16_TS_loi binomiale
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Loi binomiale, rappels de 1S Manuel page 386 - Usage de la calculatrice page 412 et 417 + site « 36 élèves, 36 calculatrices » (voir blog) Épreuve et schema de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire a deux issues (succès ou échec, pile ou face ...) Un schéma de Bernoulli est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Loi binomiale Situation : répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On note p la probabilité de succès a chaque épreuve de Bernoulli. On note X la variable aléatoire égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves. La loi de probabilité de X est appelée la loi binomiale de paramètres n et p. On la note B ( n , p ) . On représente un schéma de Bernoulli de paramètres n et p par un arbre. Pour tout entier naturel k tel que 0⩽k ⩽n , le nombre de chemins menant a k succès est le nombre Coefficients binomiaux ( nk) ( nk ) Votre calculatrice permet de calculer les coefficients binomiaux. Certains coefficients se calculent de tête ; pour tout entier n non nul on a : n =1 : k=0 donc aucun succès (des échecs uniquement). 0 n =1 : k=n donc que des succès (aucun échec) n n =n : k=1 donc un seul succès et n−1 échecs. Il y a n façons d'obtenir S (SE...E ; ESE...E ; etc) 1 () () () Theoreme (loi binomiale). Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p k n−k n Alors, pour tout entier naturel k tel que 0⩽k ⩽n , P ( X=k )= × p × (1− p ) k n désigne le nombre de chemins comprenant k succès lors de n répétitions k Rappel : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ses branches. On a rencontré k succès de probabilité p et ( n−k ) échecs de probabilité ( 1− p ) donc chaque chemin comprenant k succès a une probabilité égale a pk ×( 1− p )n−k () () Esperance, variance et ecart-type de la loi binomiale Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. L'espérance de X est E ( X ) =n× p L'écart type de X est √ V ( X ) où V ( X ) est la variance définie par V ( X )=n× p× ( 1− p ) Deux exercices à faire sans consulter le corrige... Exercice 1 voir corrigé Un pépiniériste conditionne des bulbes d'iris en sachet. 72% des iris sont monochromes , le reste étant bicolore. On considère que le pépiniériste dispose d'un très grand nombre de bulbes d'iris. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de bulbes d'iris bicolores dans un sachet de n bulbes. 1. Quelles valeurs peut prendre la variable X ? 2. Quelle est la loi de X ? Justifier. 3. Dans cette question, le sachet contient 15 bulbes. a) Quelle est la probabilité qu'exactement 5 bulbes du sachet soient bicolores ? b) Quelle est la probabilité qu'au moins 6 bulbes du sachet soient bicolores ? c) En moyenne, sur un sachet de 15 bulbes, combien de bulbes sont bicolores ? 4. Combien de bulbes doit contenir un sachet pour que la probabilité d'avoir au moins un iris bicolore soit supérieure a 95% ? Exercice 2 voir corrige Un sujet de concours comporte un QCM avec 8 questions. Pour chaque question, on propose 3 réponses dont une seule est correcte. Une bonne réponse rapporte un point tandis qu'une mauvaise enlève un demi-point. Un candidat décide de répondre au hasard a toutes les questions ! X est la variable aléatoire donnant le nombre de bonnes réponses du candidat. a) Quelles valeurs peut prendre la variable X ? b) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. c) Calculer la probabilité d'obtenir exactement 4 bonnes réponses. d) Calculer la probabilité que le candidat ait au plus 5 bonnes réponses. e) Déterminer l'espérance et l'écart type de X. Correction exercice 1 Un pépiniériste conditionne des bulbes d'iris en sachet. 72% des iris sont monochromes, le reste étant bicolore. On considère que le pépiniériste dispose d'un très grand nombre de bulbes d'iris. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de bulbes d'iris bicolores dans un sachet de n bulbes. 1. La variable X prend toutes les valeurs entières de 0 a n. 2. L'expérience aléatoire consiste a piocher un bulbe dans le sachet et de noter s'il est bicolore ou non. C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,28. On répète cette expérience n fois de manière identique et indépendante. On peut donc dire que X suit une loi binomiale de paramètre n et 0,28. 3. Dans cette question, n=15 , X suit la loi binomiale de paramètre 15 et 0,28. a) La probabilité qu'exactement 5 bulbes du sachet soient bicolores est P ( X=5 ) ( ) P ( X=5 ) = 15 ×0,285×0,7210 5 On trouve p≈0,1935 soit environ 19,35% b) La probabilité qu'au moins 6 bulbes du sachet soient bicolores est P ( X⩾6 ) P ( X⩾6 ) =1−P ( X⩽5 ) On trouve p≈0,2220 soit environ 22,20% c) En moyenne, sur un sachet de 15 bulbes, 4,2 bulbes sont bicolores : E ( X ) =15×0,28=4,2 4. Cette fois on cherche la valeur de n pour laquelle P ( X⩾1 ) ⩾0,95 où X suit la loi binomiale B ( n, 0,28 ) P ( X⩾1 ) ⩾0,95 ⇔ 1−P ( X=0 )⩾0,95 ⇔ 1−0,72 n⩾0,95 ⇔ 0,05⩾0,72n À l'aide de la calculatrice, on saisit la fonction n →0,72n On fait afficher le tableau de valeurs pour n a partir de 0 avec un pas de 1 et on cherche la plus petite valeur de n pour laquelle 0 , 72n⩽0,05 On trouve : pour n=9 , 0 , 72n≈0 ,05199 et pour n=10 , 0 , 72n≈0 ,0374 La valeur de n est donc 10. Un sachet doit contenir au moins 10 bulbes pour que la probabilité d'avoir au moins un iris bicolore soit supérieure a 95% . Remarque : on saura résoudre ce type d'inéquation un peu plus tard dans l'année. On peut également écrire un algorithme 0 →N Tant que 0 ,72 N ⩾0 ,05 Faire N+1 → N Fin Tant que Afficher N Correction exercice 2 Un sujet de concours comporte un QCM avec 8 questions. Pour chaque question, on propose 3 réponses dont une seule est correcte. Une bonne réponse rapporte un point tandis qu'une mauvaise enlève un demipoint. Un candidat décide de répondre au hasard a toutes les questions ! X est la variable aléatoire donnant le nombre de bonnes réponses du candidat. a) Les valeurs peut prendre la variable X sont tous les entiers de 0 a 8. b) L'expérience aléatoire consiste, pour une question donnée, a donner une réponse. Soit cette réponse est juste, soit elle ne l'est pas. C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre 1/3. On répète cette expérience 8 fois de manière identique et indépendante. On peut donc dire que X suit une loi binomiale de paramètre 8 et 1/3. c) La probabilité d'obtenir exactement 4 bonnes réponses est P ( X=4 ) 4 4 () ( ) ( ) 1 2 P ( X=4 )= 8 × × 4 3 3 p≈0, 1707 soit environ 17% d) La probabilité que le candidat ait au plus 5 bonnes réponses est P ( X⩽5 ) La calculatrice donne 0,9803 soit environ 98% 1 e) X suit une loi binomiale de paramètre 8 et 1/3 donc E ( X ) =8× . L'espérance est donc d'environ 2,7 3 Interprétation : en répondant au hasard, on peut espérer donner 2,7 bonnes réponses sur 8 1 2 16 16 4 L'écart-type est σ=√ X . V ( X )=8× × = donc σ= = ≈1, 33 3 3 9 9 3 √
