Enoncé

Lycée Clemenceau - ECE2 - Mme Marcelin
Concours Blanc 2 : Ecricome
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
L'utilisation de documents, d'une calculatrice ou de tout appareil électronique est strictement interdite.
Les abréviations sont interdites. Les notions doivent être écrites en toutes lettres .
Toute abréviation et toute phrase écrite au crayon à papier ne seront pas lues par le correcteur.
Exercice 1.
On considère l'espace
M2 (R)
des matrices d'ordre 2 à coecients réels. On dénit :
A=
0
0
,B =
0
0
1
0
1
0
,C =
0
0
a
E=
0
E
1. Montrer que
E
2. Etablir que
0
1
,T =
1
0
1
1
b
3
, (a, b, c) ∈ R
c
(A, B, C)
est un espace vectoriel et que
est une base de
E.
est stable par multiplication, c'est à dire :
∀(M, N ) ∈ E 2 , M N ∈ E
3. Montrer que, pour toute matrice
Pour toute matrice de
f
4. Montrer que
5. Vérier que
6. Est-ce que
On note
7. Calculer
F
T
T
E,
on note
E,
de
si
10. Soit
λ
f
est un automorphisme de
f
f
dans la base
(A, B, C)
en fonction de
11. Calculer
E.
E.
et en déduire
F.
admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci, puis déterminer une base
f
associé à cette valeur propre.
est diagonalisable ?

1
I = 0
0
H 2,
de
(A, B, C)
un réel diérent de 1. Résoudre l'équation
On note
M −1 ∈ E .
est diagonalisable ?
et la dimension du sous-espace propre pour
f
est inversible alors
E.
est inversible et démontrer que
f (A), f (B), f (C)
9. Est-ce que
M
f (M ) = T M T .
est un endomorphisme de
la matrice de
8. Montrer que
M

0
0
1
0
1
0
et
puis pour tout
12. Calculer, pour tout
n
13. Trouver une matrice
de
G
0
0
0
R
et tout
0
H = 1
0
a
de
f (M ) = λM ,
d'inconnue
M ∈ E.

0
1.
0

n
de
N, (I + aH)n .
N, F n .
de
M3 (R)
telle que
G3 = F .
g◦g◦g =f?
1
Existe-t-il un endomorphisme
g
de
E
tel que
Lycée Clemenceau - ECE2 - Mme Marcelin
Exercice 2.
Soient
f
la fonction numérique de la variable réelle dénie par :
f (x) = √
∀x ∈ R,
et
(un )
1
1 + x2
la suite de nombres réels déterminée par :






 ∀n ∈ N∗ ,
On note
Cf
R1
u0 =
la représentation graphique de
f,
un =
f (x) dx
0
R1
xn f (x) dx
0
relativement à un repère orthonormal
O,~i, ~j .
f.
I. Etude de
f
1. Montrer que la fonction
2. Etudier les variations de
3. Déterminer la limite de
4. Montrer que
f
y
7. Pour tout
f
f
f
R.
sur l'intervalle
lorsque
est bornée sur
5. Donner l'allure de
6. Montrer que
est paire sur
x
[0, +∞[.
+∞.
tend vers
R.
Cf .
[0, +∞[
réalise une bijection de l'intervalle
de l'intervalle
]0, 1] ,
sur un intervalle
déterminer l'unique réel
x
J
à préciser.
appartenant à l'intervalle
[0, +∞[
tel
que :
f (x) = y
8. Déterminer alors la bijection réciproque
f −1 .
II. Calcul d'aire
On considère la fonction numérique
F
x dénie
p
F (x) = ln x + x2 + 1
de la variable réelle
par :
Pour tout réel
λ
strictement positif, on note
par l'ensemble des points
M (x, y)
A (λ)
l'aire (exprimée en unité d'aire) du domaine constitué
tels que :
λ 6 x 6 2λ
0 6 y 6 f (x)
et
ainsi
2λ
Z
A (λ) =
f (x) dx
λ
1. Montrer que :
∀x ∈ R,
En déduire l'ensemble de dénition de
p
x2 + 1 > 0
F.
2. Montrer que
F
est une primitive de
3. Montrer que
F
est impaire sur son ensemble de dénition.
4. Déterminer la limite de
F
lorsque
f
x+
x
sur
R.
tend vers
+∞.
En déduire la limite de
F
quand
−∞.
5. Exprimer
A (λ)
en fonction de
λ
et calculer la limite de
2
A (λ)
lorsque
λ
tend vers
+∞.
x
tend vers
Lycée Clemenceau - ECE2 - Mme Marcelin
III. Etude de la suite
1. Calculer
u0
et
(un ) .
u1 .
2. Eectuer une intégration par parties et calculer
u3 .
3
(On pourra remarquer que
√
x
x
= x2 √
2
1+x
1 + x2
3. Déterminer le sens de variations de la suite
4. Montrer que la suite
(un )
)
(un ) .
est convergente. (On ne cherchera pas sa limite dans cette question)
5. Justier l'encadrement suivant :
∀x ∈ [0, 1] ,
∀n ∈ N,
06 √
xn
6 xn
1 + x2
en déduire que :
∀n ∈ N× ,
6. Déterminer alors la limite de la suite
0 6 un 6
1
n+1
(un )
Exercice 3.
Notation : Dans ce sujet, on note
Autrement dit :
P (B/A)
la probabilité de l'évènement
B
, sachant l'évènement
A.
P (B/A) = PA (B).
Sous diverses hypothèses, l'exercice étudie diérentes situations probabilistes concernant une entreprise de
construction produisant des objets sur deux chaînes de montage
A et B
qui fonctionnent indépendamment
l'une de l'autre.
Pour une chaîne donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes.
Partie 1.
On suppose que
A
construit par la chaine
chaine
B
produit
A
60%
des objets et
soit défectueux est
soit défectueux est
0.1
B
produit
40%
des objets. La probabilité qu'un objet
alors que la probabilité pour qu'un objet construit par la
0.2.
1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate que cet objet est défectueux.
Calculer la probabilité de l'évènement l'objet provient de la chaîne A .
2. Informatique :
rand()) le programme suivant qui mémorise dans
d le nombre d'objets défectueux construits au cours de 100000 constructions d'objets
(a) Recopier et compléter (à l'aide de la fonction
la variable
par l'entreprise.
d=0
for i=1:100000 do
if rand()<0.6 then
if ********** then
d=d+1
end
else
if ********** then
d=d+1
end
end
end
(b) Rajouter une instruction à la n du programme de façon à acher une valeur approchée de la
probabilité qu'un objet construit par l'entreprise soir défectueux.
(c) On modie le programme précédent (les **** sont les mêmes instructions que précédemment)
de la façon suivante :
3
Lycée Clemenceau - ECE2 - Mme Marcelin
d=0
a=0
for i=1:100000 do
if rand()<0.6 then
if ********* then
a=a+1
d=d+1
end
else
if ********* then
d=d+1
end
end
end
f1=a/100000
f2=d/100000
disp(f1/f2)
f1
Indiquer quel est l'évènement dont la fréquence est calculée dans la variable
l'évènement dont la fréquence est calculée dans la variable
f2.
et quel est
Le nombre aché (f 1/f 2) sera proche de quelle valeur ?
3. On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par
Y
On considère la variable aléatoire
chaîne
(a)
A
X
A
est une variable aléatoire
λ = 20.
qui suit une loi de Poisson de paramètre
représentant le nombre d'objets défectueux produits par la
en une heure.
i. Rappeler la loi de
Y
ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de
Y.
ii. Ecrire une instruction en Scilab, utilisant la commande 'grand', qui eectue 1000 simulations de la variable
(b) Soient
k
et
n
Y.
deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle
(On distinguera les cas
k6n
et
k>n
P [X = k/Y = n].
).
(c) En déduire, en utilisant le système complet d'évènements
(Y = i)i∈N ,
que
X
suit une loi de
Poisson de paramètre 2 .
Partie 2.
Soit
f
la fonction dénie sur
R
par :

2
 f (t) =
3
(1 + t)

f (t) = 0
1. Montrer que
f
si
t>0
si
t<0
est une densité d'une variable aléatoire
2. Déterminer la fonction de répartition
FZ
de
Z.
Z.
3. Justier la convergence de l'intégrale :
+∞
Z
0
2t
La calculer en eectuant le changement de variable
4. Prouver que
5.
Z
Z
3 dt
(1 + t)
u = t + 1.
admet une espérance et la déterminer.
admet-elle une variance ?
6. Dans cette partie, on suppose que le temps de fabrication, exprimé en minutes d'une pièce par la
chaîne
A
(respectivement
B)
est une variable aléatoire
Z1
( respectivement
deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que que
Z2 )
où
Z1
et
Z.
(a) On considère les évènements :
C = le temps de fabrication d'une pièce sur la chaîne B est supérieur à 2 minutes.
D = le temps de fabrication d'une pièce sur la chaîne B est inférieur à 3 minutes.
Calculer les probabilités suivante : P (C) , P (D) , P (D/C) .
4
Z2
sont
Lycée Clemenceau - ECE2 - Mme Marcelin
(b) On note
T = max(Z1 , Z2 )
i. Exprimer l'évènement
et
GT
T.
la fonction de répartition de
(T 6 x)
en fonction des évènements
ii. Montrer que :
(Z1 6 x)
et
(Z2 6 x).
2
∀x ∈ R, GT (x) = [FZ (x)]
(c) En déduire que
T
est une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.
Partie 3.
On suppose maintenant que pour qu'une pièce soit terminée, il faut qu'elle passe par la chaîne
la chaîne
A
puis par
B.
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne
A
est une variable aléatoire
M
suivant une loi exponentielle de paramètre 2.
Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaîne
[0, 1].
N sont
B
est une variable aléatoire
N
suivant
une loi uniforme sur
Les variables
M
et
indépendantes.
1. Rappeler l'expression d'une densité de probabilité
2. On note
S
Exprimer
v
de
M
et d'une densité
w
de
N.
la variable aléatoire représentant le temps total de fabrication d'une pièce.
S
en fonction de
M
et de
N
et déterminer le temps moyen de fabrication d'une pièce.
5