DÉVELOPPEMENT 29 ENDOMORPHISMES SEMI

D´ EVELOPPEMENT 29
ENDOMORPHISMES SEMI-SIMPLES
D´efinition. — Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie.
(i) On dit que f∈ L(E) est semi-simple si pour tout sous-espace Fde Estable par f, il existe un
suppl´ementaire Sde Fstable par f.
(ii) On dit que M∈ Mn(K) est semi-simple si l’endomorphisme x7→ Mx est semi-simple.
Lemme. — Soit f∈ L(E)est tel que µfsoit irr´eductible alors fest semi-simple.
D´emonstration. — Soit Fun sous-espace strict de Estable par fet soit x1∈E\Falors le sous-espace
Ex1={P(f)(x1) ; P∈K[X]}est stable par fet Ix1={P∈K[X] ; P(f)(x1) = 0}est un id´eal non
nul de K[X] (puisque µf(f)(x1) = 0) donc il existe π1∈K[X] unitaire tel que Ix1=π1K[X]. De plus,
x16= 0 donc id /∈Ix1i.e. π1n’est pas constant. Puisque µfest irr´eductible et divisible par π1, on a en
fait µf=π1d’o`u (d’apr`es l’hypoth`ese) π1irr´eductible.
Supposons qu’il existe y∈Ex1∩Fnon nul, on ´ecrit y=P(f)(x1) avec P∈K[X] ; alors π1est
irr´eductible et ne divise pas Pdonc π1et Psont premiers entre eux et il existe donc U, V ∈K[X] tels
que UP +V π1= 1 d’o`u
x1=U(f)◦P(f)(x1) + V(f)◦π1(f)(x1) = U(f)◦P(f)(x1) = U(f)(y)
mais y∈Fet Fest stable par fdonc U(f)(y)∈Fce qui est impossible par choix de x1. On a donc
Ex1∩F={0}i.e. Ex1et Fsont en somme directe. Si F⊕Ex1=E, c’est fini, sinon on consid`ere
x2∈E\F⊕Ex1. Puisque Eest de dimension finie, on obtient une d´ecomposition de la forme
E=F⊕Ex1⊕ ··· ⊕ Exr
avec chaque Existable par f; on pose donc S=Ex1⊕ ··· ⊕ Exr.
Proposition. — Si f∈ L(E)alors on a ´equivalence entre
(i)fest semi-simple
(ii)µfest un produit de polynˆome irr´eductibles unitaires deux `a deux distincts.
D´emonstration. — (i)⇒(ii) Si µfa un facteur carr´e i.e. si µf=M2N, alors F= ker M(f) est stable
par fdonc il existe un suppl´ementaire Sde Fstable par f. Soit x∈Salors M(f)◦MN(f)(x) =
µf(f)(x) = 0 i.e. MN(f)(x)∈Fet, d’autre part, Sest stable par fdonc MN(f)(x)∈S; on a donc
MN(f)(x)∈F∩S={0}i.e. MN(f) s’annule sur S. Si x∈Falors MN(f)(x) = N(f)(M(f)(x)) = 0
i.e. MN(f) s’annule sur F. Il s’ensuit que MN(f) est nul alors que deg MN < deg µfce qui contredit
la d´efinition du polynˆome minimal.
(ii)⇒(i) On d´ecompose µf=P1···Pret on note Fi= ker Pi(f). Soit Fstable par falors on a
E=F1⊕ ··· ⊕ Fret F= (F∩F1)⊕ ··· ⊕ (F∩Fr). Chaque Fiest stable par fet on peut consid´erer
la restriction fi∈ L(Fi) de f`a Fi. Pour tout i, on a Pi(fi) = 0 avec Piirr´eductible donc Pi=µfiet,

80 Endomorphismes semi-simples
d’apr`es le lemme, fiest semi-simple i.e. il existe Sistable par fitel que Fi= (F∩Fi)⊕Si. Il suffit
alors de poser S=S1⊕ ··· ⊕ Sr.
Corollaire. — Si Kest alg´ebriquement clos alors f∈ L(E)est semi-simple si et seulement si fest
diagonalisable.
D´emonstration. — Si Kest alg´ebriquement clos alors les polynˆomes irr´eductibles sur Ksont ceux de
degr´e 1 donc µfest sans facteur carr´e si et seulement si µfest scind´e `a racines simples.
Proposition. — Soit M∈ Mn(R).
(i)Mest semi-simple si et seulement si Mest diagonalisable dans Mn(C).
(ii)Si M∈ Mn(R)est semi-simple alors Mest semblable dans Mn(R)`a une matrice de la forme
D0
0Bavec Ddiagonale et Bconstitu´ee de blocs de la forme α−β β α centr´es sur sa
diagonale principale.
D´emonstration. — (i) Si Mest semi-simple alors µM=P1···Pravec les Piirr´eductibles unitaires deux
`a deux non associ´es. Soit α∈Cune racine de µMalors αest une racine de l’un des Pi, par exemple P1,
or P1est irr´eductible sur Rdonc αest racine simple de P1. Pour i > 1, on a Piet P1premiers entre eux
i.e. UPi+V P1= 1 avec U, V ∈R[X] donc UPi(α) = 1 i.e. αn’est pas racine des autres Pidonc µMest
`a racines simples et il s’ensuit que Mest diagonalisable sur C. R´eciproquement, si Mest diagonalisable
sur Calors µM∈R[X] est scind´e `a racines simples dans Cdonc µMest sans facteur carr´e dans C[X]
et a fortiori dans R[X].
(ii) On raisonne par r´ecurrence sur n, le cas n= 1 ´etant trivial. Si µMest scind´e sur Ralors, d’apr`es
le premi`ere proposition et puisque Mest semi-simple, µMest un produit de polynˆomes irr´eductibles
distincts donc est `a racines simples et il s’ensuit que Mest diagonalisable sur R. On peut donc supposer
que µM= [(X−α)2+β2]Qavec α∈R,β > 0 et Q∈R[X] et on pose E= ker[(M−α)2+β2I]. Puisque
Qdivise strictement µM, on a Q(M)6= 0 donc [(X−α)2+β2] n’est pas inversible et il s’ensuit que
E6={0}, on consid`ere e1∈Enon nul. Si Me1=λe1alors
0 = [(M−α)2+β2I](e1) = [(λ−α)2+β2]e1
ce qui est impossible puisque β > 0 donc e1et Me1sont ind´ependants et il en est donc de mˆeme de e1
et e2=1
β[Me1−αe1]. De plus, on a Me1=αe1+βe2et
Me2= (M−αI)e2+αIe2=1
β(M−αI)2e1+αe2=−βe1+αe2
donc F= Vect(e1, e2) est stable par Met on a M|F=α−β
β α . Puisque Mest semi-simple, il existe
un suppl´ementaire Gde Fstable par Met il suffit d’appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence `a la matrice
M|G.
Le¸cons concern´ees
11 Id´eaux d’un anneau commutatif unitaire. Exemples et applications
14 Polynˆomes irr´eductibles `a une ind´etermin´ee. Corps de rupture. Exemples et applications
23 R´eduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications
24 Sous-espaces stables d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications
37 Endomorphismes diagonalisables
40 Polynˆomes d’endomorphismes. Applications
S´ebastien Pellerin

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Compl´ements
Une lemme utile. —
Lemme. — Soit f∈ L(E)et µf=Pα1
1···Pαr
r. Si Fest un sous-espace stable par falors
F=
r
M
i=1
(F∩ker Pαi
i(f)).
Premi`ere d´emonstration. — Soit x=x1+··· +xr∈Fo`u xi∈ker Pαi
i(f) alors, pour tout P∈K[X],
on a P(f)(x) = P(f)(x1)+ ···+P(f)(xr). Soit i∈ {1, . . . , r}, on ´ecrit µf=Pαi
iQiavec Qi∈K[X] alors
Qi(f)(x) = Qi(f)(x1). Puisque ker Pαi
i(f) et F∩ker Pαi i(f) sont stables par f, ils sont stables par Qi(f)
donc on peut consid´erer les restrictions get hde Qi(f) `a ker Pαi
i(f) et F∩ker Pαi i(f) respectivement.
Notons que
ker Qi(f)∩ker Pαi
i(f) = M
j6=i
ker Pαj
j(f)∩ker Pαi i(f) = {0}
i.e. get hsont injectives d’o`u bijectives. Alors y=g(xi) est dans ker Pαi
i(f) or y=Qi(f)(x) donc yest
aussi dans F; il s’ensuit que yest dans F∩ker Pαi
i(f) donc xi=h−1(y) aussi i.e. xi∈F∩ker Pλ(f).
Deuxi`eme d´emonstration. — On pose Fi= ker Pαi
i(f), on a E=F1⊕···⊕Fret on note pila projection
sur Fiparall`element `a M
j6=i
Fj, il s’agit d’un polynˆome en f. Comme Fest stable par f,Fest aussi
stable par chaque pii.e. pi(F)⊂Fmais on a aussi pi(F)⊂pi(E)⊂Fi, d’o`u pi(F)⊂F∩Fi. Comme
p1+··· +pr= idE, il vient
F⊂p1(F) + ··· +pr(F) = p1(F)⊕ ··· ⊕ pr(F)⊂(F∩F1)⊕ ··· ⊕ (F∩Fr).
D´emonstration dans le cas diagonalisable. — Si fest diagonalisable alors on a E=Eλ1⊕ ··· ⊕ Eλr.
Soit x∈F, on ´ecrit x=x1+··· +xr, o`u xi∈Eλi, alors P(f)(x) = P(λ1)x1+··· +P(λr)xrpour
tout P∈K[X]. Soit 1 ≤i≤ret Pi∈K[X] tel que Pi(λi) = 1 et Pi(λj) = 0 pour j6=i, alors
xi=Pi(f)(x)∈F.
Le th´eor`eme de Maschke. —
Th´eor`eme. — Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie n≥1,Gun sous-groupe fini de GL(E)
et Fun sous-espace de Estable par tous les ´el´ements de G. Alors Fadmet un suppl´ementaire stable
par tous les ´el´ements de G.
D´emonstration. — On pose
ϕ(x, y) = X
g∈Ghg(x), g(y)i
ce qui d´efinit un produit scalaire sur Einvariant par G. Il suffit alors de prendre l’orthogonal S=F⊥
de Fpour le produit scalaire ϕ.
R´ef´erences
M. Alessandri, Th`emes de g´eom´etrie. Groupes en situation g´eom´etrique, Dunod, 1999.
S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas, Oraux X-ENS, alg`ebre 1, Cassini, 2001.
X. Gourdon, Alg`ebre, Ellipses, 1994.
S´ebastien Pellerin