x3 (x4 - matheclair

Nom : Devoir surveillé de math /30
Exercice 1 : /11 pts
QCM : Dans chaque ligne, entourer la seule bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.
Barème : 1 point par réponse juste ; 0 point par absence de réponse et -0,5 par réponse fausse .
Le module de z =
2+2i
4i
est
√
2
2
1
2
2
√
2
Un argument de z =
2+2i
4i
est
π
2
π
4
−π
4
Un argument de z =
3eiπ
4×3 eiπ 4
est
π
2
π2
16
0
La somme 1 + (–4)1 + (–4)2 + …… + (–4)12
est égale à –67 108 869 13 421 773 –3 355 443
Soit c la représentation graphique d'une
fonction f telle que
lim
x→2+
f(x)
= +∞, alors
c admet une
asymptote verticale
c admet une asymptote
horizontale
c n'admet pas
d'asymptote
Soit la suite (un) définie sur ℕ par
un =
−3×
(
√
5
3
)
n
, alors
lim
n→+∞
un
= –∞ 0+ ∞
Soit f une fonction définie sur ℝ par f (x) =
(x2 – 2x)(x3 – 3x2 + 1)3 a pour primitive
(
x3
3−x2
)(
x4
4−x3+x
)
4
1
12 (x3−3x2+1)4
(
x4
4−x3+x
)
4
Soit f la fonction définie sur ℝ par
f (x) = (2x4 + x + 1)3. Alors f ' (x) = (24x3 + 3)(2x4 + x + 1)2(8x3 + 1)23(2x4 + x + 1)2
Une primitive de la fonction f définie sur
]–2 ; 2[ par f (x) =
3x
(x2−4)3
est F(x) =
−3
4(x2−4)4
G(x) =
3
4(x2−4)4
H(x) =
−3
4(x2−4)2
Soit f la fonction définie sur ℝ par
f (x) =
6
(x2−5x)4
. Alors f ' (x) =
−24
(2x−5)5
−48 x−120
(x2−5x)5
−24 (2x−5)
(x2−5x)5
cos a cos b – sin a sin b = cos (a + b) cos (a – b) sin (a –b)
Exercice 2 : /6 pts
Partie A :
1) Voici un algorithme : a) On applique cet algorithme pas à pas. On donne à n la valeur 6 et on
note l'évolution des variables dans un tableau.
i1 2 3 4 5 6
u1 2 5 12 27 58 121
Reproduire et compléter ce tableau.
b) L'algorithme affiche les termes d'une suite générée par une relation de
récurrence. Donner la relation de récurrence (c'est à dire exprimer un+1 en
fonction de un et éventuellement n.
un+1 = 2un + (n + 1) – 1 = 2un + n.
2) Expliquer ce qu'il faut modifier à l'algorithme pour que seul le terme de
rang n soit affiché.
Entrée :
Saisir n (n entier, n 1)
Traitement :
u prend la valeur 1
Pour i allant de 1 à n
u prend la valeur 2u + i – 1
Afficher u
Fin pour

Il suffit d'échanger les positions de« Afficher u » et « Fin pour ».
Partie B :
1)On place un capital de 1 000 € sur un livret à 3% d'intérêts par an. On note sn la somme obtenue, capital et
intérêts compris, à la fin de la n-ième année.
a) Quelle est la nature de la suite (sn) ? Préciser ses éléments caractéristiques.
Augmenter de 3 % revient à multiplier par 1,03. (sn) est donc une suite géométrique de premier terme s0 =
1000 et de raison 1,03.
b) Exprimer sn+1 en fonction de sn puis sn en fonction de n.
sn+1 = 1,03sn et sn = 1000 × 1,03n.
2)Au bout de combien d'années la somme obtenue dépassera 2 000 €.
On peut par exemple utiliser le tableur de la calculatrice pour trouver :
s23 = 1000 × 1,0323 ≈ 1974 et s24 = 1000 × 1,0324 ≈ 2033.
La somme obtenue dépassera donc les 2000 € au bout de 24 ans.
Exercice 3 : /5 pts
Voici la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré f définie et dérivable
sur ℝ.
On admet qu’au point d’abscisse 4 la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des abscisses.
1) Lecture graphique :
a) Compléter grâce au graphique :
f (3) = 2 , f (9) = -4. et f ' (4) = 0
b) Donner, par lecture graphique, les solutions des équations ou inéquations suivantes :
a) f (x) = 0 b) f (x) > 0 c) f ' (x) > 0
S = {1 ; 7} S = ]1 ; 7[S = ]–∞ ; 4[
2) Recherche d’une primitive :
Parmi les courbes représentatives des trois fonctions F1, F2 et F3 ci-après, une seule est la courbe représentative
d’une primitive de la fonction f. Laquelle ? Justifier votre réponse.
D'après sa représentation graphique, on peut établir le tableau de signes suivant, et donc en déduire le sens de
variations de sa primitive (c'est-à-dire la fonction dont f est la dérivée) :
x–∞ 1 7 +∞
f (x) – 0 + 0 –
F(x)
Il s'agit donc forcément de la fonction F3.
F1F2F3

Exercice 4 : /6 pts
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument
π
2
.
Soient z1 =
2
√
2 eiπ
3
, z2 = 1 + i et
z3=z1
z2
.
1) Donner le module et un argument de z1.
∣
z1
∣
=2
√
2
et
arg(z1)= π
3
2) Donner l'écriture exponentielle de z2 (justifier en montrant les calculs).
∣
z2
∣
=
√
12+12=
√
2
et
arg(z2)= π
4
car on est dans le cas où a = b > 0 donc
z2=
√
2eiπ
4
3) Calculer z3 puis en donner l'écriture algébrique.
z3=z1
z2
=2
√
2 eiπ
3
√
2eiπ
4
=2 e
i
(
π
3−π 4
)
=2 eiπ
12
de plus
z1=2
√
2
(
cos
(
π
3
)
+i sin
(
π
3
)
)
=2
√
2
(
1
2+i
√
3
2
)
=
√
2+i
√
6
.
Donc
z3=z1
z2
=
√
2+i
√
6
1+i=
(
√
2+i
√
6 ) (1−i)
(1+i)(1−i)=
√
2+
√
6+i (
√
6−
√
2 )
2=
√
2+
√
6
2+i
√
6−
√
2
2
4) En déduire la valeur exacte de
cos
(
π
12
)
.
z3=2 e
iπ
12 =2
(
cos π
12 +i sin π 12
)
=
√
2+
√
6
2+i
√
6−
√
2
2
donc
cos π
12=
√
2+
√
6
4
.
Exercice 5 : /2 pts
Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes (on justifiera évidemment en donnant le détail des calculs).
1°) f (x) =
x2−2x+3
x+1
=
u(x)
v(x)
avec u (x) = x2 – 2x + 3 et v (x) = x + 1
donc u' (x) = 2x – 2 et v' (x) = 1
Donc f ' (x) =
u ' (x)v(x)−u(x)v ' (x)
(v(x))2
=
(2x−2)( x+1)−( x2−2x+3)
(x+1)2
=
2x2+2x−2x−2−x2+2x−3
(x+1)2
f ' (x) =
x2+2x−5
(x+1)2
.
2°) f (x) = 3 cos(2x + 5) = 3 cos (ax + b) avec a = 2 et b = 5
Donc f ' (x) = 3 × (–a sin(ax + b)) = –6 sin(2x + 5).