f|U= 0}
des morphismes de Mvers Ns’annulant sur U.
Si l’anneau Λest commutatif, c’est un isomorphisme de Λ-module.
Commentaires bibliographiques
La notion de sous-objet et structure quotient en alg`ebre, pr´epar´ee en exercice dans [Go],
et le point de vue de la Proposition 2 (insister plus sur morphismes qu’objets) est plus syst´ema-
tiquement utilis´e et d´evelopp´e dans [Bo] et [Lg], et le Vocabulaire Math´ematique de [Co].
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