x3 (x4 - matheclair

Nom :
Devoir surveillé de math
/30
Exercice 1 :
/11 pts
QCM : Dans chaque ligne, entourer la seule bonne réponse. Aucune justification n’est demandée.
Barème : 1 point par réponse juste ; 0 point par absence de réponse et -0,5 par réponse fausse.
Le module de z =
2 +2 i
est
4i
Un argument de z =
2
1
2
2 √2
π
2
π
4
−π
4
π
2
π
16
0
–67 108 869
13 421 773
–3 355 443
c admet une
asymptote verticale
c admet une asymptote
horizontale
c n'admet pas
d'asymptote
–∞
0
+∞
1 3
2
4
( x −3 x +1)
12
x4 3
−x + x
4
√2
2+2i
est
4i
iπ
Un argument de z = 3 e 4 ×3 e
iπ
4
est
La somme 1 + (–4)1 + (–4)2 + …… + (–4)12
est égale à
Soit c la représentation graphique d'une
fonction f telle que lim f (x ) = +∞, alors
x→2
+
2
Soit la suite (un) définie sur ℕ par
n
(3)
un = −3×
√5 , alors lim u =
n
n→+∞
Soit f une fonction définie sur ℝ par f (x) =
(x2 – 2x)(x3 – 3x2 + 1)3 a pour primitive
Soit f la fonction définie sur ℝ par
f (x) = (2x4 + x + 1)3. Alors f ' (x) =
(
F(x) = −
Soit f la fonction définie sur ℝ par
6
.
2
4
( x −5 x)
Alors f ' (x) =
cos a cos b – sin a sin b =
Exercice 2 :
/6 pts
Partie A :
1) Voici un algorithme :
Entrée :
Saisir n (n entier, n  1)
Traitement :
u prend la valeur 1
Pour i allant de 1 à n
u prend la valeur 2u + i – 1
Afficher u
Fin pour
)(
4
)
(24x3 + 3)(2x4 + x + 1)2
Une primitive de la fonction f définie sur
3x
]–2 ; 2[ par f (x) =
2
3 est
( x −4)
f (x) =
x3
x4
2
3
−x
−x + x
3
4
(
(8x3 + 1)2
3
4
4 ( x −4)
G(x) =
2
4
)
3(2x4 + x + 1)2
3
4
4( x −4)
H(x) = −
2
3
2
4 ( x −4)
2
−24
5
(2 x−5)
−48 x−120
2
5
( x −5 x)
−24 (2 x−5)
2
5
( x −5 x)
cos (a + b)
cos (a – b)
sin (a –b)
a) On applique cet algorithme pas à pas. On donne à n la valeur 6 et on
note l'évolution des variables dans un tableau.
i
u
1
1
2
3
4
5
6
2
5
12
27
58
121
Reproduire et compléter ce tableau.
b) L'algorithme affiche les termes d'une suite générée par une relation de
récurrence. Donner la relation de récurrence (c'est à dire exprimer un+1 en
fonction de un et éventuellement n.
un+1 = 2un + (n + 1) – 1 = 2un + n.
2) Expliquer ce qu'il faut modifier à l'algorithme pour que seul le terme de
rang n soit affiché.
Il
suffit
d'échanger
les
positions
de« Afficher u » et « Fin pour ».
Partie B :
1) On place un capital de 1 000 € sur un livret à 3% d'intérêts par an. On note sn la somme obtenue, capital et
intérêts compris, à la fin de la n-ième année.
a) Quelle est la nature de la suite (sn) ? Préciser ses éléments caractéristiques.
Augmenter de 3 % revient à multiplier par 1,03. (sn) est donc une suite géométrique de premier terme s0 =
1000 et de raison 1,03.
b) Exprimer sn+1 en fonction de sn puis sn en fonction de n.
sn+1 = 1,03sn et sn = 1000 × 1,03n.
2) Au bout de combien d'années la somme obtenue dépassera 2 000 €.
On peut par exemple utiliser le tableur de la calculatrice pour trouver :
s23 = 1000 × 1,0323 ≈ 1974 et s24 = 1000 × 1,0324 ≈ 2033.
La somme obtenue dépassera donc les 2000 € au bout de 24 ans.
Exercice 3 :
/5 pts
Voici la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré f définie et dérivable
sur ℝ.
On admet qu’au point d’abscisse 4 la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des abscisses.
1) Lecture graphique :
a) Compléter grâce au graphique :
f (3) = 2 , f (9) = -4. et f ' (4) = 0
b) Donner, par lecture graphique, les solutions des équations ou inéquations suivantes :
a) f (x) = 0
b) f (x) > 0
c) f ' (x) > 0
S = {1 ; 7}
S = ]1 ; 7[
S = ]–∞ ; 4[
2) Recherche d’une primitive :
Parmi les courbes représentatives des trois fonctions F 1, F2 et F3 ci-après, une seule est la courbe représentative
d’une primitive de la fonction f. Laquelle ? Justifier votre réponse.
F1
F2
F3
D'après sa représentation graphique, on peut établir le tableau de signes suivant, et donc en déduire le sens de
variations de sa primitive (c'est-à-dire la fonction dont f est la dérivée) :
x
f (x)
–∞
1
–
0
7
+
0
+∞
–
F(x)
Il s'agit donc forcément de la fonction F 3.
Exercice 4 : /6 pts
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π .
2
iπ
z
Soient z1 = 2 √ 2 e 3 , z2 = 1 + i et z 3= 1 .
z2
1) Donner le module et un argument de z1.
∣z1∣=2 √ 2 et arg( z1 )= π
3
2) Donner l'écriture exponentielle de z2 (justifier en montrant les calculs).
iπ
2
2
4
π
z
=
2
e
et
car
on
est
dans
le
cas
où
a
=
b
>
0
donc
arg(
z
)=
z
=
1
+1
=
2
√
∣ 2∣ √
√
2
2
4
3) Calculer z3 puis en donner l'écriture algébrique.
iπ
i( π − π )
i π
z 2 √2 e 3
3 4
12
z 3= 1 =
=2
e
=2
e
π
i
z2
4
2e
√
1 √3
de plus z1 =2 √ 2 cos π +i sin π =2 √ 2 +i
=√ 2+i √ 6 .
3
3
2
2
( ( )
Donc z 3=
( ))
(
)
z1 √ 2 +i √ 6 ( √ 2+i √ 6 ) (1−i) √ 2 +√ 6+i ( √ 6− √ 2 ) √ 2+ √ 6 √ 6− √ 2
=
=
=
=
+i
z2
1+i
(1+i)(1−i)
2
2
2
4) En déduire la valeur exacte de cos π .
12
i π
√ 2+ √6 +i √ 6−√ 2 donc cos π = √ 2+ √ 6 .
z 3=2 e 12 =2 cos π +i sin π =
12
12
2
2
12
4
( )
(
)
Exercice 5 : /2 pts
Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes (on justifiera évidemment en donnant le détail des calculs).
1°) f (x) =
u( x)
x 2 −2 x+3
=
avec u (x) = x2 – 2x + 3 et v (x) = x + 1
v ( x)
x +1
donc u' (x) = 2x – 2 et v' (x) = 1
u ' ( x )v( x )−u( x )v ' (x )
(2 x−2)( x +1)−( x 2−2 x +3)
2 x 2 +2 x −2 x −2−x2 +2 x−3
Donc f ' (x) =
=
=
2
2
(v ( x ))2
(x +1)
( x +1)
f ' (x) =
x 2 +2 x−5
.
2
(x +1)
2°) f (x) = 3 cos(2x + 5) = 3 cos (ax + b) avec a = 2 et b = 5
Donc f ' (x) = 3 × (–a sin(ax + b)) = –6 sin(2x + 5).