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Compl´ements
Une lemme utile. —
Lemme. — Soit f∈ L(E)et µf=Pα1
1···Pαr
r. Si Fest un sous-espace stable par falors
F=
r
M
i=1
(F∩ker Pαi
i(f)).
Premi`ere d´emonstration. — Soit x=x1+··· +xr∈Fo`u xi∈ker Pαi
i(f) alors, pour tout P∈K[X],
on a P(f)(x) = P(f)(x1)+ ···+P(f)(xr). Soit i∈ {1, . . . , r}, on ´ecrit µf=Pαi
iQiavec Qi∈K[X] alors
Qi(f)(x) = Qi(f)(x1). Puisque ker Pαi
i(f) et F∩ker Pαi
i(f) sont stables par f, ils sont stables par Qi(f)
donc on peut consid´erer les restrictions get hde Qi(f) `a ker Pαi
i(f) et F∩ker Pαi
i(f) respectivement.
Notons que
ker Qi(f)∩ker Pαi
i(f) = M
j6=i
ker Pαj
j(f)∩ker Pαi
i(f) = {0}
i.e. get hsont injectives d’o`u bijectives. Alors y=g(xi) est dans ker Pαi
i(f) or y=Qi(f)(x) donc yest
aussi dans F; il s’ensuit que yest dans F∩ker Pαi
i(f) donc xi=h−1(y) aussi i.e. xi∈F∩ker Pλ(f).
Deuxi`eme d´emonstration. — On pose Fi= ker Pαi
i(f), on a E=F1⊕···⊕Fret on note pila projection
sur Fiparall`element `a M
j6=i
Fj, il s’agit d’un polynˆome en f. Comme Fest stable par f,Fest aussi
stable par chaque pii.e. pi(F)⊂Fmais on a aussi pi(F)⊂pi(E)⊂Fi, d’o`u pi(F)⊂F∩Fi. Comme
p1+··· +pr= idE, il vient
F⊂p1(F) + ··· +pr(F) = p1(F)⊕ ··· ⊕ pr(F)⊂(F∩F1)⊕ ··· ⊕ (F∩Fr).
D´emonstration dans le cas diagonalisable. — Si fest diagonalisable alors on a E=Eλ1⊕ ··· ⊕ Eλr.
Soit x∈F, on ´ecrit x=x1+··· +xr, o`u xi∈Eλi, alors P(f)(x) = P(λ1)x1+··· +P(λr)xrpour
tout P∈K[X]. Soit 1 ≤i≤ret Pi∈K[X] tel que Pi(λi) = 1 et Pi(λj) = 0 pour j6=i, alors
xi=Pi(f)(x)∈F.
Le th´eor`eme de Maschke. —
Th´eor`eme. — Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie n≥1,Gun sous-groupe fini de GL(E)
et Fun sous-espace de Estable par tous les ´el´ements de G. Alors Fadmet un suppl´ementaire stable
par tous les ´el´ements de G.
D´emonstration. — On pose
ϕ(x, y) = X
g∈Ghg(x), g(y)i
ce qui d´efinit un produit scalaire sur Einvariant par G. Il suffit alors de prendre l’orthogonal S=F⊥
de Fpour le produit scalaire ϕ.
R´ef´erences
M. Alessandri, Th`emes de g´eom´etrie. Groupes en situation g´eom´etrique, Dunod, 1999.
S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas, Oraux X-ENS, alg`ebre 1, Cassini, 2001.
X. Gourdon, Alg`ebre, Ellipses, 1994.
S´ebastien Pellerin