Correction Bac Blanc 2016

Correction Bac Blanc 2016
Exercice 1 :
′
²
′
!"
′
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#
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$
"
′
!
%
%& '()*+
!"
′
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+&
'()*,-
′
.
/
!0
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$
0 !
'()*1
!0
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1&'()*,2²&
0"
′
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"
′
0
'()*+
0"
′
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$
+3
3& '()*2-
′
&
,2²2-
′
&&
,-
′
'()*45678459:
′
;5<65=78455;>
 ′  
      ²  ²  ? ² ?
∆/'()*@
′
éABC()'DBEF(@BC()F)()GéD@@DF*()HBIBéDF
J
DC
J
'()*@DFK()CF)LG)CFF()CMNO
′
7PPQ5
DCRO
′
7PPQ5
SDT@DB'DU,2VK(BGWXEDM
0 !
Y
'()*N5<45Z45[O5U9;V>
\] ′]^ 
^] ]
] ]] ]] ]_``2(ù_DFC@DK()C'
′
WXED'()*
l’ensemble (P) est la médiatrice du segment [ED] 
a ′DFCB)TI)GDKBG ′ ′ 
b  c 
           d d ?
 d  ?
Si z a pour forme algébrique x + iy alors  d  ?E e
d.E?
E e dE?bEd
c
d
&e²?bEd c
e²
&bEd c
e²b
c
Donc (∆) est le cercle de centre Ω(2.5 ; 0) et de rayon R = privé du point D. <
Ou avec la forme algébrique de z = x + iy :
′
Ee EeEeEe
EeEeE
EEeEeEeee
E
e
E²dEe²e
E²e²E²dEe² E²e²e E²e²
’DFCB)TI)GDKBGE
dEe
E
e
?E dEe ?bEd
c
d
&e
?

bEd
c
e
&bEd c
e b
c
Donc (∆) est le cercle de centre Ω(2.5 ; 0) et de rayon R = privé du point D.
1 point

Exercice 2 : 1°) 2 pts si d) 1pt si c) et d) 0 pt sinon
2°) c) 0 ou 2 pts
3°) 2 pts si b) et c) 1,5 pt si b) et c) et 1 mauvaise 1 pt si 1 bonne 1 mauvaise
0,5 si 1 bonne 2 mauvaises 0 sinon
4°) 2 points si a), c) d) 2 pts si 2 bonnes 1.5 pt si 2 bonnes 1 mauvaise
1 pt si 1 bonne réponse seule 0.5 si 1 bonne, 1 mauvaise 0 sinon

Partie A [5,5 points]
1)a) →
→→
→ Etude de la limite de f en ∞ : [0,75 pt] (on a une FI g∞.?g) ;
Transformons l’écriture de hi. Il suffit ici de développer :
hi.ij
k
j
k

l@T
kmn∞
i∞
@T
omn∞
j
o
?
DC@T
omn∞
pj
o
?
[<[5445
4Z5
q
r
s
r
t
'()*gpar composée" u
l@T
kmn∞
j
k
?
DC@T
kmn∞
ij
k
?v'()*gKGKG('BCKGgM
l@T
kmn∞
j
k
?
@T
kmn∞
.ij
k
?vKBFgKGF(TTDgu
4Z
wmn∞
fw
→
→→
→ Etude de la limite de x en ∞ : [0,5 pt]
l@T
kmy∞
i∞
@T
omy∞
j
o
∞v'()*gpar composée" u
l@T
kmy∞
j
k
∞
@T
kmy∞
i
z
{
{
|
{
{
}
~kn
∞
•€
=76
•'()*gKGKG('BCg
DCgKGF(TTDLD*gu 4Z
wmy∞
fw∞
b) →
→→
→ Calcul de la dérivée de fM [0,75 pt]
Posons ‚iij
k
. On a alors : fwƒw .
→ ‚i s’écrit : ‚i„i.…i avec :
„ii …ij
k
(de la forme †
‡wyˆ
avec  )
„
′
i …
′
i‰
Š
j
k
.
‚ est donc dérivable sur ‹, comme produit de fonctions dérivables sur ‹, avec :
‚
′
i.j
k
i.j
k
j
k
&ij
k
j
k
w†
w
→ h est alors dérivable sur ‹ (cf ) avec :
f
′
wƒ
′
w>.w†
w
Œw†
w
N•Ž;
→
→→
→ Etude du signe de fM [0,5 pt]
Pour tout réel i, • et j
k
sont strictement positifs.
L’expression f
′
w a donc le même signe que w sur ‹.
→
→→
→ D’où le tableau de variation de f : [0,5 pt]
Calcul :
h?.j
€
•
‘J
Les limites de h en ’∞ ont été calculées dans la
question 1.
2)a) Etude sur V∞“>V : [0,75 pt]
→ h est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur ”%∞“?”.
→ @T
kmn∞
hi et h?.
Comme >•U“U alors, d’après le théorème de la bijection, l’équation fw> admet une unique solution – sur
”%∞“>”. Remarque : α—? car h?—?.
Etude sur U>“∞U : [0,5 pt]
→ h est continue (car dérivable) et strictement croissante sur U?“∞U.
i
∞
?
∞
h
′
i
?
h
i
∞